基于變分不等式算法的再制造系統生產決策研究

韓小雅 杜建輝

摘要：針對市場競爭和消費者環保意識條件下再制造產品和新產品的生產決策問題，該文章構建了多個企業之間的博弈模型，并證明了均衡解的存在性和唯一性。在此基礎上，運用變分不等式理論提出了一個高效收斂算法，并借助MATLAB軟件進行了數值分析。數值結果表明，通過變分不等式算法求解再制造系統優化模型，企業能夠準確地做出生產決策;盡管消費者環保意識的提高會降低企業新產品的利潤.但為再制造產品帶來了極大的生產優勢;競爭的加劇并非一定導致企業通過降低價格來減少損失。

關鍵詞：再制造系統;生產決策;變分不等式;環保意識;競爭

中圖分類號：F272.3文獻標識碼：A

O引言

伴隨著全球經濟的迅速發展，因環境污染惡化、資源耗費引起的社會問題層出不窮，而其中最大的源頭在于制造業。為了有效地利用有限的資源，在國家政府相繼出臺政策的大力推動下，居民環保意識不斷加強，對于綠色環保的再制造產品的認可度也不斷提高。因此，再制造系統應運而生，繼而再制造產品逐步融入市場競爭。再制造產品的出現，無疑將會對新產品的銷售造成一定程度的沖擊，究竟會在市場競爭中產生怎樣的影響？本文就此進行建模分析。

對再制造生產方面的研究。對于再制造生產問題，Swaminathan在消費者無法區分再制造產品和新制造產品前提下，研究其對生產批量的影響。張威等翻入研究發現企業投入回收和再制造努力的成本是相互替代的。洪佳等人研究發現再制造供應鏈中聯合定價決策優于分散定價決策。楊春苗等人研究發現政府補貼可以提高節點企業的均衡利潤。李楓等人對不完全信息下的逆向供應鏈的定價與協調問題作了研究。對于庫存問題，Inderfurth等人通過構造混合制造系統得出最優的庫存控制策略。Qu和zhou通過報童模型研究消費者行為對綠色低碳產品生產決策的影響。Qu等人將政府補貼考慮到供應鏈的決策模型中并通過兩個合同機制來協調綠色供應鏈。以上研究雖然對再制造系統作了較為詳細研究和探討，但未考慮消費者環保意識對產品的影響。此外，這些研究對企業間的競爭刻畫得也比較簡略，僅是單一制造商的定價決策問題，而在實際市場競爭中，制造商不僅要應對其上下游企業間的競爭，還要應對企業內部的競爭（自身企業的新產品和再制造產品間的競爭）。綜上所述，本文在以上研究的基礎上，充分考慮消費者環保意識對企業經營策略的影響，并將單一競爭推廣到多重企業間的競爭，同時，將企業內部競爭考慮進去，提出了基于變分不等式的再制造系統優化模型。

對于變分不等式的研究現狀。Nagumey詳盡地介紹了變分不等式的概念以及相關定理。Qiang將其應用到閉環供應鏈網絡模型的求解問題上。變分不等式求解的難點在于模型本身，由于充分考慮了再制造系統的各個制約因素，模型變得復雜而龐大，利用傳統的算法難以求解，求解時間較長，甚至找不到可行解。針對此難點，本文提出更加高效便捷的歐拉算法，在保證模型取得均衡解基礎上，實現求解過程中快速收斂的效果，從而進一步推廣變分不等式模型的應用范圍。

1模型構建與變量定義

在再制造系統中，企業不僅要生產新產品，還要生產再制造產品，具體的業務流程如圖1所示。

在再制造系統中，企業既可以生產新產品，新產品的定價與庫存策略與普通產品一樣，同時，又通過回收中心回收舊產品，并經二次制造再次推向市場。環保意識高的消費者會選擇再制造產品，環保意識低的消費者會選擇購買新產品。

本文研究的問題是：在市場競爭和消費者環保意識條件下，如何應用變分不等式算法來解決多個企業對新產品和再制造產品的生產決策問題，使自身獲得最大利潤。

模型假設：

（1）企業的新產品價格與再制造產品生產量以及其他企業的新產品和再制造產品生產量相關。

（2）企業的再制造產品價格與新產品生產量以及其他企業的新產品和再制造產品生產量相關，并且還依賴于消費者的環保意識水平。

（3）每個企業的新產品和再制造價格函數均關于新產品生產量和再制造產品生產量是連續可微的單調遞減函數。

（4）企業的新產品成本與自己再制造產品生產量以及其他企業的新產品和再制造產品生產量相關。

（5）企業的再制造產品成本與自己新產品生產量以及其他企業的新產品和再制造產品生產量相關。

（6）每個企業的新產品和再制造成本函數均關于新產品生產量和再制造產品生產量是連續可微的凸函數。

根據上述假設，提出以下目標模型式（5），模型變量和符號定義如表1所示。在再制造系統中，每個企業的利潤組成兩個部分，即：新產品利潤和再制造產品利潤。企業j優化模型如下所示：

通過表2中的結果可以發現：（1）從消費者角度分析：當環保意識較低（p=2）時，企業l和企業2的新產品生產量和價格均高于其自身的再制造產品生產量和價格，說明市場上大部分消費者還是愿意花費高的價格購買新產品。（2）從企業競爭的角度分析：企業l遠低于企業2的利潤，因為更多消費者偏愛企業2，更愿意花費更高價格購買企業2的產品。

