一般代數(shù)方程歷史及其數(shù)學(xué)思想評述

何小琴

摘 要：本文主要講述了一般代數(shù)方程從古至今的歷史及其發(fā)展，以及對代數(shù)方程解法的數(shù)學(xué)思想，另外介紹了歷史上一些偉大的數(shù)學(xué)家，包括Lagrange，伽羅瓦，魯菲尼，高斯等，以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想置換，劃歸等數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，并對代數(shù)方程的求解歷史進(jìn)行探究，從一元一次，一元二次到后來的一元五次及五次以上方程解的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：代數(shù)方程;發(fā)展歷史;Lagrange;伽羅瓦;預(yù)解式

一、一般代數(shù)方程的發(fā)展歷史

古代時期對方程理論已經(jīng)有所發(fā)現(xiàn)，對方程思想的記錄也有很多，其中比較古老且富有價值的便是1899年在河南發(fā)掘的殷商文字，即甲骨文，就有計數(shù)符號流傳，除此之外，還有鐘鼎文或叫金文。其實，方程在古老的春秋戰(zhàn)國時期就已經(jīng)有符號的記錄，關(guān)于方程、開方等在著名的《九章算術(shù)》中有詳細(xì)的記載。雖然對于方程的起源的具體時間難以探索，但我們?nèi)阅苷业焦糯鷮Ψ匠痰挠涊d，對方程的發(fā)展能帶來很大的幫助。

在秦漢時期，方程思想開始了最初的發(fā)展階段;在魏晉時期，方程思想快速發(fā)展;在宋元時期，方程思想發(fā)展達(dá)到高峰期，這些發(fā)展階段都是以《九章算術(shù)》為基礎(chǔ)，通過對《九章算術(shù)》的修改和整理，使得方程論不斷發(fā)展，由于《九章算術(shù)》經(jīng)過修訂后仍存在許多弊端，在此基礎(chǔ)上，劉徽注了《九章算術(shù)注》并對方程的解法提出了更簡單的方法，他提出直除法，是古代解方程最簡單也是最早的方法。

到公元1000年左右，一元一次和一元二次方程的解法大多數(shù)人都可以很好的掌握，而一元三次、一元四次代數(shù)方程的求解則相對復(fù)雜，最早出現(xiàn)三次方程都是通過查表法解決，最早公開發(fā)表三次方程的求解方法、求根公式和幾何驗證其解法的是卡爾達(dá)諾，在卡爾達(dá)諾的《大法》中也包括了費拉里求解四次方程的方法。

在代數(shù)方程的求解發(fā)展過程中，有很多數(shù)學(xué)家都做出過貢獻(xiàn)，其中較突出的一位是法國的Lagrange，他使代數(shù)方程的求解發(fā)生了巨大的變化，他指出解原方程的輔助方程是非常重要的一步，因此在解四次方程的時候，如果一個三次的輔助方程能預(yù)解出，那么就可解原四次方程，原方程的解可以通過解輔助方程來順利得到，這就是用置換的思想進(jìn)行代數(shù)方程的求解，這是偉大的數(shù)學(xué)家Lagrange提出的，預(yù)解式的概念也由此提出來。

許多的代數(shù)學(xué)家都被Lagrange對于方程求解的理論影響，這為他們研究代數(shù)方程的求解做了很多鋪墊，是代數(shù)方程發(fā)展的基石，從而讓代數(shù)方程更好地發(fā)展起來，比如著名的數(shù)學(xué)家高斯，另外還有魯菲尼對于高次方程沒有根式解發(fā)表多篇文章.Lagrange只是提出了求解理論，但并沒有取得任意次方程的解，而五次代數(shù)方程是沒有一般解的，這是由數(shù)學(xué)家魯菲尼提出來的，這是他通過分析證明得到的，魯菲尼的宣告的可靠性遭到了很多數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑，一般根式解是否不能存在于五次代數(shù)方程中，大家對代數(shù)方程求解的思考正是由于這些數(shù)學(xué)家而被推動了，去解五次及五次以上的方程不再是數(shù)學(xué)家們一味研究的事情了，而是去思考代數(shù)方程的解是否存在的問題，他是在吸收了Lagrange的大量工作后，得出來的一系列的結(jié)論，所以在前人的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究能幫助數(shù)學(xué)更好地發(fā)展。

二、一般代數(shù)方程數(shù)學(xué)思想及其評述

在三次、四次代數(shù)方程可求解之后，數(shù)學(xué)家們就開始了更高次的代數(shù)方程的求解，在提出高次方程的根式求解之后，數(shù)學(xué)家們都致力于求高次方程的根式解，而并沒有思考這種方程是否有根式解，所以他們對于五次方程的求解都失敗了，直到后來，偉大的數(shù)學(xué)家Lagrange把置換的概念引進(jìn)了代數(shù)方程的求解，置換的概念對代數(shù)方程的根式解問題非常重要.[6]

在Lagrange的影響下，高斯給出了特殊方程分圓方程的根式解，雖然他們的結(jié)論受到了很多人的否定，但是也推進(jìn)了代數(shù)方程求解的發(fā)展，置換思想在魯菲尼的證明中起著非常重要的作用，但他的證明并不完整，直到阿貝爾做了一些新的證明，并得到了阿貝爾定理，阿貝爾的工作是對魯菲尼的工作的修正和補(bǔ)充，這種重要的思想用在了他對高次方程的根式解證明中，收到了很好的效果，繼承了Lagrange轉(zhuǎn)化的思想后又有了伽羅瓦理論，把預(yù)解式的構(gòu)成同置換群聯(lián)系起來，突破了前人的傳統(tǒng)，在觀念上發(fā)生了根本的變化。

轉(zhuǎn)化和劃歸的思想就是將問題由難化易，從而使問題簡單化，便于我們求解，在代數(shù)方程的研究中，轉(zhuǎn)化和劃歸的思想無處不在，劃歸即是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的思維方式，代數(shù)方程涉及的知識點較多，最重要、最基本的數(shù)學(xué)方法之一就包含了劃歸思想方法，它對于揭示聯(lián)系、實現(xiàn)轉(zhuǎn)化很重要，并達(dá)到問題的規(guī)范化，常將不熟悉和難解決的問題轉(zhuǎn)化為易知的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體直觀的問題，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

三、結(jié)束語

本文主要研究的是一般代數(shù)方程的歷史及其部分?jǐn)?shù)學(xué)思想，首先運用文獻(xiàn)發(fā)，對一般代數(shù)方程理論的發(fā)展進(jìn)行了梳理，然后對一般代數(shù)方程的歷史進(jìn)行數(shù)學(xué)家在解代數(shù)方程中的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了相關(guān)的說明，最后針對代數(shù)方程在數(shù)學(xué)中的重要性進(jìn)行介紹，認(rèn)識到一般代數(shù)方程的數(shù)學(xué)思想在實際的解題中的廣泛運用，并且介紹了不同歷史時期偉大的數(shù)學(xué)家對一般代數(shù)方稱求解過程中做出的貢獻(xiàn)。

通過本次課題研究，對課程相關(guān)資料的收集調(diào)查，加強(qiáng)了我的學(xué)習(xí)知識，拓展了代數(shù)方程數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，使得更容易把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并易于把理論知識靈活地運用到實際問題的解決中，提高自己解決問題的能力，為今后的工作和學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊文杉.談中國方程式理論的發(fā)展史[M].中教研究2017.3.

[2]趙增遜.數(shù)系發(fā)展對代數(shù)方程的影響[M].陜西：陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院2011.11.

[3]李文林.數(shù)學(xué)史概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2000：1-31，74-75，126-130.