與黏彈性地基相互作用的單樁的自振特性分析

柳 偉，張斌偉，柳德龍

（1.蘭州新區城市發展投資集團有限公司，蘭州730087；2.隴東學院 土木工程學院，甘肅 慶陽745000；3.甘肅省高校“黃土工程性質及工程應用”省級重點實驗室，甘肅 慶陽745000；4.中國鐵路烏魯木齊局集團有限公司，烏魯木齊830011）

樁基作為眾多工程領域中的一種深基礎結構形式，以其簡單、適用而廣泛應用于鐵路、公路、機場、海洋平臺、高層建筑地基基礎等，其振動特性一直在科學以及工程應用中備受關注[1-3]。

土與結構相互作用下這一問題的復雜性，歷來都是巖土工程、結構工程、固體力學接觸問題中的棘手難題。蒲育、滕兆春[4]基于Hamilton 原理和線彈性理論，應用微分求積法研究彈性地基梁自由振動的無量綱頻率特性，但沒有考慮實際工程中土體阻尼的影響。張阿舟[5]在考慮樁周土剛度及阻尼的情況下采用分離變量法求解了全埋置一維樁的自振頻率及振型，若運用該方法在求解二維埋置結構自振特性時，得到的頻率方程以超越方程形式表達，計算會更加復雜。彭麗等[6-7]采用復模態方法分析了黏彈性三參數地基上梁的橫向振動特性，并用微分求積方法加以驗證，但沒有分析衰減系數對自振特性的影響。陳興沖[8]采用瑞利法推導計算淺平基橋墩、樁基橋墩及沉井基礎橋墩基頻的近似公式，但該方法不易推廣至高階自振頻率的計算。楊驍等[9]將樁等效為Reyleigh 梁，利用精確有限元法求解成層液化土單樁-土-結構系統的固有頻率，但運用該方法求解Timoshenko梁理論模型時，它的形函數不再精確，必須以增加結構單元數量為代價提高計算精度，不易推廣至現實的工程中去，而波動理論對以上問題的解決提供了一條有效的途徑。

回傳射線矩陣自1998年首次引入結構計算以來，已被成功應用于框架結構及各向同性層狀介質的瞬態響應及振動分析[10-13]，其物理意義明確、列式統一、易于編程，且具有高精度、低耗時、結果可讀性強等優點，在結構動力學分析中具有獨特的優勢。截止目前，對黏彈性地基中結構自振特性的相關研究工作還很少。

本文將回傳射線矩陣法推廣至樁土系統的振動分析中，運用回傳射線矩陣法及求根法，利用MATLAB語言編程，通過具體算例，分析了外露長度、埋置深度、樁端約束情況對埋置結構自振特性的影響，所得結論不僅對結構的質量檢測具有指導意義及工程應用價值，而且可以為結構設計和施工計算提供理論基礎。

1 回傳射線法及求根法的基本原理

本文基于Timoshenko 梁理論的Winkler 地基模型，將樁基劃分為2 個單元3 個節點，節點的編號如圖1（a），建立整體坐標系(X,Y)，引入2 個對偶局部坐標系(x,y)JK和(x,y)KJ，如圖1（b）所示。

在局部坐標系下，12、23單元的波動控制方程為

圖1 與黏彈性地基相互作用單樁的計算模型及局部坐標系

式中：u(x,t)為軸向位移；vb(x,t)為彎矩引起的撓度，vs(x,t)為剪力引起的撓度；l、l12、l23分別為單樁的總長、外露長度、埋置長度；E、G、ρ、h、A、k'、Iz分別為單樁的彈性模量、剪切模量、密度、橫截面高度、橫截面面積、截面剪切系數、橫截面慣性矩；kuj、kvj、βuj、βvj、γj分別為土體縱向彈簧系數、土體橫向彈簧系數、土體縱向阻尼系數、土體橫向阻尼系數和樁身截面轉動時的土體摩擦阻尼系數；j=1 時，ku1=βu1=kv1=βu1=γ1=0；j=2 時，ku2=ku，kv2=kv，βu2=βu，βv2=βv，γ2=γ。

