基于蛾火優化的自適應最稀疏時頻分析方法及應用

程正陽，王榮吉，楊興凱，程軍圣

（1.中南林業科技大學 機電工程學院，長沙410004；2.湖南大學 機械與運載工程學院，長沙410082）

自適應信號分析方法在圖像處理、語音識別、故障診斷等領域得到了廣泛的應用，一直是相關學者關注的研究熱點。其中，經驗模態分解（Empiricalmode decomposition，EMD）是典型的自適應信號分析方法，已被廣泛地應用于機械故障診斷等領域。然而，EMD 方法不僅缺少嚴格的數學基礎，還存在著端點效應、模態混淆等缺陷[1-4]。為了克服這一缺陷，THOMAS Y.HOU 提出了自適應最稀疏時頻分析（Adaptive and sparsest time-frequency analysis，ASTFA）方法[5-6]，該方法根據復雜信號時頻分布具有稀疏性的特點，構建包含內稟模態函數的過完備子典庫，把信號分解看成目標優化問題，其中優化目標為分解得到的單分量個數最少，約束條件為單分量的瞬時頻率具有物理意義，從過完備子典庫中尋找最稀疏解，并同時獲得各個單分量信號的瞬時頻率和瞬時幅值，從而對待處理信號進行自適應分解和獲得完整的時頻分布。ASTFA 方法具有嚴格的數學基礎，能夠在求解非線性優化問題的過程中實現多分量信號的自適應分解，得到了較為廣泛的應用。

然而，經研究發現，在ASTFA方法中，初始相位函數和帶寬參數的選擇需要依靠人工經驗，如果初始相位函數和帶寬參數的選擇不當，ASTFA方法的分解能力將嚴重下降。針對這個缺陷，論文將蛾火優化(Moth-Flame Optimization，MFO)算法應用于ASTFA方法的初始相位函數和帶寬參數的優化，提出了基于蛾火優化的自適應最稀疏時頻分析（Mothflame optimization based adaptive sparsest time-frequency analysis，MFO-ASTFA）方法，以得到初始相位函數和帶寬參數的最優值，從而提高ASTFA方法的分解能力。采用仿真信號將MFO-ASTFA 和ASTFA 方法進行了對比，結果表明了MFO-ASTFA的優越性。進一步將MFO-ASTFA方法應用于齒輪故障診斷，結果表明了MFO-ASTFA 方法可以有效地應用于齒輪故障診斷。

1 自適應最稀疏時頻分析方法

ASTFA方法通過建立合適的過完備字典庫，并在其中搜索與待分解信號匹配性最好的自適應基，依據復雜信號時頻分布稀疏特性，尋找一種最稀疏的分解，從而對復雜信號進行自適應的分解，得到的每個分量的瞬時頻率都具有物理意義。ASTFA 的具體原理與分解步驟可參見文獻[7-8]，在此不再贅述。

對ASTFA方法進行研究分析，發現如果初始相位函數值θ0(t)和帶寬參數λ的取值不合理，會對ASTFA的分解能力產生很大的影響。因此，ASTFA方法對參數θ0(t)和λ的取值敏感，給應用帶來不便。下面采用仿真信號來分析ASTFA方法的缺陷。

為了定量評價分解結果的優劣，分別定義評價指標信號比率誤差(Error to Signal Ratio，ESR)和正交指數(Index of Orthogonality，IO)，如式(1)和式(2)所示。

式中：ci(k)為第i個原始分量～(k)為與第i個原始分量ci(k)對應的、分解得到的單分量信號。參數可以對信號分解方法的分解能力進行準確評價，具體原理可參見文獻[7]。當ESRi≥1時，則表明分解效果很差；當ESRi≤0.05 時，則表明分量信號已被準確分離。

式中：x(k)為原始信號～(k)為與第i個原始分量ci(k)所對應的、分解得到的單分量信號；～(k)為與j個原始分量cj(k)所對應的、分解得到的單分量信號。參數IO 反映了2 個信號之間的相關性及正交性，其數值越大，相關性越大，正交性越差，反之亦然。當參數IO的數值為零時，分解得到的分量直接完全正交，表明分解效果最好。

考察如式(3)所示仿真信號xf(t)，其時域波形和頻譜如圖1所示。仿真信號由2 個正弦信號和高斯白噪聲N(t)組成，N(t)的信噪比為2 dB 采樣頻率2 048 Hz，采樣時間t∈[0，1]。

