正方體在立體幾何中的模型作用

王建軍 郭金紅

(1.山西省陽泉市教研室 045000；2山西省陽泉市第二中學校 045000)

正方體是完美的對稱圖形，是立體幾何中的基本模型.正方體中點、線、面之間的位置關系是立體幾何的基礎，幾乎所有的立體幾何題型都可以在正方體中找到模型，研究正方體中的立體幾何問題可以培養學生的空間觀念，理解數學的本質，達到快速解題的目的.

一、正方體中的平行問題

正方體中平行問題證明的思路具有一般性，是證明直線與平面平行，平面與平面平行的通性通法，可以遷移到其他幾何體的相關問題學習中.

例1如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM=DN，求證：MN∥平面AA1B1B.

分析若能證明MN平行于平面AA1B1B中的一條直線，則依據直線與平面平行的判定定理，MN∥平面AA1B1B.于是有以下添輔助線的方法.

證明如圖1，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F.連結EF，則EF?平面AA1B1B.

∵BD=B1C，DN=CM，

∴B1M=BN.

又ME∥BC∥AD∥NF，∴MEFN為平行四邊形.

∴MN∥EF.

又MN?平面AA1B1B，EF?平面AA1B1B.

∴MN∥平面AA1B1B.

二、正方體中的垂直問題

正方體中隱含著許多線線，線面，面面的垂直關系，我們經常利用三種垂直關系來解題，是立體幾何垂直問題的基礎，利用正方體解有關線面垂直、面面垂直的問題，思路自然，解法多樣.

例2如圖2所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點，N是BD′上一點，且D′N∶NB=1∶2，MC與BD交于P.

(1)求證：NP⊥平面ABCD；

(2)求平面PNC與平面CC′D′D所成角的正切值.

(3)求點C到平面D′MB的距離.

分析證明直線與平面垂直的方法有多種，最基本的是利用直線與平面垂直的判斷定理和平面與平面垂直的性質定理.本題可以根據已知條件得到NP∥DD′，從而利用DD′⊥平面ABCD得證.

解(1)證明：在正方形ABCD中，

∴DP∶PB=MD∶BC=1∶2.

又已知D′N∶NB=1∶2，

由平行線分線段成比例定理得NP∥DD′.

又DD′⊥平面ABCD，

∴NP⊥平面ABCD.

(2)∵NP∥DD′∥CC′，

∴NP、CC′在同一平面內，CC′為平面NPC與平面CC′D′D所成二面角的棱.

又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM，

∴∠MCD為該二面角的平面角.

設所求距離為h，即為三棱錐C—D′MB的高.

三、正方體中的角問題

正方體中的異面直線所成的角、線面角、二面角是立體幾何中角的代表，搞清正方體中這些角的求解探索過程，可以遷移到其他圖形中解決問題.

例3在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱CC1上，且CC1=4CP.求直線AP與平面BCC1B1所成的角的正切值.

分析直線與平面所成的角是直線與平面關系的基本概念，從概念出發是本題的基本原則，關鍵是找到平面的垂線.

解連結BP.

∵AB⊥平面BCC1B1，

∴AP與平面BCC1B1所成的角就是∠APB，

∵CC1=4CP,CC1=4，∴CP=1.

(1)求證：ADBC；

(2)求二面角B-AC-D的余弦值.

∴n1=(x,x,-x).不妨設n1=(1,1,-1).

同理可求得平面ACD的一個法向量為n2=(1，0，-1)，

四、正方體中的距離問題

立體幾何中的直線到平面的距離、平面到平面的距離最終要轉化為點到平面的距離，在轉化過程中各種距離的定義起到了關鍵的作用.

例5正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1,CC1的中點，

(1)求證：平面EB1D1∥平面FBD；

(2)若正方體棱長為a，求平面EB1D1與平面FBD間的距離.

分析證明面面平行要利用平面與平面平行的判定定理，要求平面EB1D1與平面FBD間的距離，根據定義可以在一個平面FBD內找一點作另一個平面的垂線，求出垂線段的長即為距離.

解(1)證明：取BB1的中點G，連接EG，C1G，根據平面幾何知識，可得

ED1∥GC1，BF∥GC1，

∴ED1∥BF.

∵ED1?平面FBD，BF?平面FBD，

∴ED1∥平面FBD.

同樣，B1D1∥BD,.

∵B1D1?平面FBD，BD?平面FBD，

∴B1D1∥平面FBD.

又ED1∩B1D1=D1，∴平面EB1D1∥平面FBD.

(2)連結AC，A1C1，由AC⊥BD，AA1⊥BD，可得

BD⊥平面ACC1A1.

又BD?平面FBD，

∴ 平面FBD⊥平面ACC1A1，平面EB1D1⊥平面ACC1A1.

連接O1O，O1E，過點O作OM⊥O1E，則OM⊥平面

EB1D1，OM即為平面EB1D1與平面FBD間的距離.