將式（1）式（2）直接進行Fourier變換并整理得

求解式（3）－式（4）得位移在頻域中的表達式為

式中：a1(ω)、a2(ω)、a3(ω)為待定的入射波波幅；d1(ω)、d2(ω)、d3(ω)為待定的出射波波幅；k1、k2、k3為波數，滿足

式中：j=1 時，k11(ω)、k21(ω)、k31(ω)對應12 單元的波數；當j=2 時，k12(ω)、k22(ω)、k32(ω)對應23 單元的波數；

對應于波數k2j,3j與的比值為

軸力、彎矩、剪力和轉角在頻域中的表達式為

如圖2所示的受力分析圖，對節點1建立力平衡和位移協調條件

根據圖3所示的受力分析圖，對節點2建立力平衡和位移協調條件。

圖2 節點1受力分析圖

圖3 節點2受力分析圖

根據圖4所示的受力分析圖，對節點3建立力平衡和位移協調條件

圖4 節點3受力分析圖

將式（10）－式（13）代入式（14）－式（16），并將局部坐標系下的矩陣形式組集成整體坐標系下的矩陣形式為

式中：d、a為總體出射波和入射波波幅向量；S、s為整體散射矩陣和整體源矢量。

從局部坐標系的角度看，對于任一個單元JK，其中一端的入射波對另一端而言就是出射波，因此，入射波的波幅向量和出射波的波幅向量滿足以下相位關系

式中：aJK(ω)和dJK(ω)為同一個單元兩個節點處的入射波波幅和出射波波幅；PJK(lJK,ω)稱為傳播矩陣表示單元JK的長度。

將所有桿件單元的入射波波幅向量aJK(ω)和出射波波幅向量(ω)組集到總體入射波波幅向量a和總體出射波波幅向量d～中，寫成緊湊形式為

由于～與d中各元素相同，而排列順序有所變化，因此，引入置換矩陣U，以調節～中各元素在總體坐標系中的相對位置，有

將式（20）代入式（17），得

式中：R=SPU為回傳射線矩陣；I為單位矩陣。

黏彈性地基中樁基自由振動時，其波源矩陣s=0，即

式中：d(ω) 有非零解的條件為系數行列式|I-R(ω) |必須為零，由于結構在黏彈性地基中自由振動時需考慮土體阻尼對振動的衰減作用，令圓頻率ωn=+iδn。其中，實部為所求的自振頻率，虛部δn為對應的衰減系數。

由于R(ω)中的各項是關于自振頻率ωˉn及衰減系數δn的二維復數超越方程。在數學上此類問題只有數值解而沒有解析解。考慮到以上因素，根據回傳射線矩陣法的列式特點提出將二分法和黃金分割法(簡稱求根法)結合起來進行迭代求解復雜復數方程，即：分別對ωn的實部和虛部δn進行循環，當[I-R(ω) ]的模小于預先給定的誤差時，取出對應的ωn，則ωn的實部ωˉn為所求的自振頻率，虛部δn為對應的衰減系數。

求得結構的自振頻率及衰減系數后即可求得自由振動時的振型曲線，由線性代數的知識可知，矩陣與其行列式的值有如下關系

式中：adj[I-R]為矩陣[I-R]的伴隨矩陣；det[I-R]為矩陣[I-R]的模。

當det[I-R]中ω的實部取自振頻率ωˉn，虛部δn取衰減系數時，式（23）為

設N是出射波波幅向量dk的維數，m為1≤m≤N的任意正整數，矩陣adj[I-R]的第m列記為dk，則

當結構振動頻率等于其自振頻率時，adj[I-R(ωk) ]的每一列均可看作是式（25）的解。即adj[I-R(ωk) ]的每一個非零列都可以做為黏彈性地基中單樁在自由振動時非零出射波的波幅向量，求得dk以后，代入式(22)可求得ak，將ak、dk代入式(5)－式(7)中，可求解結構任意點處的位移，將各節點位移歸一化處理后即可得到黏彈性地基中單樁的振型曲線。

2 數值結果與分析

與黏彈性地基相互作用的單樁計算模型如圖1（a）所示，樁土相互作用用并聯的彈簧和黏壺來模擬，樁底為黏彈性支撐，樁徑D=1.25 m，泊松比μ=0.2337 ，彈 性 模 量E=4.321×1010Pa ，密 度ρ=267 6 kg m3，截面剪切系數k′=0.82；土體計算參數參考文獻[14]中的數值，如表1所列。

