妙用函數思想，巧解數學難題

陳奕冰

【摘要】解題是運用數學知識的重要途徑，也是高考對數學知識考查的主要形式，但是高中數學知識的抽象性和復雜性決定了數學問題具有一定的難度，只有運用科學的思想和方法才能快速、準確地解題.函數思想是數學思想方法的重要內容，我們可以充分利用函數思想來解決數學難題.本文從利用函數思想解決方程式問題、不等式問題和數列問題三方面出發，總結和歸納了利用函數思想解決數學難題的有效方法，希望能夠為廣大高中生提供有益的經驗借鑒.

【關鍵詞】高中數學;函數思想;數學難題

解決數學問題是我們學習數學的重要內容，也是實現知識運用的有效方式，而能夠快速、準確的解題還取決于我們是否擁有清晰的解題思路、解題技巧和科學的解題思想.但是目前我們在數學解題的過程陷入了“題海”之中，走入了盲目做題的誤區，卻并沒有掌握科學的解題思想和正確的解題思路.函數思想作為數學科學思想方法的重要內容，有利于我們解題思路的形成和解題效率的提升.因此，我們必須理解函數思想、掌握函數思想本質，并將其運用到數學難題的解決過程中，從而為數學學習提供不竭的動力.

一、妙用函數思想，解決方程式問題

方程式問題是我們在高中數學學習過程中所常見的數學問題之一，當遇到存在多個未知數的情況，往往便會使整個問題變得復雜.這時，我們便可以巧妙利用函數思想來解決方程式問題.具體來說，我們首先可以根據題目來寫出解析式，當得出數式的類型后，利用函數思想對方程式進行相應的解析，首先可以把函數式當作一個已知是零的數量，然后將其轉化為方程式，或者對方程式的兩端進行相應的簡化.當遇到較為復雜的方程式問題時，便可以先對方程式進行移項，然后根據數式來建立函數圖像，從而根據圖像來實現問題的解決.

例如，以“設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0

二、巧用函數思想，解決不等式問題

不等式直觀反映了事物在量上的區別，是研究數量關系的重要途徑，也是數學問題的基本內容之一.不等式問題也可以通過函數思想來解決，所以，我們在不等式的解題過程之中，要利用函數思想仔細分析問題的內容和給出的條件，進一步地利用已知條件來分析整個函數不等式的問題內容，從而實現不等式或者等式之間的聯想轉換，并利用函數圖像來直觀表示出根的分布區間，從而降低不等式的解題難度，節省大量的計算時間，提高解題的效率和正確率.

例如，以“設a>0，求函數f（x）=x-ln（x+a）（x∈（0，+∞）的單調區間），”這道題為例，當我看到這道題后，我首先對這道題題干中的信息展開了分析，我發現這道題實際是考查導數的概念和計算，使用導數研究函數的性質.找到解題思路后，我便開始對這道題進行求解，根據函數思想，想要求解函數的單調區間，我們必須求出函數中不等式的解，即f′（x）≥0（遞增）以及f′（x）<0（遞減），然后在分部對不等式進行分析，如當a>0，x>0時，分析f′（x）的取值范圍;當a>1，對所有x>0時，分析f′（x）的取值范圍.然后再將所有分析結果進行整合，求出最終結果.

三、利用函數思想，解決數列問題

數列問題通常需要我們去發現其中的規律，如果不能準確把握其中所蘊含的規律就很難解決問題，這便為我們解決數列問題帶了一定的難度.因此，我們可以利用函數思想來解決數列問題，將數列中的每一個項都看作是項數的函數，在求解的過程中將數列的變化和分布圖用函數圖像展示出來，從而更加直觀地發現數列的變化和求解規律，從而大大節省了計算和尋找數列規律的時間，提高數列求解的速度.

例如，以“設等差數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=an+122，n∈N，若bn=（-1）n×Sn，求數列{bn}的前n項和Tn”這道題為例，這道題是以“等差數列”這一條件為線索，運用函數方程思想來求解數列{an}的通項an，在求解數列{bn}的前n項和時，我們可以通過化簡、變形把一般數列的求和問題轉化成等差數列的求和問題，以提高我們的解題效率.

總之，函數思想是數學思想方法的重要內容，是能夠幫助我們理清解題思路、提高解題效率的有力武器.因此，作為高中生我們要理解函數思想并掌握函數思想的本質，利用函數思想來解決方程式問題、不等式問題和數列問題等各種數學難題，從而有效拓寬我們的解題思路、優化解題思想、提高解題技巧，使數學難題都能夠迎刃而解.

【參考文獻】

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