環(huán)境激勵下基于ESMD的結構模態(tài)參數識別方法

趙 斌，封周權，陳政清

（湖南大學 風工程與橋梁工程湖南省重點實驗室，長沙410082）

模態(tài)參數是表征結構動力特性的主要參數，這些參數可以用于結構有限元模型修正、結構損傷識別、狀態(tài)評估和響應預測等,對于結構健康監(jiān)測和振動控制等工程應用具有重要意義。為了準確獲得結構的模態(tài)參數，尤其是結構的模態(tài)阻尼比，可采用人工激勵的動力試驗方法，然而，由于土木工程結構大多具有結構形式復雜，體型巨大和所處環(huán)境復雜多變等特點，對人工激勵的設備和能量要求高，另外，對運營狀態(tài)下的土木工程結構如橋梁等進行封閉測試很不現實，因此，傳統人工激勵方法（力錘或激振器等）往往并不適用。于是，基于環(huán)境激勵（地脈動、風荷載、交通荷載等）的模態(tài)測試技術已成為土木工程結構中最常用的方法。環(huán)境激勵下的模態(tài)參數識別方法大體可以分為時域、頻域和時頻域3種類別，其中時域方法對響應時程數據直接進行信號分析，如自然激勵聯合特征系統實現法（NExT-ERA）[1]，隨機子空間識別法[2]等。頻域方法一般是將響應數據先進行傅里葉變換再進行參數識別，主要有峰值拾取法[3]，頻域分解法[4]以及基于振動響應傳遞比函數的系統識別方法[5-6]等，時頻域方法一般是基于小波變換或希爾伯特-黃變換（Hilbert-Huang Transform，HHT）等信號分析技術的識別方法。其中傅里葉變換適用于處理平穩(wěn)信號，而對于非平穩(wěn)信號，具有自適應特點的希爾伯特-黃變換是一種不錯的方法[7-8]。HHT 的核心部分為經驗模態(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）。

近年，王金良等人在希爾伯特-黃變換方法的基礎上提出了一種數據分析的新方法——極點對稱模態(tài)分解方法[9-10]（Extreme-point Symmetric Mode Decomposition，ESMD）。ESMD 不同于EMD 的地方在于：EMD 的篩選過程是構造外部包絡曲線，而ESMD 是通過極點對稱構造內部插值曲線，所以更能反映振動相對于其自身的局部對稱性，由于內部均線幅值較小，這樣就能更好地降低由插值帶來的不確定性。另外，ESMD方法在篩選次數的規(guī)定上，提出了基于優(yōu)化全局均線的最佳篩選次數，這樣既能保證模態(tài)的對稱性又能避免因為固定篩選次數而帶來的盲目性,確保了最佳的篩選效果。

土木工程結構往往是多模態(tài)的，ESMD和EMD分解后的信號均存在模態(tài)混疊問題，為了避免模態(tài)混疊，在模態(tài)分解之前往往會對響應信號進行濾波[11]，對濾波后的響應信號再進行模態(tài)參數的識別，往往能得到較理想的結果。

隨機減量技術（Random Decrement Technique，RDT）是環(huán)境激勵下時域模態(tài)分析的常用方法[12-14]，假定系統受到一個平穩(wěn)隨機過程激勵，此時系統的響應是由初始條件的確定性響應和隨機荷載作用下的隨機響應疊加而成。隨機減量技術通過對響應信號進行多段截取求平均，得到自由衰減振動信號。由自由衰減振動信號，可以識別結構的頻率和阻尼比。然而，隨機減量法在處理多模態(tài)信號時存在問題，它不能同時識別多個模態(tài)的模態(tài)參數。

鑒于此，本文提出了一種基于ESMD 的應用于環(huán)境激勵下土木工程結構的模態(tài)參數識別的新方法。該方法先利用ESMD將濾波后的窄帶信號分解成單模態(tài)信號，然后利用隨機減量技術提取模態(tài)參數。通過一座5層剪切框架的數值仿真分析和一座3層剪切框架模型的實驗研究，分析了所提方法的有效性和可靠性。

