主線問題驅動的線性代數教學改革

袁磊 李元敏

【摘要】針對目前線性代數課程教學所面臨的問題，倡導以線性方程組的求解為主線問題，串聯整個課程內容，以問題驅動的方式組織和展開教學.教學實踐表明，這種主線問題驅動的教學方式，不僅有助于學生整體把握學習內容，也有利于培養學生解決問題的能力;客觀上也提高學生在學習過程中的主動性和積極性.

【關鍵詞】問題驅動式教學;線性代數主線問題;課程教學改革

目前在高校各個專業，線性代數已經成為一門重要的數學公共基礎課.它不僅為學生許多后繼專業課提供必要的理論知識和工具，而且對培養學生的邏輯思維和推理能力起著無可替代的作用.

從教學的角度，除了讓學生掌握一些基本的理論、方法和概念外，還應適當培養學生應用抽象理論解決問題的能力.這一點也已經成為對該課程教學的基本共識.

一、目前線性代數教學存在的問題

通常在國內高校數學公共課安排上，線性代數是安排在高等數學之后.因而，在此課程之前，學生已經接受了一定程度的數學訓練，具備了一定的抽象邏輯思維能力.但從教學實踐上看，學生仍然感到有較大困難.究其原因，主要有如下兩個方面：

一是課程內容的自身特點.線性代數理論抽象，概念龐雜，要真正掌握，必須具備一定對抽象概念的理解能力.同時在內容構成上，各個構成部分條塊明顯.學生難以在整體上把握和理解課程的理論體系和邏輯框架，容易犯“見木不見森林”的錯誤.

二是授課方式.教學過程中，教師通常要么強調理論的系統性，授課中思維跨度過大，學生跟不上教師的思維;要么強調計算能力.不僅使學生缺乏抽象思維的訓練，而且也與當下信息技術滲透到線性代數課程的大趨勢相背離.

從而在課堂教學中，教師難以充分調動學生的積極性;學生普遍感到課程抽象、乏味且不易把握重點.教師和學生都認為線性代數是一門比較難講授和掌握的課程.

二、國內外教改的方法和思路

由于代數學在整個數學教育中的基礎性和重要性，對線性代數課程的教學改革一直是國內外數學教育界比較關注的問題.

對數學專業的課程教改，主要是從現代代數學的角度來重新審視與認識這門課程.如，從模的觀點來重新審視與認識線性代數[1].還有一些教材是從線性空間的理論框架闡述線性代數的整個內容[2].這些處理方法雖在數學上更為本質，但對非數學專業的教學，理論的闡述和概念的引入要符合學生的接受心理和認識水平.現代數學的觀點和角度只能讓我們從宏觀的把握線性代數教改的方向.

對非數學專業的線性代數課程教學改革主要有如下的兩種思路和途徑.

一是從課程內容的組織上.Lay[3]認為線性代數應該是矩陣導向的課程，應該從具體的例子出發來引入概念和介紹理論.另一些學者強調應從學習的心理過程出發，如Robert[4]等就認為幾何化（可視化）才能夠真正建立學生的“概念意象”.從而克服抽象的困難和形式化的障礙.還有一些學者直接從數學建模的角度來組織課程教學，如Trigueros[5]等學者就嘗試用經濟學的模型問題來引入教學內容.

二是從教學的授課形式上，主要是信息技術的引入.在國外的教學實踐中，已經將計算機引入到線性代數的整個課堂教學中.如在麻省理工開放課程（MIT Open Course 18.06）[6]課堂上，教師在講解課程內容的同時，還利用計算機模擬演示教學內容，將抽象的代數概念形象化的表示，同時還注重教會學生如何利用計算機解決課程中的問題.

麻省理工學院的這種教學方式必定是今后教學改革的主要方向，但目前和我們的實際并不完全契合.目前從整個大學線性代數的教學要求上看（課程教學大綱和考研數學大綱），仍然強調的是對基礎理論和方法的掌握.直接引入國外的這種教學方式，必定會對學生今后的升學等諸多方面產生不良影響，所以麻省理工學院模式的教學改革需要頂層設計.不過我們的教學改革可以從其中汲取營養，做出一些有益的探討.實際上將計算機引入線性代數課程教學，國內一些學者已經做了大量的嘗試[7].這些嘗試主要是將一些計算軟件（如Matlab、Mathematica、Maple等）引入教學.通常都是編寫一定量的數學實驗，作為教學的補充.

