永磁偏置磁軸承的H∞混合靈敏度控制研究

姜浩 竇珂

摘 要：闡述了徑向四自由度永磁偏置磁軸承的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及工作原理，采用機(jī)理建模法建立了控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行簡要分析。應(yīng)用H_∞混合靈敏度控制方法和MATLAB魯棒控制工具箱設(shè)計(jì)了永磁偏置磁軸承控制器，并在MATLAB/Simulink平臺(tái)下對(duì)控制系統(tǒng)性能進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果表明：H_∞混合靈敏度控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性及抗干擾能力均達(dá)到預(yù)期指標(biāo)。

關(guān)鍵詞：永磁偏置磁軸承;H_∞混合靈敏度控制

TheH_∞?mixed-sensitivity Control of Permanent Magnetic biased Magnetic Bearings

JIANG Hao，DOU Ke

（NO. 710 R&D Institute CSIC， Yichang 443003， China）

Abstract： The structure?and principle of the four-DOF radial Permanent Magnet biased?Magnetic Bearings is described.The mathematic model of?the control system is established by?the physical theory.?the control system is designed by TheH_∞ mixed-sensitivity?control?approach and?the?MATLAB?Robust Control?Toolbox， and under the MATLAB/Simulink?platform， the?performance of?the designed?controller?is?simulated， the simulation?results show that the prospective?robust stability?and disturbance suppression?performance?of theH_∞mixed-sensitivity?control system?are both reached.

Key words： Permanent Magnets Biased Magnetic Bearings;H_∞mixed-sensitivity Control

0 ??引言

磁軸承（又稱磁力軸承、磁懸浮軸承）是一種能進(jìn)行主動(dòng)控制的機(jī)電一體化軸承。其基本原理是利用磁場(chǎng)力將轉(zhuǎn)軸懸浮在磁場(chǎng)中，使轉(zhuǎn)軸在空間無機(jī)械接觸、無磨損的旋轉(zhuǎn)。與傳統(tǒng)的滾動(dòng)軸承和滑動(dòng)軸承相比，磁軸承不存在機(jī)械接觸，轉(zhuǎn)子可以達(dá)到很高的旋轉(zhuǎn)速度.具有無磨損、能耗低、噪聲小、壽命長、無需潤滑、無油污染等優(yōu)點(diǎn)，具有廣泛的應(yīng)用前景^{[1] [2]}。

永磁偏置磁軸承是一種混合磁路型磁軸承，利用永磁材料替代主動(dòng)磁懸浮軸承中的偏置電流產(chǎn)生靜態(tài)偏置磁場(chǎng)，具有耗能低、線圈匝數(shù)少等特點(diǎn)，具有一定的研究和應(yīng)用價(jià)值。近年來，隨著高磁能積稀土永磁材料的發(fā)展和成熟，對(duì)永磁偏置磁軸承的研究逐漸成為國內(nèi)外磁軸承領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一^[3]。

控制系統(tǒng)是磁軸承系統(tǒng)的核心，不但決定能否實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定而且決定系統(tǒng)的剛度和阻尼，影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和魯棒性^[2]。考慮到永磁偏置磁軸承系統(tǒng)被控對(duì)象存在以下特點(diǎn)：1）控制電流和轉(zhuǎn)子位移的強(qiáng)烈非線性;2）各自由度之間存在較強(qiáng)的慣性耦合和陀螺效應(yīng);3）轉(zhuǎn)子密度不均引起的干擾力及較大負(fù)載力變化，因而在永磁偏置磁軸承的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中魯棒穩(wěn)定性問題和抗干擾問題異常突出。

針對(duì)這種存在較大不確定性的系統(tǒng)，理論和試驗(yàn)均表明經(jīng)典PID控制往往難以取得好的控制效果，因而本文嘗試采用H_∞控制理論中的混合靈敏度方法進(jìn)行研究。

