微課程教學的設計與實踐

汪麗娜 龐晶

[摘 要] 微課程中的“微”既指教學時長短又指教學內容少。一方面，教學時長短便于學生利用碎片化時間學習;另一方面，教學內容少對教師做教學設計提出了更高的要求。文章以概率論與數理統計中最重要的一類定理——中心極限定理為例，闡述微課程教學設計的特點及其應用實踐。貼近生活的案例設計使教學更生動;形象化教學使抽象的定理更具象化地呈現。微課程教學實踐體現了三個特點：合理的教學結構設置、有針對性地突出重點、加強教學系統性的考量。

[關鍵詞] 微課程;案例設計;數值模擬;中心極限定理

[中圖分類號] G642? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?[文獻標志碼] A [文章編號] 1008-2549（2019） 09-0110-03

微課程是微型學習的一種具體形式，主要以短時視頻為載體記錄微型化的教學內容，是對傳統教學模式的革新[1]。為貫徹落實《教育部關于全面提高高等教育質量的若干意見》精神，推動信息技術與大學數學課程教學深度融合，促進教師更新教學理念、革新教學方法、創新教學設計、提升教學能力，由教育部高等學校大學數學課程教學指導委員會和全國高等學校教學研究中心共同主辦了“全國高校數學微課程教學設計競賽”，促進了數學類課程教育教學改革的發展、積累了教學成果。

微課程具有短小精悍可重現的教學優勢。與傳統教學50分鐘一節課的安排方式相比，微課程的教學時間較短，更利于集中注意力學習，符合認知規律。其次，微課程是對某個具體的知識點展開教學，與傳統教學相比，其主題更加突出、針對性較強。此外，微課程視頻易于保存傳播，具有更高的教學可重現性，可以供多位教師多次再利用，也可以供學生預習復習使用。本文以概率論與數理統計中最重要的一類定理——中心極限定理為例，闡述微課程教學設計及其實踐。文章第一部分介紹中心極限定理的教學特征;第二部分給出中心極限定理的微課程教學設計;第三部分闡述微課程實踐的特點。

一 中心極限定理的教學特征

在概率論當中，將“相互獨立的隨機變量和的極限分布為正態分布”這樣的定理統稱為中心極限定理。它是概率論當中最重要的一類定理，具有廣泛的實際應用背景。例如，應用中心極限定理規劃雨量站網設計[2]，使得降水監測更科學、經濟;應用中心極限定理計算股價期權價格[3];中心極限定理在保險精算[4]等行業中的應用。

多數本科非數學專業概率論與數理統計教材中，中心極限定理包括：列維——林德伯格定理和棣莫弗——拉普拉斯定理。2019年考研數學大綱中對中心極限定理的考試要求是：了解列維——林德伯格定理和棣莫弗——拉普拉斯定理（數學一）;了解列維——林德伯格定理、棣莫弗——拉普拉斯定理，并會用相關定理近似計算有關隨機事件的概率（數學三）。

中心極限定理的教學安排在隨機變量、分布函數、數字特征等先修內容之后，抽樣、估計、檢驗等統計學教學內容之前。從這個意義上講，中心極限定理可以看作是概率、數理統計兩部分的銜接，有著承上啟下的作用。一方面，中心極限定理可以刻畫正態分布的形成機制，解釋正態分布的普遍性;另一方面，中心極限定理是大樣本統計推斷的理論基石，是學習后續知識的基礎。從教學地位、教學目標、教學內容三個方面，中心極限定理都占有重要的位置。與之形成鮮明的對比，在課程考核時，中心極限定理被忽略了。近10年的碩士研究生入學考試中，沒有涉及到中心極限定理的考題。

雖然中心極限定理應用廣泛、地位重要，但是考試“指揮棒”沒有指到這個知識點，造成很多學生學習中心極限定理不夠積極，部分教師對中心極限定理的教學不夠重視。現有中心極限定理教學中存在一些問題：教學內容缺乏巧妙的設計;教學手段比較簡單，形象化演示不足;教學中的應用場景做得不夠好，缺乏案例設計。

二 微課程教學設計

中心極限定理從理論上說明了“許多類型”的隨機變量， 它們的極限分布服從正態分布， 這既肯定了正態分布在概率論中的重要地位， 也為計算概率提供了強有力的手段。考慮到授課對象是理工科非數學專業本科生，他們的主要專業需求和未來職業需求是應用概率統計的思想和方法。因此，教學設計中， 重點強調中心極限定理的研究對象和應用中心極限定理解決實際問題。選取案例時，選擇學生易于產生共鳴的題材;證明定理時，注重形象化的展示;應用定理時，清晰明了地強調如何使用。

列維——林德伯格定理微課程的教學設計以如何設置住宅小區的停車位數量開篇，引出中心極限定理的研究對象：獨立隨機變量的和。使用數值模擬方式，形象化地展示案例，啟發學生提出猜想，引出列維——林德伯格定理。省略定理的證明，采用數值模擬的方法形象化地驗證定理內容。最后，使用列維——林德伯格定理計算開篇提出的案例：小區停車位數量問題。

隨著私家車保有量的增加，住宅小區停車問題越來越嚴重。根據小區的地理位置、預期房價、未來業主情況等信息，獲知某住宅小區一千戶居民的戶擁有汽車數量的分布情況，問如何設置該小區的停車位數量，使得每輛車具有一個車位的概率不小于0.97。以此案例開篇，引導學生：已知戶擁有汽車量的分布，如果能夠得到一千戶居民擁有汽車量的分布情況，問題可解。由此引出中心極限定理的研究對象：隨機變量和的分布。此外，采用數值模擬的方法將一千戶居民擁有汽車數量的分布情況呈現，引導學生大膽猜想：和隨機變量服從什么分布。

棣莫弗——拉普拉斯定理微課程的教學設計以二項分布在醫學、保險精算、質量檢測等方面的廣泛應用開篇，提出問題：在分析計算實際問題時，不可避免地涉及二項概率的計算，n較大時直接用公式計算比較煩瑣，有更方便的計算方法嗎？開門見山地引出棣莫弗——拉普拉斯定理：n充分大時，二項隨機變量漸近服從正態分布。從數學證明、數值模擬兩個方面驗證定理內容。然后，利用定理解決開篇提出的實際問題：保險盈利的概率。