1 基于ESMD 的結構模態(tài)參數識別方法

1.1 基于ESMD的模態(tài)參數識別算法流程

圖1表示基于ESMD的模態(tài)參數識別過程。首先，對采集的響應信號按照頻域信息進行濾波和降噪等預處理，接著對濾波后的信號應用ESMD 方法進行分解，得到每1 階模態(tài)響應信號，然后對每1 階模態(tài)響應信號分別應用隨機減量技術進行處理，得到每1 階模態(tài)自由振動衰減曲線，最后用最小二乘擬合方法對每1 階模態(tài)自由振動衰減曲線進行擬合，得到頻率、阻尼和振型等參數。

1.2 ESMD方法基本理論

1.2.1 ESMD算法流程

（1）對一組待分析數據Y的所有極大值點和極小值點進行標記，依次記為Ei(i=1,2,…,n)；

（2）找出相鄰兩極點連線的中點，記為Fi(i=1,2,…,n-1)，并補充數據兩側端點F0=F1,Fn=Fn-1；

（3）根據上面所得到的n+1 個中點構造m條內部插值線L1,…,Lm(m≥1,一般取值1,2,3)。當m=1時，即用所有中點構造一條插值曲線，相應稱為ESMD_I，當m=2 時，分別用奇數中點和偶數中點構造兩條插值曲線，相應稱為ESMD_II，當m=3 時，分別用第3k+1，3k+2，3k+3(k=0,1,…)個中點構造3條插值曲線，相應稱為ESMD_III；

（4）計算均值曲線L*=(L1+…+Lm)/m；

（5）記經驗模為Y-L*，重復以上步驟直至 ||L*小于目標誤差或者篩選次數達到預定值K時，第一個經驗模M1即被分解出；

（6）依上述步驟對Y-M1進行分解可得到M2，同理可得到M3,M4…直至最后余量R（具有若干極點）；

圖1 基于ESMD的模態(tài)參數識別算法流程圖

（7）引入方差比率的概念，定義σ為Y-R的標準差，σ0為原始數據Y的標準差，σ/σ0為方差比率。畫出σ/σ0隨篩選次數K的變化圖，其中K在一個預定的整數區(qū)間內變化。

（8）找出最小方差比率σ/σ0對應的篩選次數K，以此作為本次分解的篩選次數，重復前六步得到最終模態(tài)分解結果。

1.2.2 ESMD方法的特點

（1）經驗模態(tài)分解方法（簡稱EMD 方法）的篩選過程是通過構造兩條外包絡線實現的，一條外包絡線由數據所有極大值點構成，另一條由所有極小值點構成。而ESMD方法的篩選過程則采用的是內部插值曲線，這些插值曲線由相鄰極值點的中點構成，一般選取1至3條內部插值曲線；

（2）EMD 方法采用的是“包絡線對稱”的概念，ESMD方法采用的“極點對稱”的概念。ESMD方法的思想基礎是物質運動的振動過程總是圍繞不斷變化著的平衡點進行的；

（3）ESMD方法放寬了EMD方法中對本征模態(tài)函數對稱性的要求；

（4）ESMD 方法提出了最佳篩選次數的概念，優(yōu)化了篩選過程，相較于EMD 方法，這一概念的引入既避免了設置固定篩選次數的盲目性又通過設定一個最高篩選次數N避免程序出現死循環(huán)；

（5）因為ESMD 方法不采用先驗基函數，而是采用數據自適應的方式，因此相較于傅里葉變換和小波變換，ESMD 方法在處理非平穩(wěn)信號方面具有獨特的優(yōu)勢。

1.3 隨機減量技術

隨機減量技術假定一個受到平穩(wěn)隨機激勵的線性系統，從該系統的平穩(wěn)隨機響應樣本中獲得該系統的自由振動響應[12-14]。

對于線性系統，假設兩個均值為零的高斯分布隨機響應樣本X1(t)與X2(t)，按觸發(fā)條件CX1(tm),X1(t)與X2(t)的自相關和互相關隨機減量函數為