1 永磁偏置磁軸承的工作原理及模型描述

1.1 工作原理

徑向四自由度永磁偏置磁軸承系統(tǒng)主要包括位移傳感器、控制器、功率放大器、永磁體、電磁鐵芯和轉(zhuǎn)子六部分，其任一自由度工作原理如圖1所示：永磁體和電磁線圈分別用于在定子鐵心、氣隙和轉(zhuǎn)子鐵芯形成的磁場(chǎng)回路中產(chǎn)生偏置磁通和控制磁通。當(dāng)轉(zhuǎn)子向下偏離中心位置時(shí)，上氣隙變大，磁阻增加，偏置磁通減小，同理，偏置磁通增加，由于<永磁體產(chǎn)生的偏置磁通不能使轉(zhuǎn)子回到中心位置，這時(shí)通過閉環(huán)控制在上下氣隙產(chǎn)生相同控制磁通，使氣隙較大一側(cè)總磁通為，使氣隙較小一側(cè)總磁通為，當(dāng)控制磁通滿足時(shí)，轉(zhuǎn)子受到的電磁力>，使被控轉(zhuǎn)子返回到平衡位置。

1.2 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

參考文獻(xiàn)[4]所述主動(dòng)磁軸承模型建立永磁偏置磁軸承模型。為了簡化系統(tǒng)模型、便于分析先作如下假設(shè)：1）徑向四個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)和電氣參數(shù)認(rèn)為完全一致;2）轉(zhuǎn)子為軸向?qū)ΨQ剛性轉(zhuǎn)子，繞X、Y兩個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等;3）忽略重力對(duì)轉(zhuǎn)子的影響。基于以上假設(shè)，運(yùn)用剛體動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理及有關(guān)線性化的電磁力計(jì)算公式，得到轉(zhuǎn)子四個(gè)平動(dòng)自由度的時(shí)域模型如式（1）所示。

（1）

采取單自由度分散控制策略，在數(shù)學(xué)模型中略去陀螺耦合和慣性耦合，對(duì)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行強(qiáng)制解耦，對(duì)解耦后時(shí)域微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換即可得到徑向四個(gè)平動(dòng)自由度上線圈電流和轉(zhuǎn)子位移之間的傳遞函數(shù)模型如式（2）所示。

（2）

將實(shí)際系統(tǒng)中的陀螺耦合與慣性耦合視作受控對(duì)象的不確定性，對(duì)系統(tǒng)每個(gè)徑向自由度模型分別設(shè)計(jì)魯棒控制器。

根據(jù)四自由度轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)模型、位移傳感器模型、電流型功率放大器模型和AD轉(zhuǎn)化模塊的數(shù)學(xué)模型，得到受控對(duì)象的名義模型為：

（3）

2 基于H_∞混合靈敏度方法的控制器設(shè)計(jì)

2.1 混合靈敏度方法^{[5] [6]}

采用混合靈敏度方法設(shè)計(jì)控制器一方面可以使系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性的同時(shí)能較好地兼顧一定的干擾抑制能力，是H_∞控制理論的典型設(shè)計(jì)方法。混合靈敏度設(shè)計(jì)問題的H_∞控制標(biāo)準(zhǔn)化框架如圖3.4所示：

圖中、、、、、、分別為參考輸入、控制誤差、控制輸出、干擾信號(hào)、評(píng)價(jià)信號(hào)、系統(tǒng)輸出及控制器輸入，且。為廣義受控對(duì)象的傳遞函數(shù)模型，為名義受控對(duì)象傳遞函數(shù)模型，、、分別定義為系統(tǒng)的靈敏度加權(quán)函數(shù)、控制靈敏度加權(quán)函數(shù)和補(bǔ)靈敏度加權(quán)函數(shù)，魯棒性設(shè)計(jì)指標(biāo)通過這3個(gè)加權(quán)函數(shù)體現(xiàn)，為根據(jù)混合靈敏度優(yōu)化方法設(shè)計(jì)的控制器。

目標(biāo)函數(shù)（到的加權(quán)傳遞函數(shù)矩陣）可以表示如下：

混合靈敏度優(yōu)化方法可描述為：對(duì)廣義受控對(duì)象，設(shè)計(jì)真實(shí)有理函數(shù)、、，求反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且有：

在目標(biāo)函數(shù)矩陣中、、為性能函數(shù)，他們依次稱為靈敏度函數(shù)，補(bǔ)靈敏度函數(shù)以及控制靈敏度函數(shù)，其表達(dá)式分別為：

