例析立體幾何中體積問題的解題策略

張得南

(甘肅省永昌縣第一高級中學 737200)

一、分割法

例2 如圖2,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1和CC1的中點，求四棱錐A1-EBFD1的體積．

點評“分割”的目標是：化陌生問題為熟悉問題，化復雜問題為簡單問題，其實質是實現轉化.

二、補形法

例3 如圖3,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面三角形PAD的面積為3，點C到平面PAD的距離為1，求四棱錐P-ABCD的體積．

例4 如圖4,在多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，求多面體ABCDE的體積．

點評“補形”的策略是構造熟悉且容易求解的幾何體，其本質是一種構造法．

三、轉化法

例5 (如圖5)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱BB1和CD的中點，求三棱錐F-A1ED1的體積．

例6 如圖6,在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=6，E為CC1的中點，O為下底面正方形的中心，求三棱錐O-A1B1E的體積．

點評這里的“轉化”與“變化”，只不過換了一個角度觀察，換了一種方法思考，從而達到解決或容易解決問題的目的．例5中把求VF-A1ED1的問題轉換為求VD1-A1GE；而例6中把求VO-A1B1E的問題轉換為求VA1-MB1E.

四、借助截面

例7 如圖7,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為4的正三角形，側棱AA1=6，并且AA1與 底面兩邊A1B1、A1C1都成60°角，求三棱錐A-A1B1C1的體積．

例8 如圖8,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1上的一點，BD1∥截面EAC,并且截面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB=2,求三棱錐B1-EAC的體積．

點評上面兩例，看似與截面無關，但根據題目的特征恰當地做出了相關截面，使復雜問題得到了簡化，隱含條件得到了顯化，為解題帶來了方便．

五、引進變量或選擇參數

例9 如圖9,在四面體ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=1，求此四面體體積的最大值．

例10 如圖10,圓錐的軸截面是等腰直角三角形，母線長為2，P、Q分別是底面圓周上和圓內的動點，且OQ⊥PQ，又E是SP的中點，F是點O在SQ上的射影．

(1)求證：OF⊥平面SPQ；

(2)求三棱錐S-OEF體積的最大值．

解析(1)(解法略)

點評例9與例10都是體積最值問題，通過引進變量或選擇參數，建立目標函數，分析函數的結構特點，運用不等式性質和三角函數的有界性來解之，明顯來的巧妙、方便．

六、特殊化處理

例12如圖12,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,動點E、F在棱A1B1上，動點P、Q在棱AD，CD上若EF=1,DP=a，求四面體PEFQ的體積．

點評立體幾何中的動點問題，貌似讓人捉摸不定，不知從何處入手，其實問題的關鍵是如何分析題設條件，如何在原圖基礎上化“動”為“靜”，化“立體”為“平面”，增添必要的平面輔助圖，并合理運用相關知識，如例11中把M定在A1處，例12中把E定在A1處，問題便迎刃而解．