關(guān)于函數(shù)奇偶性的一些研究

吳方

摘 要：函數(shù)的奇偶性作為函數(shù)的基本性質(zhì)之一，是技能高考中的一個熱點。綜合近四年的真題分析，試題主要是考察函數(shù)奇偶性的判定，筆者對函數(shù)的奇偶性相關(guān)知識點作出了以下的總結(jié)來幫助學(xué)生快速地判斷出函數(shù)的奇偶性，以及利用函數(shù)的奇偶性的一些特性來解決一些數(shù)學(xué)問題.

關(guān)鍵詞；函數(shù)；奇偶性；判定

一、函數(shù)奇偶性概念的理解

設(shè)函數(shù)的定義域為數(shù)集，對任意的，都有（即定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱），且（1）函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，此時稱函數(shù)為偶函數(shù)；（2）函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，此時稱函數(shù)稱函數(shù)為奇函數(shù).如果一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，此時稱函數(shù)為非奇非偶函數(shù).如果一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，此時稱函數(shù)為既奇又偶函數(shù).

二、函數(shù)奇偶性的判定方法

1.定義法：判斷步驟（1）求出函數(shù)的定義域；（2）判斷對任意的是否都有.若存在某個但，則函數(shù)肯定是非奇非偶函數(shù)；（3）分別計算出與.若，則函數(shù)為偶函數(shù)；若，則函數(shù)為奇函數(shù)；若且，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).在用定義法判斷函數(shù)的奇偶性時，一定要先求函數(shù)的定義域，定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)成為偶函數(shù)或奇函數(shù)的一個必要條件.

2.圖像法：（1）如果函數(shù)圖像軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)；（2）如果函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù).

3.規(guī)律法：（1）偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)；（2）奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)；

（3）奇函數(shù)+偶函數(shù)=非奇非偶函數(shù)；（4）奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；

（5）偶函數(shù)×偶函=偶函數(shù)；（6）奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù).

注：存在既奇又偶函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱且.因此規(guī)律法中的第三條的結(jié)論成立的前提是奇函數(shù)與偶函數(shù)要求都不是既奇又偶函數(shù).

三、常見的奇函數(shù)與偶函數(shù)

1.常見的偶函數(shù)奇偶

可以驗證，當(dāng)奇函數(shù)項或偶函數(shù)項前面的系數(shù)不是1的時候，函數(shù)的奇偶性不會改變，例如f（x）=x為奇函數(shù)，g（x）=3x仍為奇函數(shù).

四、偶函數(shù)與奇函數(shù)的一些結(jié)論

（1）如果一個函數(shù)是偶函數(shù)或奇函數(shù)，則這個函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱；（2）如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則它的圖像關(guān)于軸對稱，反之也成立；（3）如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則它的圖像關(guān)于原點對稱，反之也成立；（4）偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間的單調(diào)性是相反的，奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間的單調(diào)性是一致的；

五、關(guān)于函數(shù)奇偶性的典型例題

[解析]第一步：求出函數(shù)的定義域，是否關(guān)于原點對稱，如果不關(guān)于原點對稱，則為非奇非偶函數(shù)；如果關(guān)于原點對稱，則可以按照規(guī)律法進行判斷，判斷結(jié)果為（1）非奇非偶函數(shù)，（2）偶函數(shù)，（3）奇函數(shù)，（4）非奇非偶函數(shù).

[解析]函數(shù)為偶函數(shù)，故定義域關(guān)于原點對稱，有a-1+2a=0，可算出a.再依據(jù)規(guī)律法，可以得出奇函數(shù)項x前面的系數(shù)應(yīng)該為0，故b=0.

參考文獻

[1]徐洪麗.淺談函數(shù)奇偶性的教學(xué)[J].基礎(chǔ)教育論壇，2019（07）：40-41.

[2]丁亮，楊星光.換一些新思路去理解函數(shù)的奇偶性[J].中國校外教育，2014（06）：79.

（作者單位：武漢市儀表電子學(xué)校）