隨著高等教育人才培養模式的轉型和現代信息化技術對教學的滲透和影響，傳統的線性代數教學模式應該進行適當循序漸進的改進.我們認為教學改革的主要思路應該是基于對線性代數基本體系和問題的認識.重新組織和選擇教學材料，從而重新構建教學的過程和模式.

根據現代數學的觀點，線性代數作為代數學一個最初等的分支，研究一類最簡單的代數系統：線性空間及其同態映射.對非數學專業的線性代數課程教學，教學改革的目標是將上述這一抽象的系統，用恰當且容易理解的方式進行改造和重述，使得作為初學者的學生易于理解和把握.

三、問題驅動下的線性代數教學模式

線性代數從內容上看，理論抽象、概念繁雜.從內容結構上看，各部分內容相對獨立，呈塊狀結構.主要內容包括：行列式，矩陣，線性方程組，向量理論，特征值與特征向量和二次型理論.實際上，可以從矩陣、線性方程組、線性代數體系、向量理論等不同的角度組織的教學，其展開過程主要取決于如何串聯這些分塊內容的邏輯脈絡.如何根據學生在學習過程中的心理規律，把課程的內容有機的串聯在一起，將各種抽象概念通俗易懂的闡述，使得缺乏抽象數學訓練的學生也能較好地接受這些概念是教學改革的關鍵.

我們認為應該從學生今后專業應用的角度出發，選擇一個主要問題為主線來串聯組織內容.學生在學習過程中受到這個主要問題的驅動，自然而然的理解相關的抽象概念，對課程內容整體把握，最終達到“既見樹木也見森林”的學習效果.

（一）問題驅動下的教學模式的研究

眾所周知，問題是誘發思維的直接動力.在教學過程中，往往可以通過對問題的解決激發學生的求知欲，培養學生的創新能力.李尚志教授在組織國家精品課程編寫和教材時就是從問題出發來組織課程內容[8].趙慧斌[9]認為問題驅動的目的是讓學生參與到課堂教學當中，通過引導學生思索，提問題和做結論，來推動學生進行課堂學習，強化教學的互動效應.其他的一些學者也沿著這樣的思路做了一些有益的探討[10-11].這些教學的方法都是針對課程中的具體內容，引入不同的問題.由此構成教學中的“問題鏈”引導學生逐步地理解和掌握課程內容.

還有一些學者從另外的角度，提倡以實際應用問題驅動線性代數課程教學[12].

（二）問題驅動下的線性代數教學改革思路

用“問題鏈”方法可以提升學生的學習興趣，起到了一定的教學效果.但我們也注意到用分散的“問題鏈”仍然沒有很好地解決線性代數課程結構分散模塊化的問題.初學者對各個概念的理解可以有所改善，但難以在整體上把握.這些概念，理論和方法給初學者的印象仍然是分散的，沒有形成統一的有機體.此外以實際應用問題驅動、激發學生的學習興趣當然是一種值得嘗試的手段，但由于目前各高校線性代數課程的學時通常較少，實際應用問題的引入受到較大的學時限制.另一方面，也受限于教師自身的專業背景，恐難推廣.所以，我們認為問題驅動的教改還是應從課程本身尋找一個合適的主線問題.

我們提倡以主線問題“討論線性方程組Ax=b的求解”驅動的方式組織整個教學.原因主要有如下的兩方面：一是對理工科和經管農林類學生，在他們今后專業應用上都會大量的利用計算機解決實際的科學和工程應用問題.而這些問題最終絕大部分都會退化到解決一個線性方程組.掌握線性方程組求解的相關理論和方法，對他們進一步地深入專業學習和今后的應用是重要的.另一方面，線性方程組的求解在課程結構上也是一條容易讓初學者進入的路徑.

（三）主線問題驅動下的線性代數教學改革實踐

組織教學材料的基本的思路是：討論線性方程組Ax=b求解所涉及的理論、工具和方法.在教學的過程中始終貫徹這個主線問題.用這條主線去串聯、組織和重構教學材料.凡是和這條主線（完全）無關的內容，都少講甚至不講.讓學生以問題為導向去理解這些抽象的概念，理論和方法，最終覺得這些概念的提出都是自然的，絕大部分都是他們自己可以通過自身的努力可以想到的.