表1 黏彈性地基中土體的計算參數

2.1 埋置長度、外露長度對單樁自振特性的影響

以黏彈性地基中樁底彈性支撐、樁頂自由的單樁為例，根據回傳射線矩陣法及求根法，編寫計算任意階數的自振頻率和振動模態的MATLAB程序，如表2所列。

表2 3種工況下單樁的埋置長度、外露長度及樁長

圖5為埋置長度及外露長度對單樁自振頻率的影響。

圖5 埋置長度及外露長度對單樁自振頻率的影響

由圖可知，1 階自振頻率趨于重合，隨著黏彈性地基中單樁自振階數的增大，其自振頻率逐漸增大，尤其第4 階之后，這種增幅很明顯；埋置深度相同時，隨著外露長度越長，結構的各階自振頻率越小；外露長度相同時，隨著埋置深度越深，結構的各階自振頻率越小。

圖6 埋置長度及外露長度對單樁衰減系數的影響

圖6為埋置長度及外露長度對單樁衰減系數的影響。由圖可知，隨著黏彈性地基中單樁自振階數的增大，其衰減系數逐漸增大；埋置深度相同時，隨著外露長度越長，結構的各階衰減系數越小；外露長度相同時，隨著埋置深度越深，結構的各階衰減系數越大。

圖7為埋置長度及外露長度對單樁模態的影響。

由圖7可知，單樁基礎發生自由振動時，埋置長度和外露長度對結構模態并無明顯影響；3 種工況下，隨著樁長的增大，結構的1 階振型曲線趨于重合，隨著黏彈性地基中單樁自振階數的增大，其橫向位移增大，表明樁長對振型中橫向位移的影響較大；埋置部分的橫向位移小于外露部分的橫向位移，表明黏彈性地基對結構的振動衰減作用明顯。

2.2 樁端約束情況對單樁自振特性的影響

圖8為樁端約束情況對單樁自振頻率的影響。

由圖可知，隨著黏彈性地基中單樁自振階數的增大，其自振頻率逐漸增大；樁頂固定工況下單樁各階自振頻率最大，樁頂鉸接工況下單樁各階自振頻率最小，樁頂自由工況下單樁各階自振頻率略小于

圖7 埋置長度及外露長度對單樁模態的影響

圖8 樁端約束情況對單樁自振頻率的影響

其在樁頂固定工況下的各階自振頻率，又大于其在樁頂鉸接工況下的各階自振頻率，這一結果與文獻［7］的結論一致。

圖9 樁端約束情況對單樁衰減系數的影響

圖9為樁端約束情況對單樁衰減系數的影響。由圖可知，隨著黏彈性地基中單樁自振階數的增大，其衰減系數逐漸增大；樁頂自由工況下單樁各階衰減系數最大，樁頂固定工況下單樁各階衰減系數最小，樁頂鉸接工況下單樁各階衰減系數介于其在樁頂自由和樁頂固定工況下的各階衰減系數之間。

圖10 樁端約束情況對單樁模態的影響

圖10為樁端約束情況對黏彈性地基中單樁基礎模態的影響。由圖可知，樁端相對樁底，其橫向位移和軸向位移均增大，表明不同的樁端約束情況對模態的影響較大；樁頂自由工況下單樁各階振型峰值相對其在樁頂鉸接和樁頂固定工況下的各階振型峰值較小，并且樁頂自由時，隨著黏彈性地基中單樁自振階數的增大，樁端的橫向位移逐漸減小。

3 結語

將回傳射線矩陣法推廣至樁土系統的振動分析中，對比分析了黏彈性地基中樁的外露長度、埋置深度、樁端約束情況對單樁自振頻率、衰減系數和模態的影響。得出以下結論：

（1）隨著黏彈性地基中單樁自振階數的增大，其自振頻率增幅、衰減系數逐漸增大，尤其是第四階之后，各階自振頻率增幅很明顯。

（2）隨著外露長度越長，結構的各階自振頻率和衰減系數越小；隨著埋置深度越深，結構的各階自振頻率越小，衰減系數越大。

（3）埋置長度和外露長度對結構的模態并無明顯影響，但樁長對振型中橫向位移的影響較大；埋置部分的橫向位移小于外露部分的橫向位移。

（4）樁頂固定工況下單樁各階自振頻率大于其在樁頂鉸接和樁頂自由工況下的各階自振頻率；樁頂自由工況下單樁各階衰減系數大于其在樁頂固定和樁頂鉸接工況下的各階衰減系數；樁頂自由工況下單樁各階振型峰值相對其在樁頂鉸接和樁頂固定工況下的各階振型峰值較小。