雙聯3K型行星齒輪系統固有特性分析

康 霞，殷廣強,2，趙桂平

（1.西安交通大學 航天航空學院 機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安710049；2.慶安集團有限公司 航空設備研究所，西安710077）

行星齒輪傳動由于體積小、重量輕及承載能力強等優點而得到廣泛應用，國內外學者對其動力學特性進行了研究[1-3]。

Tao Sun 等[4]考慮了嚙合剛度的影響，采用集中參數法建立了2K-H行星齒輪系統平移-扭轉耦合非線性動力學模型，并分析了嚙合剛度對系統動力學性能的影響。宋軼民等[5]在純扭轉模型的基礎上，考慮了行星輪軸承支承剛度的影響，建立了2K-H行星齒輪系統的修正扭轉模型，研究了系統的固有頻率與振動模式。J.LIN等[6]考慮嚙合剛度的影響，建立了行星齒輪系統動力學模型，研究了太陽輪-行星輪嚙合剛度變化導致的系統參數不穩定性。Wei Jing[7]等考慮嚙合剛度和支承剛度影響，建立了多級行星齒輪系統集中參數模型，研究了時變嚙合剛度和時變支承剛度下的系統動態性能。魏靜[8]等考慮嚙合剛度和支承剛度的影響，利用集中質量法建立了NGW 型兩級行星輪系的彎-扭-軸耦合的三維動力學模型，研究了嚙合剛度、行星輪和太陽輪支承剛度對系統固有頻率的影響。宋軼民等[9]通過建立3K-Ⅱ型直齒行星齒輪平移-扭轉耦合動力學模型，分析了系統固有特性及不同振型下的運動特征。雙聯3K行星齒輪系統通過采用行星架+雙聯行星齒輪的結構實現運動減速和扭矩傳遞，結構緊湊且具有更高的傳動效率及更大的傳動比范圍，廣泛應用于飛機高升力系統等傳動裝置[10]。該型行星齒輪系統的第一級和第二級行星輪是聯為一體的構件，屬于特殊的兩級傳動結構，因其較一般行星輪系結構相比的特殊性，相應影響其動力學特性的構件和因素也更復雜，研究其動力學特性對降低飛機高升力系統等的噪聲和振動具有重要理論意義和工程應用價值。

本文考慮嚙合剛度和支承剛度的影響，運用集中參數法建立了雙聯3K行星齒輪系統的平移-扭轉耦合動力學模型，用MATLAB 中eig 函數求解得到其固有特性，并定性地分析了嚙合剛度及支承剛度對系統固有特性的影響，為行星齒輪系統動力學設計提供理論依據和技術支撐。

1 雙聯3K行星齒輪系統動力學模型

1.1 系統等效動力學模型

雙聯3K行星齒輪傳動系統如圖1所示。

圖1 雙聯3K行星齒輪傳動機構簡圖

由太陽輪s，雙聯行星齒輪p1n-p2n（n=1,2,…，N），第一、二級齒圈r1和r2及行星架H構成。雙聯行星齒輪p1n-p2n(n=1,2,…,N)為整體構件，p1n和p2n表示雙聯齒輪上參數不同的兩齒。系統中，第一級齒圈固定，太陽輪和第二級齒圈分別為輸入、輸出構件。A為輸入端，B為輸出端。

圖2為雙聯3K行星齒輪系統的集中參數模型。在模型中將太陽輪、行星輪、齒圈及行星架視為剛體，各軸承的支承以及齒輪間的嚙合簡化為彈簧和阻尼。

圖2 雙聯3K行星齒輪系統等效動力學模型

圖2中，太陽輪、第一、二級齒圈、行星架和行星輪軸承的徑向支承剛度分別為ks、k1r、k2r、kH、kn，徑向支承阻尼分別為Cs、C1r、C2r、CH、Cn；第一級齒圈的周向支承剛度和阻尼為k1ru和c1ru；太陽輪和行星輪、行星輪和第一級齒圈、行星輪和第二級齒圈嚙合副的嚙合剛度分別為ksn、k1rn、k2rn，嚙合阻尼分別為Csn、C1rn、C2rn；太陽輪、第一、二級齒圈、行星架和行星輪周向位移為us、u1r、u2r、uH、un。

