裂紋對齒輪副模態頻率的影響

劉文光，豐霞瑤

(南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌330063)

齒輪傳動裝置廣泛地應用于航空航天、車輛工程以及農業機械等領域的動力機械之中。由于齒輪傳動是機械傳動系統的重要組成部分，其性能優劣直接影響系統的機械性能。近年來，動力機械不斷地朝著高速、高溫及高壓的方向發展，齒輪機構所承受的載荷環境也愈來愈復雜，由此導致的復雜工況對齒輪傳動設計提出了更高的要求。

振動貫穿于齒輪傳動的整個工作過程，對齒輪機構的振動穩定性以及振動疲勞強度具有不可忽視的影響。疲勞裂紋的產生會給齒輪嚙合剛度造成重大影響，使得系統模態頻率發生相應的變化。一旦傳動系統內部激勵頻率或者外部激勵與齒輪傳動系統的固有頻率相接近或者相重合，必然引起齒輪傳動裝置的共振，這不僅導致設備工作異常，還將加速零部件及相應結構的疲勞破壞。因此，動力機械工作過程中，齒輪傳動系統不僅要承受動力源和負載引入的外部激勵，而且要經受由時變剛度、齒輪傳動誤差以及嚙合沖擊帶來的內部激勵[1-2]。由于嚙合剛度是齒輪箱振動分析研究中的重要參數，考慮齒輪幾何參數和齒輪故障的影響，Chen 等[3]、Wan 等[4]和Ma 等[5]對齒輪機構的嚙合剛度計算方法及其影響因素進行了探究。考慮時變嚙合剛度、齒輪傳動誤差和軸承支撐剛度的作用，王旭等建立了含齒根裂紋的齒輪副多自由度動力學模型，通過力學方法分析了齒輪傳動副在正常和含裂紋兩種情況下的嚙合剛度，求解了系統的振動響應，基于振動響應又研究了齒輪的故障產生機理[6]。為了探究裂紋對弧齒錐齒輪副動力特性影響，馮剛等建立了無裂紋和含裂紋弧齒錐齒輪副的有限元模型，分析了齒輪副的嚙合剛度變化規律，建立了齒輪傳動副的非線性振動方程，得到了無裂紋和有裂紋兩種狀態下的系統振動響應[7]。以圓柱齒輪為對象，唐進元等構建了含齒根裂紋齒輪副的有限元振動模型，提出了計算含裂紋齒輪時變嚙合剛度的方法，分析了裂紋對齒輪副時變嚙合剛度的影響[8]。為探討含裂紋故障齒輪副的非線性振動，馬銳等研究了含裂紋故障的四自由度齒輪副動力學特性，建立了含裂紋故障的耦合動力學模型，分析了裂紋故障對系統嚙合剛度的影響，探究了裂紋故障及齒輪系統參數對齒輪傳動副的振動特性的影響[9]。綜合考慮齒輪副嚙合時變剛度激勵和誤差激勵，孫華剛等研究了齒輪副內部的動態激勵曲線，對比了含裂紋故障齒輪副內部動態激勵曲線，分析了不同部位和程度的裂紋故障對齒輪內部動態激勵的影響[10]。基于齒輪所受轉矩和嚙合齒輪轉角變形量，舒斌等推導出齒輪傳動裝置的時變嚙合剛度理論模型，建立了含齒根裂紋齒輪傳動副有限元模型，提出了基于有限元方法的齒輪傳動時變嚙合剛度計算方法，討論了一個嚙合周期內齒根裂紋對單對輪齒嚙合和兩對輪齒嚙合時嚙合剛度的影響[11]。針對單對齒輪傳動建立齒輪副扭轉振動的參數化動力學模型，馬銳等采用平均法分析了齒輪裂紋模型的主共振及1/2 亞諧共振的動力學響應，研究了裂紋演化過程對齒輪系統嚙合剛度及動力學行為的影響，分析了含有裂紋故障齒輪的振動特，建立了裂紋程度及傳動誤差所產生的內部激勵與系統動力學分岔的關系，揭示了不同裂紋程度和傳動誤差所引起的不同分岔模式，提取了含有裂紋故障齒輪的振動特征，為齒輪系統裂紋故障的識別提供理論依據[12]。邵忍平等建立了齒輪的動力學模型，分析了輪齒發生裂紋后的動力特性，深入探討了裂紋出現位置和裂紋尺寸等對齒輪動力特性的影響[13]。

