用幾何拼裝法推導拉普拉斯算符在幾種坐標系中的表達式

李品鈞

(湛江幼兒師范專科學校信息科學系，廣東 湛江 524037)

拉普拉斯算符是物理學中較為常見的一種算符，在本、專科物理學教材中即已常見[1-5]。其在直角坐標系中的定義式為

(1)

在特定的問題中，為了數學處理上的方便，常需將其變換到不同的參考系。文獻[6]、[7]利用正交曲面坐標系的特性進行了簡潔優美的計算，其法要求學習者對數理方法有較深厚的基礎功底和較良好的空間想象力。文獻[8]用復合函數求導的方法直接在上述兩個坐標系中變換，工作量較為繁復。基于上述種種原因，許多初學者在其他坐標系中使用該算符時，都是采用查手冊的方式直接使用。然而，從下面介紹的變換方法中可以看出，在將拉普拉斯算符從直角坐標系變換到其他坐標系的推導過程中，可以獲得較多的數學圖像體驗。其次，若選擇適當的技巧，較大幅度地減少計算量也是可能的。本文從不同坐標系之間的幾何關系入手，推導拉普拉斯算符在極坐標、柱坐標和球坐標中的表達式，以期讓初學者獲得較為簡潔形象的圖像體驗。

圖1 x、y、ρ、φ關系圖

1 拉普拉斯算符在極坐標中的表達式

(2)

(3)

同時

(4)

于是有

(5)

將式(3)、式(5)代入式(2)便得

(6)

即

(6*)

(7)

(8)

將式(3)、(5)、(6)諸式代入式(8)并整理得

(9)

即

(9*)

同法可得

最后，將式(9*)、式(11)相加，即得

(12)

上式右邊即為拉普拉斯算符在極坐標中的表達式。

2 拉普拉斯算符在柱坐標中的表達式

(13)

上式右邊即為拉普拉斯算符在柱坐標系中的表達式。

3 拉普拉斯算符在球坐標系中的表達式

圖2反映了直角坐標系、極坐標系、柱坐標系和球坐標系幾種坐標系之間自變量之間的幾何關系。圖中ρ是r在xOy平面上的投影。即

ρ=rsinθ

(14)

圖2 x、y、z、ρ、φ、r、θ關系圖

由前面的討論可知，當自變量從x、y變換為ρ、φ時，式(10)、式(12)成立。注意到，在zOρ平面上，自變量z、ρ與r、θ之間的對應關系與xOy平面上自變量x、y與ρ、φ之間的對應關系相同。也就是說，球坐標系(r，θ，φ)可看成是兩個極坐標(ρ，φ)和(r，θ)拼裝而成。這樣，將式(10)、式(12)中的x、y、ρ、φ換為z、ρ、r、θ，等式仍然成立，即

將式(16)代入式(13)左邊并整理，可得

(17)

將(14)、(15)兩式代入式(17)右邊，得到拉普拉斯算符在球坐標中的表達式：

(18)

稍加整理即可得到其常用形式

(19)

4 結語

利用坐標系之間的幾何關系，可以直觀地求解兩坐標系變量之間的微分關系，柱坐標可以拆分成極坐標和z軸，球坐標可以拆分成為兩個極坐標。這樣，復雜的計算就可化為簡單的拆分和組合，極大地減少了計算量。