1.2 構件間相對位移分析

將各構件間的相對位移沿嚙合線方向投影，則可以得到各構件間相對位移表達式。

太陽輪-行星輪嚙合副相對位移

第一級齒圈-行星輪嚙合副相對位移

第二級齒圈-行星輪嚙合副相對位移

行星架-行星輪相對位移

其中：太陽輪、行星輪、第一、二級齒圈、行星架沿x方向位移為xs、xn、x1r、x2r、xH，沿y方向的位移為ys、yn、y1r、y2r、yH，周向位移為us、un、u1r、u2r、uH，太陽輪、齒圈1、齒圈2 與行星輪n(n=1,2,…，N)的嚙合角分別為αsn、α1rn、α2rn；φn為相鄰行星輪中心角，φn=2π/N,φsn=φn-αsn，φ1rn=φn-α1rn,φ2rn=φn-α2rn。

1.3 各構件運動微分方程

太陽輪、行星輪、第一、二級齒圈及行星架質量分 別 為ms、mn、m1r、m2r及mH，轉動慣量為Is、In、I1r、I2r及IH，rbs、rbn、r1br、r2br為各齒輪基圓半徑，rH為行星輪軸心與行星架形心的距離。Td和TL為輸入和輸出轉矩。假設各行星輪尺寸和質量均相同且等間距布置，各行星輪支撐剛度及阻尼相同，各行星輪與太陽輪和齒圈的嚙合剛度及阻尼相同。則可得：

太陽輪運動微分方程

第一級齒圈運動微分方程

第二級齒圈運動微分方程

行星架運動微分方程

行星輪運動微分方程

1.4 系統動力學模型

綜合各構件的運動微分方程，可得雙聯3K行星齒輪系統動力學模型。每個構件有3 個自由度，則整個系統有3×(4+n)個自由度。該行星齒輪系統動力學方程為

其中：q為廣義位移向量，M、Cb、Cm、Kb、Km分別為系統質量矩陣、支撐阻尼矩陣、嚙合阻尼矩陣、支撐剛度矩陣、嚙合剛度矩陣，T為驅動力矩和阻力矩與相應構件半徑相除后得到的當量力向量，F為激勵力向量。

忽略外部激勵和阻尼，可以得到系統自由振動方程

設fi為系統固有頻率，φi=[pc，p1r，p2r，ps，p1，…，pN]為振型，pc=[xc，yc，uc]，p1r=[x1r，y1r，u1r]，p2r=[x2r，y2r，u2r]，ps=[xs，ys，us]，pn=[xn，yn，un]，n=1，…，N。

2 系統固有特性分析

雙聯3K行星齒輪系統參數如表1[10]所示。

運用MATLAB中eig函數求解系統自由振動方程（7），即可得到其固有頻率和振型，系統固有頻率如表2所示。

表2中，雙聯3K行星齒輪系統的行星輪個數從3增加到7時：重根數m=1，2及N-3的固有頻率個數不變；根據飛機的振動環境，頻率一般低于2 000 Hz。著重研究2 000 Hz以下的低階固有頻率變化可知，m=1時的固有頻率值變化很小，m=N-3時的固有頻率值不發生改變，僅m=2 時的3 階固有頻率值有較明顯的減小，減幅分別為12.63 %、8.80 %及16.58%。

圖3列出行星輪個數N=4，頻率分別為1 112.80 Hz,614.80 Hz 及1 158.93 Hz 時的振型圖。其中，虛線為初始位置，實線為振動后位置，實線段為構件橫軸線。為簡化圖形，未畫出行星架振動后的位置。

圖3中，頻率為1 112.80 Hz 時，中心構件（行星架、第一、二級齒圈及太陽輪）在x和y方向位移為零，只存在扭轉振動；頻率為614.80 Hz時，中心構件周向位移為零，只存在x和y方向的平移振動；頻率為1 158.93 Hz 時，中心構件各向位移均為零，只有行星輪發生振動。依據中心構件及行星輪的不同振動狀態，系統的振動模式分為中心構件扭轉振動模式、中心構件平移振動模式及行星輪振動模式，分別對應系統動力學方程的重根數m=1，2及N-3。

