立體幾何中等體積法的運用探究

林紹鎵

(廣東省肇慶市百花中學 526000)

一、命題規(guī)律的探討

等體積法在高考中體現(xiàn)的原則是源于教材，高于教材的特點，在高考中主要考查學生能換角度看幾何體的高以及熟悉求錐體底面幾何形的面積.針對全國高考命題的特點，筆者認為有必要在選擇幾何體的底面上下功夫，幫助學生認識解題的一般規(guī)律性，熟悉立體幾何命題技巧，才能使我們的備考會有方向性和針對性.

1.問題溯源，回歸教材，熟悉原理

例1 (人教版教材必修2P28頁習題1.3A組3題改編)在正方體ABCD-A′B′C′D′中，棱長為a，

(1)求三棱錐A′-AB′D′,A′-AB′C′的體積；

(2)求點A′到平面AB′D′的距離h；

(3)求AA′與面AB′D′所成角θ的正弦值.

二、剖析等體積法難點—貴在理解熟悉模型

縱觀很多資料發(fā)現(xiàn)，對等體積法的求解分析很多都停留在求解點到平面的距離、錐體體積的求法上，卻沒有在面積、高等細節(jié)上分析考生做題時出現(xiàn)的錯誤，下面將分析等體積法的難點，逐一攻破.

1.熟悉求三角形的面積，學會信手拈來

求三棱錐的體積，當然免不了求底面三角形的面積，從學生的測試反饋結(jié)果看，學生在求三角形面積時出現(xiàn)思維障礙，故此，我們應該熟悉求底面三角形面積的常用方法，在教學中教師可以訓練學生具備解三角形面積的方法意識，下面列舉幾種求三角形面積的方法.

例2根據(jù)圖中線段長度，求以下各三角形的面積：

S1=____S2=____S3=____S△BCO=____

2.熟練應用空間垂直關(guān)系，懂得尋找?guī)缀误w的高

求三棱錐的體積第二個關(guān)鍵問題是要求考生能尋找出幾何體的高，在等體積法求解上，關(guān)鍵字是等體積.誠然在選擇哪個面做底面來計算體積，往往看的是哪個高比較好證明，實際問題要看題上相關(guān)的已知條件，具體問題具體分析.為了教會學生以不變應萬變的思想，筆者認為考生熟悉以下空間垂直關(guān)系樣例：1)判定定理1：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則該直線與此平面垂直；2)判定定理2：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；3)面面平行的性質(zhì)定理：若兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行；4)面面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.

三、突破瓶頸—貴在題型上熟悉，方法上熟練

下面將具體實例分析等體積法的應用，著重分析點到平面的距離、用等體積法求錐體體積法的應用，熟悉等體積法的基本題型.

1.求錐體的體積

從上面的討論中我們基本上能夠知道等體積法求錐體體積就是一種轉(zhuǎn)換的思想，即對所給幾何體進行分割或者變換，從而能夠以簡單的方法進行求解.看下面的一例：

例4在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分別為AB，AC中點．(1)求證:AB⊥PE；(2)求三棱錐B-PEC的體積．

分析第(2)問求的是三棱錐B-PEC的體積(記VB-PEC),我們或許遇上這樣的困難：倘若選擇以面PAC為底，此時很難找出以B為頂點，面PAC為底面的高，這時我們轉(zhuǎn)化角度來看問題，由(1)問得知PD⊥面ABC，顯然就會有VB-PEC=VP-BEC.以上可以看出借助等體積法這個神器，恰當選擇底面，避開了做輔助線等相對繁瑣的過程，簡單易操作.

2.求點到平面(或直線到平面)的距離

用等體積法求點到平面的距離主要是一個轉(zhuǎn)換的思想，即先用簡單的方法求出錐體的體積，然后算出所求高對應面的面積，再根據(jù)體積公式，求得點到平面的距離式h.接下來我們看下面的一例：

例3在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E為AB中點，求點E到面ACD1的距離.

分析題目所求的是點E到面ACD1的距離，首先我們要用簡單的方法求得三棱錐E-ACD1的體積，我們可以從另外一個角度思考，比如以ACE為底面，以D1D為高很容易就能求得體積，然后算出面ACD1的面積， 最后根據(jù)公式求得點E到面ACD1的距離.從分析我們知道整個計算過程都很簡單，關(guān)鍵是如何找出簡單的方法求得體積.

3.求直線與平面所成的角

等體積法也可以求直線與平面所成角的問題，如例1中的(3)問，求線面所成的角，應該過點A′作平面AB′D′的垂線，但是能否確定垂足O的位置，實際上，AA′與平面AB′D′所成的角的正弦值就是A′O與AA′的比值，即關(guān)鍵是求出題中的h=A′O的值.

通過以上的例題分析，我們不難看出等體積法在處理點到面的距離和體積等問題時非常有效.也告訴我們數(shù)學的重要思想方法：從側(cè)面迂回地解決一些從正面較難下手的問題.總之，只要同學們勇于探究，活用等體積法，解決立體幾何體積、點面距等瓶頸問題會有很大的啟發(fā)與幫助.