動態分析表明，研究者們從齒輪傳動系統的接觸加載、嚙合剛度和幾何特性等方面對齒輪傳動系統的動力學問題展開了大量研究。尤其是隨著計算機技術和有限元計算方法發展的推動，齒輪機構的研究對象由簡單的齒輪副逐漸過渡到包含齒輪、軸和軸承等零部件的復雜傳動系統，有時甚至以整個傳動系統作為分析對象，且將傳動零部件之間的動態激勵相互影響考慮進去。然而，有關齒輪傳動系統的研究仍然存在很多問題尚待解決。例如，含裂紋齒輪副裂紋位置變化對齒輪副振動模態的影響機制仍然不明。齒輪嚙合傳動過程中，因為嚙合位置不斷發生變化，齒根位置的彎曲應力最大，節圓位置的接觸應力最大，兩者均可能成為裂紋萌生和擴展的主要區域。

因此，本文以含齒根圓裂紋和含分度圓裂紋齒輪副為對象，探討不同位置裂紋對齒輪副模態頻率的影響，研究結果可為齒輪傳動的裂紋故障診斷提供理論支撐。

1 含裂紋齒輪副模態頻率方程

忽略裂紋對齒輪副質量的影響，裂紋主要通過嚙合剛度影響齒輪副模態頻率。假設不含裂紋時齒輪副的嚙合剛度為K0，裂紋引起的嚙合剛度改變量為KL，則含裂紋齒輪副的嚙合剛度為

將齒輪傳動副離散為多自由度系統，可將齒輪副的振動方程建立為[14]

式中M，C和K分別代表系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；{u(t)}和{f(t)}分別為系統的位移向量和激振向量；{(t)}和{(t)}分別代表系統的加速度向量和速度向量。矩陣和向量的階次，取決于系統的自由度數。

分析含裂紋齒輪副模態時，齒輪副的嚙合接觸力轉化為嚙合剛度的變化中，忽略外部激勵力和阻尼對模態頻率的影響，得到齒輪副系統的無阻尼自由振動方程為

因此，含裂紋齒輪副的模態頻率計算可轉化為求解方程的廣義特征值的問題

求解的特征值有若干個，f代表著齒輪副的模態頻率。因為低階次的振動模態對齒輪副的動力響應貢獻相對較大，本文主要討論裂紋位置對齒輪副低階模態頻率的影響。

2 含裂紋齒輪副的有限元建模

2.1 齒輪副幾何模型

考慮圖1所示的齒輪副模型，齒輪副的幾何參數及齒輪材料的力學特性如表1所示。

對于標準漸開線直齒圓柱齒輪而言，齒輪嚙合的重合度在1～2之間。根據重合度的定義，嚙合過程中最多有兩對輪齒參與嚙合。為了減少模型的計算量，不失一般性地采取齒輪副一個嚙合周期內的3齒模型代替齒輪副來建立有限元計算模型。同時，為分析單個嚙合周期內各種裂紋存在的合理性，只研究包含雙裂紋的齒輪副。由齒輪嚙合的受力特點可知，疲勞裂紋最易發生在輪齒根部和分度圓位置，分別簡稱齒根圓裂紋和分度圓裂紋。

