2019年數學建模B題“同心協力”策略研究

藺深 劉焱

摘要：隨著社會的發展，企業不再局限于只注重個人的能力，還強調團隊協作能力。“同心協力”是一項團隊協作能力拓展項目。該項目以團隊各人員用繩牽拉牛皮鼓顛球，通過計數合格的顛球數量進行比拼。本文對此項目進行研究，綜合數學與物理學知識建立一階非線性微分方程[1]和二階微分方程組數學模型，分析顛球與團隊合作的關系。

關鍵詞：一階非線性微分方程;二階微分方程;牛頓第二定律;剛體轉動定律

一、引言

在建模題中，假設每個人都可以精確控制用力方向、時機和力度的理想狀態，要得到最佳協作策略，結合數學與物理學知識，利用牛頓第二定律建立一階非線性微分方程模型，分別以球、鼓為研究對象求出若干分鐘后穩定狀態下的球下落（鼓上升）的時間、人拉繩所產生的合外力及最佳顛球高度。

在現實問題中，隊員位置、發力大小和發力時機不精準會致使鼓面產生傾斜，利用剛體轉動定律，建立二階微分方程組模型，研究隊員發力時機、力度和某一特定時刻的鼓面傾斜角度的關系。并利用控制變量法分3類細化討論，通過控制變量F、ri，研究鼓傾斜角θ與時間t的關系;通過控制變量F、t，研究鼓傾斜角θ與ri的關系;通過控制變量ri、t，研究鼓傾斜角θ與F的關系。依據題目表格數據中給出的隊員們不同發力時機和力度，解出0.1s時不同情況下鼓面的傾斜角度θ。

二、研究結果

（一）理想狀態下的研究

本文以豎直向下為正方向、豎直向上為負方向建直角坐標系，已知球下落的時間與鼓上升的時間相同。以“球在空氣中運動”的狀態將常數取值，則取空氣密度ρ氣=1.29×10-3kg·m-3（20℃時）。垂直下落的球受到重力mg、空氣浮力ρ氣Vg和空氣空氣黏滯阻力三個力的作用，其中m為球的質量，M為鼓的質量，g為重力加速度，V為球的體積，Cd為空氣阻力系數，S1為球的最大橫截面積，S2為鼓的最大橫截面積，v1為球相對于空氣的速度，v2為鼓相對于空氣的速度。

根據牛頓第二定律分別列出關于球和鼓的方程：

利用MATLAB計算得出結論：在45N力的作用下，高度隨時間的增加而增加，由圖中點的坐標可知在該點以后符合題目要求“顛球高度0.4m以上”，解得t≥0.34。

由題目條件“顛球次數盡可能多”可知：顛球一次所用時間越短，在相同時間內累計顛球次數就越多，所以取0.34s為一次顛球所用時間，則高度為h=s1+s2=0.4053m。

（二）現實狀態下的研究

假設同心鼓為一剛體，不同位置的人向上拉時，同心鼓做剛體轉動，因為同心鼓為空心的，假定同心鼓為一圓盤，同心鼓做剛體轉動，如圖1。

由剛體轉動定律列出如下二階微分方程組：

該方程組用于研究隊員發力時機、力度和某一特定時刻的鼓面傾斜角度的關系，其中φ變化很小，近似當做恒定值。從得出傾斜角θ與F的關系，傾斜角θ與時間t的關系結果，隊員站位如圖3。

第一組數據，繩1用90N力，鼓面旋轉的轉軸過繩5與鼓的接點，故產生傾角的力矩可分為4組類別。當力臂分別為0.06、0.2、0.34時兩兩對應力矩相等，即產生的傾角相同。

計算公式為：（0.020817+0.06939+0.117963）×2+0.13878=0.6939

第二組、第三組依據數據同理可得0.1s時鼓面傾角分別為0.4850、1.0871。

第四組數據時，繩1提前0.1s施力，鼓面旋轉的轉軸過繩5與鼓的接點，同理產生傾角的力矩分為4組類別。當力臂分別為0.06、0.2、0.34時兩兩對應力矩相等，即產生的傾角相同。計算過程同上，得到0.1s時鼓面傾角為0.8635。

第五、六、七組計算公式同上，得0.1s時鼓面傾角分別為1.1411、0.9375、0.9251。

第八組數據僅有力臂為0.06時存在對稱情況，故計算過程為：0.018504×2+0.24672+0.06939+0.419424+0.117963+0.12336，得到0.1s時鼓面傾角為1.0139。

第九組數據中，對90N力和提前0.1s單獨分析前半階段求得傾角為0.937536，后半階段求得傾角為0.476478，綜合考慮兩方面影響因素，得0.1s時鼓面傾角為0.461058。

根據9組數據得出9個不同狀態下的鼓面傾角，同時可知不同狀態下的作用都對鼓的傾角有影響，因此也可說明隊員們團結協作的重要性。

三、結論

本文綜合考慮數學與物理學知識，建立一階非線性微分方程和二階微分方程模型研究“同心協力”拓展項目。建立的模型依據堅實可靠的數學基礎和物理基礎，且易于實現。但是現實顛球進行時受各種各樣不確定因素，本文不能完全將所有的影響因素納入計算，所得的數據結果依然存在誤差。并且本文中利用了剛體轉動定律，對于非工科或物理專業的人有一定的難度。

參考文獻：

[1]?司守奎，孫兆亮.數學建模算法與應用，北京：國防工業出版社，2018.9.

[2]?鞠衍清.垂直下落球體運動的數值分析，大學物理，第27卷第11期：11-14，2008.

[3]?馬文蔚.物理學教程（第二版）[M].高等教育出版社，2006.

[4]?周衍柏.理論力學教程（第三版）[M].高等教育出版社，2009.

作者簡介：藺深，女，漢族，山東省萊蕪市，1999.10，大學本科，旅游管理專業;

劉焱，女，漢族，研究生，講師，研究方向：數學建模。