提高學生數學解題意識的有效策略

徐梅香

(江蘇省濱?？h明達中學 224000)

解題是數學學習不可或缺的環節，良好的解題意識，可以開拓解題思路，優化解題過程，提高解題的準確率.在高中數學解題學習中，同學們要注意培養和增強解題意識，提高解題能力，從而走出解題陷阱，攻克數學解題難關.

一、樹立向量意識

向量，兼具代數的嚴謹和幾何的直觀“雙重身份”，巧用向量解題，可以降低解題難度，提高解題速度，使解題思路清晰，簡潔而直觀.在高中數學解題學習中，同學們要樹立向量意識，形成向量思想，巧用向量法，妙解數學問題，從而提升數學思維和解題能力.

圖1

例1如圖1，拋物線y2=4px(p>0)上有兩點A、B，已知OA⊥OB,OM⊥AB,求點M的軌跡方程.

分析本題可以根據幾何特征合理建系，通過向量法使幾何問題坐標化和代數化，從而達到解題目的.

二、提高建模意識

建模是解決應用型問題的關鍵所在，常見的數學模型有函數、不等式、方程、等比與等差數列等模型.在高中數學解題學習中，同學們要注意掌握基本應用模型，明晰建模方法，熟悉文字語言、符號語言、圖形語言、表格語言等各種語言的轉化，有意識地培養自己的建模意識，增強分析和解決實際應用問題的能力.

圖2

例2某個體運輸專業戶，購買一輛豪華大客車投入營運，據市場分析，這輛客車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數n(n∈N*)為如圖2的二次函數關系.這輛客車應運多少年，其營運的年平均利潤最大？( )

A.3年 B.4年 C.5年 D.6年

分析通過審題，不難發現本題給出的數量關系并非代數式，而是函數圖象，需要轉化語言.抓住關鍵詞“總利潤y”、“營運年數n”,先求出函數圖象解析式，即可使問題得以獲解.

三、形成糾錯意識

糾錯意識，是指在解完題后，能夠反思自己的解題過程，針對錯解深入剖析，找出其原因，及時修正，查漏補缺，歸納總結，有效調整學習策略和方法，從源頭上防止錯誤的蔓延.在高中數學解題中，由于種種原因，不可避免地會出現錯誤，這就要求同學們要具備糾錯意識，讓錯題成為再度思考和自主探究的學習資源，從而促進良好學習習慣的形成.

例3已知A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},問是否存在實數a,使A∩B=B，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

錯解由題意可知，A={0，-4}，又A∩B=B，知B?A，所以B可能為?，{0}，{-4}，{0，-4}.①當B=?時，即Δ=4(a+1)2-4(a-1)2<0,解得a<-1.②當B={0}時，即x=0是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根，解得a=±1.③當B={-4}時，即x=-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根，解得a=1或a=7. ④當B={0，-4}時，即x=0和x=-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根，由此解得a=1.綜上所述，實數a的取值范圍是a≤-1或a=1或a=7.

剖析此題出錯率較高，究其原因主要是對集合的概念理解不夠深刻.集合B={0}實質上是這個集合中有且僅有一個元素0，它包含了兩個層意思，一是x=0是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根；二是該方程只有一個根x=0.而上述解題忽略了第二層含義，事實上，通過驗證，當a=1時，原方程x2+4x=0,其根是0和-4，這與集合B={0}的第二層含義中的只有一個根x=0明顯不相符合.

正解由題意可知，A={0，-4}，又A∩B=B，知B?A，所以B可能為?,{0}，{-4}，{0，-4}. .①當B=?時，由Δ=4(a+1)2-4(a-1)2<0, 解得a<-1. ②當B={0}時，由方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有兩個相等的實根x1=x2=0,解得a=-1. ③當B={-4}時，由方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根x1=x2=-4解得a∈?. ④當B={0，-4}時，由方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根x1=0，x2=-4，可得a=1.綜上所述，實數a的取值范圍是a≤-1或a=1.

總之，在高中數學解題中，同學們要形成良好的解題意識，激活數學思維，巧用有效的解題方法，創造性地解決數學問題.