其中：E[·]表示隨機變量的數學期望。

當采用正點觸發(fā)條件時

式中：0 ≤α1＜α2≤+∞，σX1是X1(t)的標準差。式(1)和式(2)也可以寫成

式 中：RX1X1(τ)=E[X1(t)X1(t+τ)]和RX2X1(τ)=E[X2(t)X1(t+τ)]分別是自相關函數和互相關函數，并且

式中：pX1(x)為X1(t)的概率密度函數。一般地，隨機減量函數可以按下式估算

式中：D^XjXi(τ)為Xj(t)關于Xi(t)的隨機減量函數；N為觸發(fā)事件的總數目；CXi(tm)為指定的正點觸發(fā)條件；tm為第m個時刻。

隨機減量法在實際應用中，比較重要的兩個參數是截取幅值的大小和截取段的數據長度。截取幅值較小的情況下可以得到較多的樣本用來總體平均，以降低隨機響應的影響。不過,較小的截取幅值也會使自由衰減信號由于低信噪比而易受噪聲污染，影響最終的分析結果。因此合適的截取幅值的選取就顯得尤為重要[12]。另外，截取段數據過短會因為數據量不充分而使得識別結果不理想，而截取段數據過長有時會在尾端出現異常的非衰減段，所以也需要選擇合適的截取段長度。

1.4 模態(tài)參數識別

得到單模態(tài)自由衰減曲線后，結構的模態(tài)參數可以根據最小二乘擬合方法得出。單模態(tài)有阻尼自由衰減曲線可以表示為[15]

此處j為自由度編號，n為模態(tài)階數編號。Ajn為模態(tài)振幅，ξn為模態(tài)阻尼比，ωn為無阻尼體系的自振頻率，ωdn為有阻尼體系的自振頻率。并且

通過分析不同自由度的響應數據，可以獲得第n階模態(tài)的各自由度振幅Ajn，進而可得到N個自由度第n階模態(tài)的歸一化振型為

2 數值模擬分析

以一座5層剪切框架為數值模型進行了數值仿真分析，5層剪切框架力學模型如圖2所示。模擬剪切框架各層質量取m1=m2=m3=m4=m5=400 t，層間剛度k1=k2=k3=k4=k5=2×105kN/m，系統阻尼采用Rayleigh 阻尼，定義前2 階阻尼比均為0.01。可以計算得出構成阻尼矩陣的比例常數α=0.094 8 s-1，β=8.018 5×10-4s。結構的模態(tài)參數理論值見表1。環(huán)境激勵僅考慮風荷載，由諧波合成法[16]模擬生成，環(huán)境激勵作用時間為8分鐘，采樣時間間隔為0.02秒。

圖2 5層剪切框架力學模型

計算得到各層的加速度反應時程數據后，對數據再加上噪信比為2%的噪聲，并以疊加噪聲后的結果作為風振響應原始數據。針對風振響應原始數據進行功率譜分析，可得到結構前5 階頻率的大致范圍，5層響應數據的功率譜峰值范圍基本一致，以m1加速度響應數據y1(t)的功率譜為例，示于圖3。

圖3 m1加速度響應數據功率譜

根據功率譜對原始數據進行帶通濾波處理，以利于模態(tài)分解的順利進行。濾波處理采用FIR帶通濾波器，針對第1～5階模態(tài)的帶通頻率范圍分別為[0.8 Hz，1.5 Hz]，[2.5 Hz，3.5 Hz]，[4.3 Hz，5.0 Hz]，[5.7 Hz，6.3 Hz]，[6.7 Hz，7.0 Hz]。對經過濾波后的數據應用ESMD 方法進行模態(tài)分解，得到響應分解信號數據，這些數據包含明晰的模態(tài)參數信息[9,17]。仍以m1數據為例，分解結果見圖4。

此時，ESMD 將響應信號分解成一系列單模態(tài)信號，得到模態(tài)分解信號后應用隨機減量技術對分解信號進行處理，以第1 個自由度（m1）為參考自由度，隨機減量法的截取振幅定為1.4σ，其中σ是參考自由度加速度的標準差。每1階模態(tài)對應數據長度根據信號衰減結果選取，去除結尾明顯的非衰減區(qū)段，m1前5階模態(tài)衰減信號示于圖5。