表1 直齒齒輪副的基本參數

圖1 齒輪副幾何模型

齒輪副工作時，同一嚙合周期內存在裂紋數量不同和裂紋位置多種情況，本文僅選取雙裂紋模型開展研究。圖2給出了齒輪嚙合狀態下，單個輪齒出現分度圓裂紋與齒根圓裂紋（裂紋工況a）、相鄰輪齒分別含齒根圓裂紋（裂紋工況b）、相鄰輪齒分別含分度圓裂紋與齒根圓裂紋（裂紋工況c）和相鄰輪齒分別含分度圓裂紋（裂紋工況d）4 種幾何模型。aA表示齒根圓裂紋深度，aB表示分度圓裂紋深度，θA表示齒根圓裂紋角，θB表示分度圓裂紋角。本文不討論裂紋角對齒輪副頻率的影響，設置裂紋角分別為θA=60°，θB=90°

2.2 含裂紋齒輪副的有限元建模

劃分齒輪副嚙合模型網格時，考慮到輪齒間的非線性接觸及大變形的需求，選取八節點六面體塌縮單元類型C3D8I。同時對輪齒接觸部分及裂紋擴展區域進行網格細分，圖3是計算用的齒輪副有限元模型。

利用ABAQUS 建立有限元網格模型時，采用C3D8R 2階縮減積分單元，并采用自由劃分進行計算。在求解模態時，約束齒輪內圈6個自由度，如圖4所示。

為了便于力矩在齒輪的加載，分別取兩齒輪內徑中心點O1、O2，并對齒輪對內徑表面進行耦合約束。

通過對中心點加載力矩和制訂邊界條件模擬齒輪嚙合受力情況。由于在嚙合過程中，集中表現為嚙合輪齒部分發生變形，故采用三輪齒接觸模型進行嚙合計算。而輪齒之間的接觸為非線性接觸，故需建立面-面接觸對，如圖5所示。

圖2 齒輪副裂紋工況

圖3 齒輪嚙合有限元模型

圖4 齒輪副的約束

圖5 齒輪面-面接觸對

這種接觸對類型在加載大力矩時計算收斂難度增大，本文在以線彈性力學為基礎的赫茲接觸理論上采用一種新的載荷施加方式。輪齒嚙合接觸時存在相比輪齒表面的曲率半徑較小量的接觸面，通過ABAQUS可以獲取嚙合周期內的接觸面大小、接觸面位置以及接觸力的大小、方向，故齒輪在力矩作用下的嚙合可轉化為對含裂紋齒輪接觸面施加面載荷的形式，從而降低計算時間。先對主動輪約束6 個自由度，對從動輪約束，除圍繞自身軸向方向自由度外的5 個自由度，并施加微小位移使之與主動輪接觸。打開主動輪繞自身軸向方向自由度，并施加1×105N·mm轉矩，給從動輪施加位移載荷0.45 rad，計算所需施加面載荷的值。

3 裂紋深度對齒輪副模態頻率的影響

由于齒輪嚙合過程中模態頻率是變化的，本文選取的是嚙合過程中同一轉角位置的第1 階～第9階模態頻率。

為了直觀地揭示裂紋深度對齒輪副模態頻率的影響，將裂紋擴展后的模態頻率與無裂紋時的模態頻率比值定義為

式中：fij表示含列紋時齒輪副的第i階模態頻率，fA和fB分別為aA=0和aB=0時的模態頻率。

3.1 分度圓裂紋深度對齒輪副模態頻率的影響

當單嚙合周期內同時存在兩個輪齒均含分度裂紋時，圖6和圖7研究了雙分度裂紋深度從1 mm 增至2 mm 下的前9 階固有頻率。結果表明，前9 階模態頻率均隨裂紋深度的增加略有下降，裂紋深度對高階模態頻率的影響相比對低階模態頻率的影響較為明顯。

圖6 分度圓裂紋深度對模態頻率的影響

圖7 模態頻率隨分度圓裂紋深度的變化

分析表明，雙齒均含分度圓裂紋時，齒輪副模態頻率均有降低，但是裂紋深度的變化對模態頻率的影響不盡相同。分度圓裂紋對第1、2、5、7、9階模態頻率影響較大，而對第3、4、6、8 階模態頻率影響較小。隨著裂紋的增大，同一模態頻率的下降率也在增大。原因在于，裂紋存在降低了輪齒彎曲剛度，導致模態頻率降低，同時由于設置裂紋存在不可避免的質量損失使得固有頻率增大。隨著裂紋擴展增大，降低的彎曲剛度與質量損失對固有頻率的影響差距也逐漸增大。