分解結果1：當取分解參數θ10(t)=500πt、λ1=0.5，λ2=0.5、θ20(t)=300πt時，ASTFA 的分解結果如圖2所示，分解能力評價指標ESR和IO如表1所示。

表1 仿真信號xf(t) ASTFA分解結果的評價指標

圖1 仿真信號x1(t)時域波形及其頻譜

圖2 仿真信號x(t)ASTFA分解結果1

圖3 仿真信號x(t)ASTFA分解結果2

分解結果2：當取分解參數θ10(t)=448πt、λ1=0.1，θ20(t)=400πt、λ2=0.3，時，ASTFA的分解結果如圖3所示，分解能力評價指標ESR和IO如表1所示。

對圖2和圖3所示的分解結果1 和分解結果2，以及表1中ESR和IO 指標進行對比分析，可以發現相位函數初始值θ0(t)和帶寬參數λ取值不同時，ASTFA方法的分解結果及分解能力是不同的，驗證了參數θ0(t)和λ確實對ASTFA方法分解能力會產生較大的影響。因此，為了實現信號的正確分解，需要選擇合適的參數θ0(t)和λ。

2 MFO-ASTFA方法

為了提高ASTFA方法的分解能力，針對ASTFA方法的上述缺陷，提出MFO-ASTFA 方法，即采用MFO 算法[9-10]尋找ASTFA 方法中的初始相位函數θ0(t)和帶寬參數λ的最優值。

MFO-ASTFA方法的原理如下：

（1）采用同步壓縮小波變換[11]對待分解信號s(t)各單分量的瞬時頻率進行估計，并對估計得到的瞬時頻率在時間域進行積分，從而得到瞬時相位θ～si(t)。基于估算結果θ～si(t)，對信號s(t)進行ASTFA分解，得到若干個單分量信號S～ai(t)。其中，S～ai(t)對應于原始信號中實際的各單分量信號S～i(t)。

（2）設定飛蛾種群數量Nm、最大迭代次數Imax、優化求解變量的個數Dim及上邊界Ub和下邊界Lb等MFO算法參數。

（3）定義如式(4)所示的自適應度函數

（4）采用MFO算法對參數θ0(t)和λ進行優化，得到最優解θO0P(t)和λOP，把θO0P(t)和λOP作為初始相位函數和帶寬參數，對仿真信號進行ASTFA 分解，分解得到第1個單分量，記為IMF1(t)。

（5）重復步驟（3）至（4），直到信號殘差res 與待分解信號S(t)的能量比值不大于分解終止閾值ε0。在本文中取ε0=0.01。

考察式（5）所示的仿真信號xc(t)，以驗證MFOASTFA方法的分解能力。其中，x1(t)是調幅調頻信號，x2(t)是正弦信號，N(t)是信噪比為2 dB的高斯白噪聲，采樣頻率為2 048 Hz，采樣時間t∈[0，1]。

對仿真信號進行MFO-ASTFA分解，結果如圖4所示。首先采用MFO算法優化參數θ0(t)和λ，得到θ10(t)=243.1πt，λ1=0.262 04，將它們分別作為初始相位函數和帶寬參數，對仿真信號進行ASTFA 分解，得到第1 個單分量IMF1；然后，將IMF1從原始信號中分離出來，再對參數θ0(t)和λ進行優化，分別得到θ20(t)=49.826 πt，λ2=0.100 03，從而可得到第2個單分量IMF2。計算分解效果的評價指標，得到ESR1=0.041692，ESR2=1.2215×10-3，IO=2.537×10-5。

對仿真信號xc(t) 的分解結果進行分析，可以發現，MFO-ASTFA 方法能夠在強噪聲背景下對調幅調頻信號和正弦信號實現有效分離。

3 MFO-ASTFA在齒輪故障診斷中的應用

當齒輪發生故障時，其振動信號通常具有多分量的調幅-調頻特性，其調制頻率為轉頻及其倍頻，稱為故障特征頻率。因此，對于齒輪故障診斷，其關鍵是從振動信號中提取故障特征頻率。而解調分析是有效的齒輪故障特征提取方法，通過解調可以獲得瞬時幅值（包絡）和瞬時頻率，進一步進行頻譜分析便提取故障特征頻率。Hilbert變換解調是常用的解調方法，但由于加窗效應，使得Hilbert變換解調出現端點效應，出現瞬時幅值按指數規律衰減的波動現象，同時，瞬時頻率可能出現負值，從而影響診斷結果[12]。

