有效破解導函數零點不可求的四個策略

郭明龍

(江蘇省南京市高淳高級中學 211300)

一、本就無根，重組破之

評注此類導函數零點不可求問題的典型特征是導函數看上去比較復雜，類型相對不清晰.

處理該類問題首先可以通過直接觀察發現導函數是否恒正或恒負，若不能再嘗試將導數進行適當的恒等處理，一般是提取公因式之后把導函數拆成兩個子函數之差，分別求出兩個子函數的最值或是通過適當的放縮之后明確各子函數取值的上下限，然后通過作差判別出導函數的正負.當然，該類問題也可以通過多次求導實現導函數正負的間接判斷.

二、投石問路，先猜后證

(1)求函數f(x)的極值；

(2)若a=e，

(ⅰ)求函數g(x)的單調區間；

(ⅱ)求證：x>0時，不等式g′(x)≥1+lnx恒成立.

解(1)及(2.ⅱ)略.

評注該類問題的一個顯著特征是導函數一般是個超越函數，且其一個根x0很容易看出來，但是除了這個易得的根x0導函數還有沒有其他根卻暫時無法判別.遇到這種問題我們一般可以用多項式除法把導數先進行因式分解，即有f′(x)=(x-x0)g(x)，接下來我們或是直接看出g(x)根的情況，或是利用導數繼續研究g(x)，研究單調區間以及極值最值等性質，進而搞清楚原導函數的根的情況.

三、設而不求，韋達相助

例3 (2017江蘇高考)已知函數f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值，且導函數f′(x)的極值點是f(x)的零點.(極值點是指函數取極值時對應的自變量的值)

(1)求b關于a的函數關系式，并寫出定義域；

(2)證明：b2>3a;

(2)略.

評注這類問題的最顯著特征就是導函數是一個存在實根的二次函數，但是雖然導函數有實根，但是這個根卻是絕對“不能”求的根.遇到這類問題，我們一般需要分析目標函數，看看是否可以通過借鑒解析幾何中的技巧，設而不求利用韋達定理實現避免直接求導函數零點.這種獨特的二次函數零點處理方式的應用還是特別廣泛的，在平時的教學中老師應該加強這方面的引導，學生也應注意這種技巧的使用.

四、鎖定區間，以虛代實

例4 (2017全國卷(2))已知函數f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一極大值點x0，且e-2

解(1)a=1(過程略).

評注這類問題的本質是導函數零點在定義域內存在但無法通過正常手段求出來，這應該是我們最不想遇到的情況，無法求出零點就意味著無法透徹研究原函數.這種問題往往需要借助于導函數的單調性及零點存在定理，以此確定這個無法求出的零點所在的相對比較小的區間范圍，同時一定要注意體現該零點地位的式子即使得導函數等于零，如上題中的lnx0=2(x0-1).這樣當有了導函數零點所在的區間以及體現此零點為極值點的式子，我們就可以近似地認為導函數的零點被“求出來”了.

導函數零點不可求實為命題者刻意為之，主要就是為了考查學生對于高中函數零點問題的一些常見處理策略是否能夠掌握到位.這就要求我們老師在平時的教學中能夠經常灌輸這些常見的小技巧、小策略.以期能夠讓學生達到“宏觀求聚斂，微觀求發散的目的”.同時我們學生需要多找一些此類型題目做做，其實難題就那幾種類型，做多了，熟練了這些解題策略就會內化成個人的一種能力素養.本文僅僅就一些常見的導函數零點不可求問題做了點簡單的探究，在這塊問題上還有許多問題值得日后繼續研究.