圓形支承面上不倒翁的力學特性分析

黃開志 陳小亮 張 龍 田祖安 丁劍平

(重慶科技學院建筑工程學院,重慶 401331)

文[1]采用能量法分析了不倒翁的穩定性,同時得到了其在水平面上擺動時周期,文獻[2] 建立了不倒翁純滾動時的動力學方程,給出了其作純滾動和能回擺的限制條件,分析了其穩定性,求出了其在水平面上運動時的主要動力學參數計算公式,但未對凸凹支承面上運動時的力學特性進行分析。

本文擬在文獻[2]的基礎上,進一步優化不倒翁的動力學微分方程和滑動臨界曲線以及翻轉臨界曲線,分析角速度、周期、角加速度、切向反力、法向反力、臨界滑動初始擺角、臨界翻轉初始擺角這些參數與支承面的凸凹性等的關系。

1 動力學微分方程

如圖1所示，半徑為r，質量偏心距為er的圓形不倒翁,在半徑為kr的圓形支承面上作純滾動。其中，e為不倒翁的質量偏心率；k為支承面半徑與不倒翁半徑之比。設其在支承面的最高點時與對稱軸y軸正好鉛垂,則

krφ=rθ

亦即

θ=kφ

(1)

圖1 不倒翁的力學模型

對稱軸的擺角α滿足

α=θ+φ

結合式(1)得

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

動點O繞定點O′作圓周運動,則

結合式(2)得

(4)

(5)

視動點O為基點,則質心C相對于動點O的加速度

設不倒翁作平面運動,由基點法得質心C的加速度

上式沿坐標軸的投影

不倒翁的動力學微分方程為

由上述3式并結合式(3)～式(9)得

2 臨界曲線及運動特性分析

2.1 滑動臨界曲線及運動特性

不倒翁不滑動,則其切向反力Ft與法向反力Fn必滿足|Ft|≤fsFN,其中fs為靜摩擦因數,且fs≥0,FN≥0。

設α0r為臨界滑動初始擺角,即當α=α0r時

Ft=±fsFN

(13)

若視滑動臨界曲線為點(fs,α0r)的函數ψ(fs,α0r)=0，且設fs軸正向向右,則當點(fs,α)位于該曲線右側區域時不倒翁作純滾動,位于該曲線左側區域時其作滑動。

若視滑動臨界曲線為點(k,α0r)的函數ψ(k,α0r)=0,則當點(k,α)位于該曲線與k軸圍成的非封閉區域之內時不倒翁作純滾動,位于該非封閉區域之外時其作滑動。

若視滑動臨界曲線為點(k,fs)的函數ψ(k,fs)=0且設fs軸正向向上,則當點(k,fs)位于該曲線上側區域時不倒翁作純滾動,位于該曲線的下側區域時其作滑動。

2.2 翻轉臨界曲線及運動特性

[mgsinα·(rcosθ-er)-mgcosα·rsinθ]α≤0

結合式(3)上式可簡化為

設α0t為臨界翻轉初始擺角,則由上式并令α=α0t可得翻轉臨界曲線

(14)

若視翻轉臨界曲線為點(k,α0t)的函數φ(k,α0t)=0,則當點(k,α)位于該曲線與k軸圍成的非封閉區域之內時不倒翁作回擺,位于該非封閉區域之外時其作翻轉。

3 求解及主要結果解讀

3.1 求解

由式(14)可得翻轉臨界曲線φ(k,α0t)=0。

3.2 算例

若令g=9.80665m·s-2,r=0.1m,m1=0.3kg,m2=0.2kg,則m=m1+m2=0.5kg,JC=0.0032kg·m2,e=0.4。

按3.1的方法并結合相應的初始條件等,由Maple18可得圖2～圖10的結果。

圖2 α0=π/4時與k的關系

3.3 主要結果解讀

圖2～圖10中,當k>0時表示支承面為凸面,k=±∞時表示水平面,k<0時表示凹面。

圖3 α0=π/4時T與k的關系

圖4 α0=π/4時與k的關系

圖5 α0=π/4時Ft與k的關系

圖6 α0=π/4時Fn與k的關系

圖7 α0r與fs的關系

圖8 fs=0.1時α0r與k的關系

圖9 α0r=π/3時所需的fs與k的關系

圖10 α0t與k的關系

圖3表示周期T與支承面凸凹性的關系。在凸面上,周期隨凸面的半徑增大而增大,但始終比在凹面上的小;在凹面上,周期隨凹面的半徑增大而減小。

圖5表示切向反力Ft與支承面凸凹性的關系。在凸面上,切向反力隨凸面的半徑增大而減小,但始終比在凹面上的大;在凹面上,切向反力隨凹面的半徑增大而增大。

圖6表示法向反力Fn與支承面凸凹性的關系。當擺角小于某一值時,在凸面上的法向反力隨凸面的半徑增大而增大,法向反力比在凹面上的小;在凹面上的法向反力隨凹面的半徑增大而減小。當擺角超過某一值時,結果正好相反。

圖7表示滑動臨界曲線ψ(fs,α0r)=0,臨界滑動初始擺角α0r隨靜摩擦因數fs增大而增大,圖8表示滑動臨界曲線ψ(k,α0r)=0。在凸面上,α0r隨凸面的半徑增大而增大,但始終比在凹面上的小;在凹面上(圖8中未畫出),α0r隨凹面的半徑增大而減小。

圖9表示滑動臨界曲線ψ(k,fs)=0。在凸面上,臨界滑動所需靜摩擦因數fs隨凸面的半徑增大而減小;在凹面上,當凹面的半徑小于某一值時,fs隨凹面的半徑增大而減小,當凹面的半徑大于某一值時,fs隨凹面的半徑增大而增大;當凹面的半徑超過某一值時,在凹面上的fs始終比在凸面上的小。

圖10表示翻轉臨界曲線φ(k,α0t)=0。在凸面上,臨界翻轉初始擺角α0t隨凸面的半徑增大而增大,但始終比在凹面上的小;在凹面上,α0t已超過π(圖10中未畫出),即不倒翁始終能回擺。

4 結語

為方便不倒翁類玩具或類似工業產品設計時對其力學特性的分析,本文進一步優化了不倒翁的動力學微分方程和滑動臨界曲線以及翻轉臨界曲線,較詳細地給出了各力學參數的計算公式,得到了不倒翁各力學參數與支承面的凸凹性等的關系。

在凹面上,當k∈(-∞,-1)即凹面的半徑比不倒翁的半徑大時的曲線才有實際意義。

在分析過程中忽略了滾動摩阻等的影響。