同時我們也適當地考慮在現代信息技術影響下，教學內容的一些取舍問題.之所以是“適當地”，原因在于目前整個教學體系和教學大綱存在一定的剛性，如前所述，這方面最終需要一些頂層設計.在教學實踐上，我們做了如下的一些嘗試：

1.行列式理論

行列式理論引入就是解決方程個數等于未知量個數的線性方程組的問題.通過低階方程組引入低階行列式作為求解的工具，研究其定義的規律引入n階行列式，從而一般的規律（克萊姆法則）.但弱化只具有理論價值的克萊姆法則的計算.適當地降低行列式的計算要求.通常在工程應用中，都可以通過相關的計算軟件完成.對學生要求掌握基本的方法即可.不必把有限的教學時間放在復雜的計算和技巧上.

2.矩陣理論

從線性方程組表示的角度引入矩陣的運算.從消元法的角度引入矩陣的初等變換，并引入初等矩陣利用乘法解釋初等變換.逆矩陣也是從方程求解的逆元角度引入.弱化對矩陣運算技能的要求，關鍵是掌握計算的基本方法.可以增加實驗課，通過一些計算軟件（如Matlab）完成.

3.向量理論

在引入向量的運算法則后，將線性方程組Ax=b的求解問題表示為向量形式.

這條講授的路線不同于常見的線性代數教材用初等變換的辦法得出上述結論的方法.雖然表面上稍復雜，但卻可以串聯起整個的向量理論，使得學生在學習抽象的向量理論時始終圍繞求解線性方程組的主線問題，對引入的新概念、方法和工具不再感到零散和突兀.

4.線性方程組理論

利用向量線性表示得到的結論給出線性方程組解的理論，即方程可解的充要條件是Rank（A）=Rank（A，b）.在線性方程組解的結構處理上，著重從（幾何角度）線性空間理論來解釋，即：齊次方程的解構成一個（n-Rank（A）維）的線性空間，線性空間的一組基底即是方程的基礎解系.非齊次方程的解構成一個仿射空間.這樣就可以將線性空間理論通過方程組的主線問題串聯到教學內容中.

5.特征值和二次型理論

對特征值理論，不從算子或空間理論角度解釋.完全解釋成線性方程組理論在特征方程Ax=λx和矩陣上的應用問題.對二次型的標準化過程也看作是線性方程組的應用.

從教學的實踐上看，絕大部分學生對這種主線驅動教學的方式能夠接受.他們對課程整體內容能夠很好地把握，對抽象龐雜的概念不再有明顯的畏難和抵觸情緒，達到了一定的教學效果.并且我們相信這種教學方式對他們今后的專業學習也是有益的.

四、結 語

線性代數課程由于其自身理論抽象，概念龐雜，各個理論部分分塊明顯，目前已經成為高等教育數學公共課程教學的難點.如何根據學生學習心理過程機制，合理組織教學內容、設計恰當的教學方式和教學路徑是教學改革成功的關鍵.從教學的實踐上看，用一個主線問題串聯、組織課程的主要內容進行講授（即：用問題驅動的方式進行教學），可以很好地統領整個教學中的各個環節，激發學生的求知欲，也利于培養學生的學習主動性，提高學生的創新思維能力和解決問題的能力.

【參考文獻】

[1]Roman S.Advanced Linear Algebra[M].北京：世界圖書出版公司，2008.

[2]陳恭亮，葉明訓，鄭延履.線性空間引論[M].北京：清華大學出版社，2009.

[3]Lay D C.Linear Algebra and Its Applications，Addison-Wesley，1994.

[4]Dorier J L，Robert A，Robinet J，et al.The Obstacle of Formalism in Linear Algebra[M]∥ On the Teaching of Linear Algebra.Springer Netherlands，2000：85-124.

[5]Trigueros M，Possani E.Using an economics model for teaching linear algebra[J].Linear Algebra & Its Applications，2013（4）：1779-1792.

[6]Gilbert Strang.18.06 Linear Algebra.Spring 2010.Massachusetts Institute of Technology：MIT OpenCourseWare[OL].https：∥ocw.mit.edu.License：Creative Commons BY-NC-SA.

[7]吳贛昌.線性代數（理工類）：第3版[M].北京：中國人民大學出版社，2009.

[8]李尚志.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2006.

[9]趙慧斌.問題驅動是線性代數有效的教學法之一[J].高等數學研究，2008（4）：91-94.

[10]賈昭.線性代數問題驅動教學方法探究[J].求知導刊，2016（24）：106-106.

[11]師欽賢.對以問題驅動線性代數教學的研究[J].現代教育技術，2010：58-59.

[12]張杰，張清華，劉勇，等.融入現代計算技術的《線性代數》教材改革的實踐與探討[J].科學咨詢（科技·管理），2012（5）：123-125.