3.2 齒根圓裂紋對齒輪副模態頻率的影響

圖8和圖9研究了不同裂紋深度時，含雙齒根圓裂紋齒輪副的模態頻率變化規律。

結果表明，齒根裂紋的存在使齒輪各階次模態頻率下降。隨著裂紋深度的增大，模態頻率均下降，第1、2、3 階模態頻率下降趨勢顯著。究其原因，計算過程中齒根裂紋的存在，致使輪齒彎曲剛度的減小比質量損失對模態頻率的影響要大，這就反映出齒根裂紋的存在對齒輪前幾階次模態頻率影響要大。

圖8 齒根圓裂紋深度對模態頻率的影響

圖9 模態頻率隨齒根圓裂紋深度的變化

3.3 組合型裂紋對齒輪副模態頻率的影響

圖10研究了無裂紋和3種組合裂紋情況下相鄰齒分別含不同深度單裂紋齒輪副的模態頻率。結果表明，裂紋處于穩定擴展階段時齒根裂紋尺寸比分度圓裂紋尺寸要大。再加上計算過程中不可避免的質量損失誤差，出現了如第4、5、6 階的含裂紋缺陷模態頻率不降反增的情況。

圖10 組合型裂紋在不同裂紋深度比下的模態頻率

從整體上看，考慮齒輪副質量損失與彎曲剛度損失，隨著裂紋的不斷擴展，齒輪模態頻率逐漸下降。圖11研究了組合裂紋在3種不同裂紋深度比下齒輪副模態頻率隨齒根裂紋的變化規律。

圖11 組合型裂紋在不同裂紋深度比下的模態頻率比

4 裂紋位置對齒輪副模態頻率的影響

基于不同組含裂紋齒輪下對齒輪模態頻率的影響，隨著裂紋深度的增大，同一模態頻率均逐漸降低。從而可知，各組含裂紋齒輪對其模態頻率下降率也有所不同。

圖13研究了不同裂紋深度下各組含裂紋齒輪副模態頻率下降率規律。結果顯示，隨著裂紋深度增大，模態頻率均有所下降，不同模態頻率的影響趨勢具有顯著差異。最大裂紋相同時，雙輪齒含齒根裂紋比雙輪齒含分度裂紋對模態頻率下降率的影響大，且隨著裂紋深度的增加，模態頻率之間的差距不斷增大。雙輪齒含不同裂紋齒輪，相較于另外兩種含多裂紋齒輪模型，裂紋深度對齒輪副模態頻率的影響規律相同。第1、2、3 階模態，雙輪齒裂紋深度對齒輪模態頻率的影響介于雙輪齒含齒根裂紋與分度圓裂紋齒輪副模態頻率之間。第4、5、6 階模態，齒輪模態頻率在3 種含多裂紋齒輪模態頻率中最大。第7、8、9 階模態，齒輪模態頻率為三者中最小值。

5 結語

將雙裂紋齒輪副模型簡化為三輪齒模型，建立了齒輪副的有限元模型，探討了裂紋深度和裂紋位置對齒輪副模態頻率的影響。主要結論如下：

(1)分度圓裂紋及齒根裂紋都會導致齒輪模態頻率下降，并且隨著裂紋深度的增大，齒輪副的同一階模態頻率下降率增大。

(2)相同裂紋深度下，齒根裂紋比分度圓裂紋對齒輪模態頻率影響要大，即齒根裂紋比分度裂紋對齒輪彎曲剛度的影響更大。

(3)基于不同位置和不同深度的裂紋對齒輪副各階模態頻率的影響，測試含裂紋齒輪副的模態頻率變化情況可判定齒輪副是否存在裂紋，為齒輪的裂紋故障診斷提供一定的參考。

圖12 不同裂紋深度下各組含裂紋齒輪的模態頻率