圖4 m1加速度響應數據ESMD分解信號

圖5 m1各模態(tài)自由衰減曲線

利用最小二乘擬合方法，即可得到結構的模態(tài)頻率和阻尼，同時分析結構的5層響應數據，則可以得到結構各階模態(tài)的振型。

對于數值模擬剪切框架結構，可以通過求解特征方程得到模態(tài)參數理論值。同時，本文應用NExT-ERA 法[1]分析了這一數值模擬剪切框架結構的加速度響應數據，同樣可以得到結構的模態(tài)參數（頻率，阻尼，振型）。理論分析得到的結構5階頻率分 別 為1.013 Hz，2.957 Hz，4.661 Hz，5.988 Hz，6.829 Hz。而NExT—ERA法得到的結構前8階頻率為1.013 Hz，1.269 Hz，2.959 Hz，3.228 Hz，4.662 Hz，4.874 Hz，5.989 Hz，6.824 Hz。對比發(fā)現NExT—ERA 法識別出的第2 階，第4 階，第6 階模態(tài)應為虛假模態(tài)，需要剔除掉。可以發(fā)現，基于ESMD方法的模態(tài)識別方法，識別結果不存在虛假模態(tài)。

將理論值結果，ESMD 法分析結果以及剔除掉虛假模態(tài)后的NExT-ERA 法分析結果對比于表1。其中振型的識別精度采用模態(tài)置信度（Modal Assurance Criterion，MAC）來判別

式中：Φ1,Φ2表示2 個待評估的振型向量，MAC 介于0和1之間。假設Φ1為理論振型，Φ2為識別振型，MAC越接近1，即表示識別精度越高。

根據表1可以看出基于ESMD的模態(tài)參數識別方法在頻率和振型的識別方面精度很高，頻率的識別結果與理論值幾乎一致，振型的識別結果與結構的理論振型在MAC標準下也基本吻合，識別精度達到了1.00。NExT-ERA 法的識別結果在剔除掉虛假模態(tài)后，在頻率和振型的識別方面也表現出很高的精度。兩者在阻尼方面的識別誤差也都在10%以內，考慮到阻尼識別的不確定性較大，這樣的識別精度在實際應用中是可以接受的。

3 實測數據分析

為了研究提出的方法的有效性，用1個3層實體剪切框架模型進行了試驗研究（如圖6所示）。

圖6 3層實體剪切框架模型

該實驗模型由鋁合金制成，模型尺寸為401×314×1158 mm(寬×厚×高)。通過在模型基底施加白噪聲激勵模擬環(huán)境激勵，采用無線傳感器測量結構的加速度響應。采樣頻率為100 Hz。采樣時長為10分鐘。加速度響應時程數據見圖7。

圖7 3層剪切框架加速度響應時程

采用本文提出的方法識別了這一結構的模態(tài)參數，并與NExT-ERA識別的結果進行了對比。2種方法識別的結果如表2所示。可以看出2 種方法的識別結果比較接近，進一步驗證了本文所提出的方法在模態(tài)參數識別方面的可靠性。其中MAC 值接近1，說明2 種方法識別出的振型基本一致，振型識別結果示于圖8。

表1 5層剪切框架結構模態(tài)參數識別結果比較

表2 實驗實例模態(tài)參數識別結果

圖8 結構振型識別結果

4 結語

本文提出了一種環(huán)境激勵下識別結構模態(tài)參數的新方法，即基于ESMD 和隨機減量技術的模態(tài)參數識別方法。根據此方法分析了一座5層剪切框架數值模型的風致振動響應數據，將識別結果分別與理論結果和NExT-ERA 方法識別結果做了對比，可以發(fā)現，由所提方法識別出的結構頻率和振型擁有很高的精度，阻尼比識別誤差也在合理范圍內，并且有效地避免了NExT-ERA方法識別結果中存在的虛假模態(tài)的情況。另外，應用此方法識別了一座3 層實體剪切框架的模態(tài)參數，識別結果再次表明了這種新方法在環(huán)境激勵下結構模態(tài)參數識別方面的可行性和可靠性，可以作為結構模態(tài)參數識別的有效新工具。