綜合表2和圖3可知，系統3種振動模式對應的固有頻率個數為定值，與行星輪個數無關；2 000 Hz以下的中心構件平移振動模式的固有頻率受行星輪個數的影響最大，中心構件扭轉振動模式和行星輪振動模式的固有頻率不受行星輪個數影響。

3 剛度對固有頻率的影響分析

嚙合剛度和支承剛度是影響行星齒輪系統動力學性能的重要參數。表1中其余參數不變，改變支承剛度ks、k1r、kp及嚙合剛度ksn、k1rn、k2rn，行星輪個數為4的雙聯3K行星齒輪系統低階固有頻率隨剛度的變化曲線如圖4所示。

表1 雙聯3K行星齒輪系統基本參數

表2 雙聯3K行星齒輪系統固有頻率/Hz

圖3 雙聯3K行星齒輪系統振型圖

由圖4可知，剛度值由107N/m 變化到109N/m時，ks使系統8～12階固有頻率發生改變，k1r使系統4～9階固有頻率改變，kn使系統6～12階固有頻率改變，ksn、k1rn和k2rn使系統10～12階固有頻率改變，綜上可知支承剛度對系統低階固有頻率的影響大于嚙合剛度。此外，著重研究圖3中2 000 Hz 以下的系統固有頻率，可知支承剛度k1r是其主要影響因素。這為該型雙聯3K 行星齒輪系統的動力學優化設計提供了依據。

圖4 固有頻率隨剛度的變化曲線

由圖4（a）中A 處局部放大可知，f10和f11為中心構件平移振動模式的兩條重合固有頻率軌跡，隨著ks的微小變動，2 條軌跡迅速分離，同時振動模式變為中心構件扭轉振動模式。之后，f11的軌跡與原為中心構件扭轉振動模式的固有頻率軌跡f12合并為新的重合軌跡，同時振動模式也變為中心構件平移振動模式，而另一條軌跡f10則由中心構件平移振動模式轉為中心構件扭轉振動模式。與一般行星齒輪傳動系統中存在的模態躍遷相比，二者均使系統固有頻率發生突變。區別在于，一般行星齒輪系統的模態躍遷，兩條軌跡在距離很近的位置以較大曲率迅速轉向分開而不發生重合或交叉，相應的未發生振動模式的改變。而圖4（a）中，雙聯3K行星齒輪系統2條原來重合的軌跡在A處分開后，其中一條與第三條軌跡合并，組成新的軌跡。在這個過程中，振動模式發生改變，其中f10實現了平移-扭轉振動模式的轉變，f11實現了平移-扭轉-平移振動模式的轉變，f12實現了扭轉-平移振動模式的轉變。同樣的還有B（圖4（b））、C（圖4（c））、D（圖4（d））、E（圖4（e））點。這些點處剛度值的變化使雙聯3K 行星齒輪系統固有頻率和振動模式發生突變，系統處于不穩定狀態，在設計過程中需要避開。

4 結語

（1）考慮嚙合剛度和支承剛度的影響，運用集中參數法建立了雙聯3K行星齒輪系統平移-扭轉耦合動力學模型，研究結果表明系統振動模式可概括為中心構件扭轉振動模式、中心構件平移振動模式及行星輪振動模式。

（2）研究行星齒輪個數對固有頻率的影響，表明行星輪個數不影響系統3種振動模式對應的固有頻率個數，且行星輪個數對2 000 Hz 以內的中心構件平移振動模式的固有頻率值影響較大，而不影響其余兩種振動模式的固有頻率值。

（3）支承剛度對系統低階固有頻率的影響大于嚙合剛度，且第一級齒圈支承剛度k1r是2 000 Hz 以內系統固有頻率的主要影響因素，這為雙聯3K行星齒輪系統的動態特性優化設計提供了理論依據。