3.2環保意識靈敏度分析。隨著消費者的環保意識會不斷提高，本文將p=2上升到p=3.5，兩個企業的新產品價格函數與算例（3.1）保持不變，但其再制造產品價格函數發生改變（消費者環保意識提高），如下：

比較表2和表3發現：隨著環保意識的提高企業l利潤增加8.8225%，企業2利潤增加3.6072%。盡管環保意識的提高會導致一些消費者放棄購買新產品。然而，由于環保意識的提高會促進更多消費者花費更高的價格購買再制造產品，反而會增大企業再制造產品的收入。在（3.2）場景下，兩個企業再制造產品利潤的增大幅度要大于其新產品利潤減少幅度。因此，當環保意識水平從p=2上升到p=3.5時，企業1和企業2的利潤均有所提高。為了分析環保意識對兩個企業生產過程的影響，還考慮當環保意識不斷變化時，分析其對企業新產品和再制造產品生產量以及各自利潤的影響，如圖2至圖4所示。

從圖2觀察到：當環保意識p=2變化到p=4時，企業1和企業2新產品的均衡產量均隨著p的增大而減小，而企業1和企業2再制造產品的均衡產量均隨著p的增大而增大。這進一步說明了隨著環保意識的增強，對再制造產品的認可度會逐漸的增強，而對于新產品的依賴程度則會降低。此外，圖2顯示這兩個企業再制造產品產量上升的幅度要大于其新產品產量下降的幅度。

在圖3中可以看出，當環保意識p=2變化到p=4時，企業1和企業2新產品的價格均隨著p的增大而減小，而企業1和企業2再制造產品的價格均隨著p的增大而增大。這意味著消費者更愿意花費更高的價格購買再制造產品。同時，可以發現這兩個企業再制造產品價格上升的幅度要大于其各自新產品價格下降的幅度。

根據圖4，當環保意識p=2變化到p=4時，發現企業總利潤均隨著p的增大而增大。由于消費者環保意識的提高，盡管價格和產量均下降，導致新產品利潤下降。但再制造產品利潤上升的幅度要比新產品利潤下降的幅度要大，并隨著p的增大，其幅度的大小也越來越大。因此，環保意識的提高能為企業帶來更大的利潤空間，企業應當采取相應措施。

3.3競爭程度靈敏度分析。在算例（3.3）中，假定市場上進入一個新企業（企業3）。企業3的加入，導致企業之間的競爭越來越強。設定p=3.5，價格函數為：

比較表3和表4發現：（1）整體競爭加劇。由于競爭者企業3的加入，導致企業l新產品和再制造產品的生產量和價格均下降，從而企業1的利潤降低6.8599%。此外，企業3的加入對企業2的影響更大，企業2的利潤下降19.8235%;（2）新產品增價止損。企業2新產品的價格增大，且其新產品生產量下降。因為對于企業2的新產品，隨著競爭程度的增高，其價格降低難以導致產量大幅度上升，所以價格增高會減少企業2的利潤損失;（3）再制造產品降價止損。企業2再制造產品的價格和生產量均有所降低，原因是對于企業2的再制造產品，其價格的降低會避免由于競爭程度的加強導致其產量出現大幅度下降，從而達到降低其利潤損失的目的。

對比表2和表4的結果發現：環保意識的提高會彌補因競爭的加劇帶來的損失。企業2的利潤下降16.9314%，而企業1的利潤上升1.3574%，原因是盡管企業3的加入導致市場競爭程度越來越高，使企業2的利潤降低，然而，環保意識的提高會促進更多消費者以高價格購買再制造產品，這會增大企業1的利潤。具體而言，雖然企業1新產品的價格和產量均下降導致其新產品利潤降低。然而，企業1再制造產品的價格上升42.1003%，產量上升42.0873%，并且再制造產品利潤上升的幅度要大于其新產品利潤下降的幅度，所以其總利潤會上升。對于企業2而言，盡管其再制造產品的價格和產量都增大，但再制造產品利潤上升的幅度無法彌補新產品利潤下降的幅度，從而企業2總利潤降低。

4結論

本文主要研究多個企業對新產品和再制造產品的生產決策問題。在消費者環保意識和市場競爭條件下，以企業的利潤最大化為目標，建立多企業多變量的復雜再制造系統優化模型。本文運用變分不等式理論將其轉化為相對應的變分不等式問題，并證明了均衡解的存在性和唯一性。在此基礎上，本文提出一個高效收斂算法（歐拉算法），運用MATLAB軟件進行編程，可在十幾秒時間內獲得數值結果。

本文通過算例研究，得到如下結論：（1）盡管消費者環保意識的提高會降低企業新產品的利潤，但對再制造產品帶來的好處遠遠大于新產品損失，且環保意識越高，企業的總利潤上升速度越大。（2）競爭程度的加強并非一定導致企業通過降低價格來減少損失。雖然新企業的加入會一定程度地降低其他企業新產品和再制造產品帶來的利潤水平，企業不一定必須通過降低價格、提高產量的方式來降低損失，或許用差異化的競爭策略會起到更好效果。