用對立統一的觀點來探究函數圖象的變換

陳玉田

(福建省仙游縣第二中學 351200)

函數圖象的平移、伸縮、對稱等變換在中學數學里扮演了一個特殊的角色，為便于掌握，有些教輔總結出一些變換規律，并記為“左加右減，上加下減”.但筆者認為，這些規律其實并沒有看清圖象變換的本質，帶有機械性和局限性，以為不可取；進而認為教材中討論函數y=Asin(ωx+φ)圖象的變換也甚為不妥；同時發現，用對立統一的觀點來理解、記憶函數圖象的變換更具一般性，可操作性，更能體會到數學思想的作用.下面就讓咱們一起一窺函數圖象變換的端倪，為方便見，我們分別討論平移、伸縮、對稱變換.

一、平移變換

先討論把函數y=f(x)所表示的圖象向左平移k(k>0，以下均同)個單位后，要如何改變其表達式？假定點A(a，b)是函數上一點，那么圖象向左平移k個單位后，觀察坐標系可知點A移到了相應點A1(a-k，b)，顯然，平移后的函數為y=f(x+k).即是把表達式中x變為x+k，注意到k>0，且坐標系的x軸為左負右正，這不就是我們常說的“左加右減”么.

辯證法認為，世上萬物都是對立且統一的.上文中“負移正加”這種現象也是一種對立統一，那么它是偶然的呢，或是必然？深入思考：把圖象向左(其實質是沿x軸負方向)平移k個單位，這時候，在對應法則不變情況下，取較小的數(因假定k>0，故有此說)就達到了原來的效果，因此，要把y=f(x)改為y=f(x+k).換個說法，用加上一個數去克服向左平移而導致自變量變小的矛盾.同樣，把圖象y=f(x)向右平移k個單位應是y=f(x-k)；而把圖象y=f(x)向下平移k個單位，其實質是沿y軸負方向平移k個單位，依上述對立原理，應當改變函數表達式中的y為y+k，即改為y+k=f(x).故我們有：

定理1(函數圖象平移變換定理)函數y=f(x)的圖象沿x軸平移改變x，沿y軸平移改變y，且沿負方向平移k個單位就加上k，沿正方向平移k個單位就減去k.

具體說就是：若圖象y=f(x)左右平移時(其實質是沿x軸平移)，要改變表達式中的x，且遵照“往負向移用加，往正向移用減”的原則；若圖象y=f(x)上下平移時(其實質是沿y軸平移)，要改變表達式中的y，也遵照“往負向移用加，往正向移用減”的原則.用口訣可記為：左右變x，上下換y，左加右減，下加上減.

分析幾道例題：

例1函數y=2x+1的圖象向右平移1個單位后是____；向下平移2個單位后是____.

分析：向右，就是沿x軸，要改變x，并且是正方向，用減.即x→x-1.向下，就是沿y軸，要改變y，并且是負方向，用加，即y→y+2.

解新函數分別是：y=2(x-1)+1,即y=2x-1；y+2=2x+1,即y=2x-1.切記，分別是用x-1去代替原來式中的x，用y+2去代替原來式中的y.

例3 函數y=3x2-2x+1的圖象向左平移1個單位后，再向上平移2個單位后得到____.

分析按常規要先配方.其實，毋須如此費事，由定理1：向左平移1個單位，就是將所有的x→x+1；向上平移2個單位，就是將所有的y→y-2.

解平移后得到y-2=3(x+1)2-2(x+1)+1整理即得.

詳述至此，細心的讀者會發現，這里不過是將原規律的“上加下減”改為“下加上減”.可是，莫小看這一變動，它體現了x、y兩條不同坐標軸的對立統一，具有普遍性，自然應適用于伸縮變換.我們知道，教材中討論y=Asin(ωx+φ)時，A>1與0<ω<1都用伸長變換，這種不一致必然給我們的理解與記憶帶來麻煩和負擔.那么，對伸縮變換能否也淡化x、y的不同，從而將它們統一起來呢？答案是肯定的.

二、伸縮變換

考慮把圖象y=f(x)變換為圖象y=Af(kx)(A>0，k>0).這里頭含有兩種變換：①x→kx，②y→by，其中，b=1/A.由倍數關系要用伸縮變換，結合教材，對照平移變換的分析，利用對立統一原理不難得出：

變換①要這樣進行：圖象上所有點的橫坐標變為原來的1/k，縱坐標不變(k>1時，縮為原來的1/k；0

變換②要這樣進行：圖象上所有點的縱坐標變為原來的1/b，橫坐標不變(b>1時，縮為原來的1/b；0

需要指出的是，這里作了b=1/A，使得y軸上的伸縮變換用b來刻畫，就與x軸上的伸縮變換高度一致，同時也體現了對立思想：大于1是縮短，小于1是伸長.故有：

定理2(函數圖象伸縮變換定理)若函數y=f(x)圖象上各點的縱(橫)坐標不變，橫(縱)坐標變為原來的1/k，就相應地改變表達式中的x(或y)，且遵循倒數原則：x→kx(y→ky).即：y=f(kx)(或ky=f(x)).反之亦真.

可記為：橫x縱y，小伸大縮(大小相對1而言).當然，可以把平移、伸縮變換合起來記為：橫x縱y，負移正加，小伸大縮，對立統一.

例4把y=sinx上所有的點的縱坐標不變，橫坐標____就可以得到函數y=sin(x/4)的圖象.

分析比較知，x→x/4.

解伸長到原來的4倍.

例5若函數y=sinx的圖象上各點的縱坐標伸長為原來的3倍，而橫坐標不變，再將其向上平移2個單位，得到____.

此外，利用兩個定理，處理平移、伸縮的次序問題那便不費吹灰之力了，如：

前文提到，這種圖象變換思想具一般性，所以定理可推廣到多元函數的圖象、曲線等變換.這時候，原來前人所總結的口訣就束手無策了.如：

例7將拋物線y2=4x向下平移3個單位，再向左平移2個單位后，得到____；將x3+y3=3axy(葉形線)上各點橫坐標不變，縱坐標變為原來的1/3，所得到的圖形為____.

解①(y+3)2=4(x+2);②x3+(3y)3=9axy.

三、對稱、翻折變換

因篇幅所限，對對稱、翻折變換不再加以討論，這里只給出結果(函數圖象或曲線對稱變換定理)，請讀者朋友們驗證.

定理3-1f(x,y)=0的圖象沿y軸(直線x=0)或沿x軸(直線y=0)翻折后，得到f(-x,y)=0或f(x,-y)=0.

定理3-2f(x,y)=0的圖象沿直線x=a或沿直線y=b翻折后，得到f(2a-x,y)=0或f(x,2b-y)=0.

如前所述，這些定理也可推廣到多元函數、曲線變換等，實在是一勞永逸了.

結束本文之前，不妨請讀者們再注意文中定理之結構與幾道例題的解答，整齊劃一，在高度的嚴謹中滲透著內在和諧之美.也因如此，筆者以為，不應把函數圖象變換的x、y軸分離開來，而應積極地在看似孤立的現象中尋找聯系，尋找共同點，從而把它們統一起來，方為正道！