ASTFA 方法能在分解過程中直接得到各個分量的瞬時幅值和瞬時頻率，從而可避免Hilbert 的上述缺陷。基于此，論文提出了基于MFO-ASTFA 的齒輪故障診斷方法，其步驟如下：

（1）對多分量的齒輪故障信號進行MFO-ASTFA分解，得到為若干個單分量信號及其瞬時幅值和瞬時頻率。

（2）分別對單分量信號的瞬時幅值和瞬時頻率進行頻譜分析，得到包絡譜和瞬時頻率譜，進一步提取故障特征頻率，從而實現齒輪故障診斷。

在圖5所示的齒輪故障實驗臺上進行故障實驗。其中，調速電動機采用功率為600 W 的直流伺服電動機；負載的轉動慣量為0.03 kg·m2；軸承座1－4中安裝6311型滾動球軸承；主動齒輪和從動齒輪都采用齒數為37、模數為2.5 mm 的直齒圓柱齒輪。2個壓電式加速度傳感器分別安裝在軸承座上，以采集齒輪振動信號。在實驗中采用線切割的方法設置寬度為0.15 mm、深度為齒根厚度20%的裂紋故障。

圖6為齒輪裂紋故障振動信號，采樣頻率為1 024 Hz，裂紋故障齒轉頻為10 Hz，嚙合頻率為370 Hz。對齒輪裂紋故障振動信號進行MFO-ASTFA分解，得到各個分量及其瞬時幅值和瞬時頻率，進一步對瞬時幅值和瞬時頻率進行頻譜分析，得到包絡譜和瞬時頻率譜。由于采樣頻率是1 024 Hz，可知最大分析頻率為512 Hz，故該齒輪裂紋信號中應該只含有1 個以嚙合頻率370 Hz 為中心的頻率分量，即第1 個信號分量IMF1，其余的信號分量可以看成是噪聲成分。因此，選擇分量信號IMF1的包絡譜和瞬時頻率譜進行分析，如圖7所示。

從圖7(a)、圖7(b)中可以看出，在頻率為10 Hz處存在明顯譜線，對應齒輪轉頻。同時，在圖7(a)中還可以看出，在20 Hz出也存在明顯的譜線，對應齒輪二倍轉頻，表明齒輪確實產生了裂紋故障，與實際情況相符。上述分析結果表明，基于MFO-ASTFA的齒輪故障診斷方法能夠有效地提取齒輪裂紋故障特征頻率，實現了齒輪故障診斷。

圖4 仿真信號xc ( t )的MFO-ASTFA分解結果及其頻譜

圖5 齒輪故障實驗裝置

圖6 齒輪裂紋故障信號時域波形

圖8是正常齒輪振動信號，采樣頻率為1 024 Hz，轉頻為7 Hz，齒輪嚙合頻率為259 Hz。采用MFO-ASTFA 方法對正常齒輪振動信號進行分解，由于采樣頻率是1 024 Hz，可知最大分析頻率為512 Hz，故該齒輪信號中應該只含有1 個以嚙合頻率259 Hz為中心的頻率分量，即第1個信號分量IMF1，其余的信號分量可以看成是噪聲成分。對第1個分量進行分析得到包絡譜和瞬時頻率譜，分別如圖9所示。從圖9(a)、圖9(b)中沒有發現與齒輪軸轉頻及其倍頻相對應的明顯頻率成分，可以判斷齒輪沒有發生故障，與實際情況相符。

4 結語

圖7 齒輪裂紋故障信號IMF1分量的包絡譜和瞬時頻率譜

圖8 正常齒輪振動信號時域波形

圖9 正常齒輪振動信號IMF1分量的包絡譜和瞬時頻率譜

（1）發現了ASTFA 方法的缺陷，即如果初始相位函數θ0(t)和帶寬參數λ取值不當，ASTFA方法的分解能力則會嚴重減弱。針對該問題，提出MFOASTFA 方法，即采用MFO 算法對初始相位函數θ0(t)和帶寬參數λ進行優化。仿真信號分析結果表明了MFO-ASTFA方法的優越性。

（2）提出基于MFO-ASTFA 的齒輪故障診斷方法，采用MFO-ASTFA 方法對齒輪振動信號進行分解，對直接得到的瞬時幅值和瞬時頻率進行頻譜分析，得到包絡譜和瞬時頻率譜，進一步提取故障特征頻率。實驗分析結果驗證了該方法的有效性。