混合靈敏度優(yōu)化問題的本質(zhì)即是通過設(shè)計(jì)、和依次對(duì)、及這三個(gè)性能函數(shù)的優(yōu)化。

是是干擾到輸出之間的傳遞函數(shù)，是控制器的實(shí)際抗干擾能力的度量，代表系統(tǒng)的魯棒性能，越小，則閉環(huán)系統(tǒng)的抗擾能力越強(qiáng)，魯棒性能越好;是參考輸入到系統(tǒng)輸出的傳遞函數(shù)，則是系統(tǒng)能穩(wěn)的乘性不確定性的幅值界限，越小，系統(tǒng)能穩(wěn)的乘性不確定性的幅值界限越大，系統(tǒng)對(duì)乘性不確定性的魯棒穩(wěn)定性越強(qiáng);是參考輸入到控制器輸出的傳遞函數(shù)，則是系統(tǒng)能穩(wěn)的加性不確定性的幅值界限，越小，系統(tǒng)能穩(wěn)的加性不確定性的幅值界限越大，系統(tǒng)對(duì)加性不確定性的魯棒穩(wěn)定性越強(qiáng)。

2.2 加權(quán)函數(shù)選擇及H_∞魯棒控制器設(shè)計(jì)

關(guān)于加權(quán)函數(shù)的諸多選取原則和技巧參考文獻(xiàn)[7]，對(duì)于永磁偏置磁懸浮軸承系統(tǒng)這個(gè)具體的研究對(duì)象，需要結(jié)合該實(shí)際系統(tǒng)的不確定性情況進(jìn)行具體設(shè)計(jì)。

設(shè)定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性指標(biāo)為：允許的相乘性不確定性在高頻段（大于20000 rad/sec）增益為-3dB;魯棒性能指標(biāo)為：對(duì)低頻（低于942.5 rad/sec）干擾的衰減倍數(shù)為-26dB。通過反復(fù)比較和分析，三個(gè)加權(quán)函數(shù)分別設(shè)計(jì)如下：

1）的設(shè)計(jì)（調(diào)整魯棒穩(wěn)定性）。在系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性指標(biāo)的基礎(chǔ)上，反復(fù)調(diào)整、、、、得到加權(quán)函數(shù)如下：

2）的設(shè)計(jì)（調(diào)節(jié)系統(tǒng)的魯棒性能）。考慮魯棒性指標(biāo)，調(diào)整和得到補(bǔ)靈敏度傳遞函數(shù)如下：

3）取為一常數(shù)：

圖3為加權(quán)函數(shù)、的奇異值曲線圖，滿足回路成形不等式的要求。

選定三個(gè)加權(quán)函數(shù)后，利用MATLAB魯棒控制工具箱中混合靈敏度設(shè)計(jì)相關(guān)的命令，得到魯棒控制器K的傳遞函數(shù)表達(dá)式^[8]。

（12）

2.3 設(shè)計(jì)結(jié)果檢驗(yàn)

圖4、5分別為靈敏度函數(shù)、補(bǔ)靈敏度函數(shù)與其加權(quán)函數(shù)倒數(shù)的奇異值曲線，由圖可知：靈敏度函數(shù)和補(bǔ)靈敏度函數(shù)達(dá)到了預(yù)期指標(biāo)要求。

3 控制系統(tǒng)仿真

3.1 系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性仿真

當(dāng)名義模型中的參數(shù)α和β存在±80%的攝動(dòng)時(shí)，得到基于H_∞魯棒器的轉(zhuǎn)子位移階躍響應(yīng)曲線如圖6和圖7。

3.2 系統(tǒng)抗干擾能力仿真和比較

另外設(shè)計(jì)的PID控制器^[9]，受控對(duì)象輸出端分別加入AD幅值為160（156μm），頻率為628rad/sec及1884rad/sec的正弦干擾信號(hào)，用于代表實(shí)際系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速在100Hz和300Hz時(shí)不平衡激振力產(chǎn)生的位移干擾信號(hào)。位置參考階躍信號(hào)始終都設(shè)為0，得到H∞魯棒控制器和設(shè)計(jì)的PID控制器下轉(zhuǎn)子位移階躍響應(yīng)曲線如圖8、圖9。

4 結(jié)論

仿真表明，當(dāng)系統(tǒng)存在較大的參數(shù)不確定性和較強(qiáng)的不平衡激振力干擾時(shí)，設(shè)計(jì)的基于混合靈敏度方法的魯棒控制系統(tǒng)能夠使轉(zhuǎn)軸穩(wěn)定懸浮，而且具有良好的抗干擾性能，實(shí)現(xiàn)了預(yù)期魯棒性和抗干擾能力要求，為永磁偏置磁軸承數(shù)字魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、改善系統(tǒng)可靠性奠定了理論基礎(chǔ)。

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