基于NLS方程的畸形波演化規律研究

摘 要：畸形波具有短暫性和偶然性的特征，導致畸形波實測數據較少，畸形波的機理及影響因素仍然不明確。本文針對有限水深Peregrine呼吸子解畸形波的生成及演化進行了相關研究。

關鍵詞：畸形波;NLS方程;Peregrine呼吸子解

0 引言

過去，有限水深畸形波的規律研究多從邊帶不穩定性出發（Stokes波對于緩慢調制的周期性擾動是不穩定的），如：Whitham[1]基于不穩定性理論推導了一對非線性守恒型方程;Chu等人[2]修正了Whitham方程，并研究了波包在長時間范圍內的演化。然而，邊帶不穩定性雖從非線性的角度較為成功地闡述了畸形波的生成機理，但對畸形波的波面函數、邊帶不穩定性的頻率范圍并未明確地給出，研究表明[3]，基于弱非線性（小波陡ka<<1）和窄帶譜假定（∣Δk∣/k<<1）的非線性薛定諤方程可較好地描述畸形波的波浪包絡演化，畸形波的短暫性、大波高等特征與非線性薛定諤方程呼吸子解的特征符合良好。

1.? NLS方程的數值計算方法

研究表明，對于形如式（1）的非線性薛定諤方程，存在如式（2）的孤波解

2.? 基于Peregrine呼吸子解的畸形波生成及演化研究

基于NLS方程的Peregrine呼吸子解（式（10）），通過對有限水深NLS方程的數值求解，研究Peregrine呼吸子解在NLS方程中的生成及演化過程。

其中，td表示無因次時間。

線性系數β等于0.9263，其它模擬參數見表1，模擬結果如圖1所示。

由圖1可知：在算例1中，初始時刻（t=0），波浪幾乎以正弦波的形式向前傳播，僅在局部有微小擾動;畸形波生成時刻（t=150），波列最大波峰高度瞬間增大2倍（為載波波峰高度的3倍）;片刻之后（t=175），最大波峰高度瞬間減小至最大波高的1/2;整個演化過程中，畸形波的生成和消失的時間為50（從t=125到t=175），遠小于波浪的演化周期300，這說明了畸形波生成和消失的偶然性，且t=125時（畸形波生成前）和t=175時（畸形波生成后）存在較大的波峰和波谷，這說明畸形波生成前后會有較大的波峰和波谷生成。算例2至算例3呈現類似變化規律，這里不再贅述。

3.? 小結

本文主要基于有限水深NLS方程，研究畸形波生成和演化規律，總結如下。

（1）基于一階Peregrine呼吸子解畸形波解的分析。

（2）基于NLS方程的數值求解，研究一階Peregrine呼吸子解畸形波在NLS方程中的生成和演化規律，研究表明：Peregrine呼吸子解畸形波發生時，常伴隨較大的波峰和波谷，畸形波生成和消失具有偶然性。

參考文獻：

[1]Whitham G B. Non-linear dispersion of water waves[J]. Journal of Fluid Mechanics， 2006， 27（2）： 399-412.

[2]Chu V H， Mei C C. The nonlinear evolution of Stokes waves in deep water[J]. Journal of Fluid Mechanics， 1971， 47（4）： 337-352.

[3]張曉. Matlab微分方程高效解法[M]. 北京， 機械工業出版社， 2016： 71.

作者簡介：

羅春蓮（1991-），女，漢族，福建龍巖人，教師，中共黨員，助教，碩士研究生，主要從事畸形波及其對海洋結構物作用研究.