解決兩類立體幾何難題的新方法

朱小扣 藍云波

(1.安徽省無為第三中學城北校區 238351;2.廣東省興寧市第一中學 514500)

《普通高中數學課程標準(2017版)》中指出：“數學學科核心素養包括：數學抽象，邏輯推理，數學建模，直觀想象，運算能力，數據分析，這些核心素養既相對獨立又相互交融，是一個有機的整體.”而高考的命題勢必會考查這些核心素養，這就對學生的空間想象能力，化歸能力等能力提出了更高的要求，所以有時在高考立體幾何中取得高分非常不容易，有時必須要另辟蹊徑.本文將用兩個新的方法來解決此類問題，以期拋磚引玉.

一、利用標數法破解三視圖問題

對三視圖的考查一直是高中數學的重點，往往是通過三視圖還原物體的直觀圖，從而計算直觀圖的表面積和體積.但還原物體的直觀圖卻是學生學習和教師教學的難點.不少老師在講解時往往在課件上用不同顏色區分不同的視圖所表示的點，筆者覺得這樣去教農村的考生而言并不好操作(條件差)，并且在考試時用不同的顏色畫點線，重合時也有干擾.為此筆者創造出了“標數法”，舉例如下，供大家參考.

例1 (2016年河北省邯鄲一模)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四面體的三視圖，則該四面體的表面積為( ).

圖1

上題如不用標數法，極容易出錯.又如：

例2 (2016年安徽省蚌埠一模)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ).

圖2

解析如圖2，利用正視圖，在可能的長方體的頂點上標上“1”；利用側視圖，在可能的長方體的頂點上標上“2”；再利用俯視圖，在可能的長方體的頂點上標上“3”，得到了同時擁有“1，2,3”的6個點A,B,C,D,E，F，再經過確認排除點F，于是得到所求幾何體是多面體ABCDE：

點評在近幾年的各類考試中，以三視圖為背景的試題屢見不鮮，且常考常新，應引起高度的重視，但由于學生空間想象力的匱乏，無法迅速地還原出直觀圖，導致考試丟分.這同樣給教師的教學帶來麻煩.但如果利用標數法，標上“1”“2”“3”，就可以三位一體，使得問題迅速地，正確地解決.

二、三面角余弦定理破解二面角問題

在做二面角題時，有時不能用常規的方法(如找角法，垂面法，向量法等)來解決時，這時我們可以想想還可用三面角的余弦定理，三面角的余弦定理如下：

1.三面角余弦定理

圖3

2.三面角定理的應用

圖4

(1)求證：BD⊥PC；

(2)求證：MN∥平面PDC；

(3)求二面角A-PC-B的余弦值.

解析(1)(2)(略).

故由三面角的余弦定理定理得：

圖5 圖6

(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；

(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.

點評通過三面角的余弦定理，可以迅速地解決二面角問題，也可以彌補學生空間想象能力的不足.需要注意的是,三個角的位置不能搞混亂，才開始寫的時候可以用圖3“照葫蘆畫瓢”，多寫幾次就能熟練地掌握.

總結高考是選拔人才的考試，想取得高分，僅僅對知識達到初步的理解和掌握還是不行的，必須加以延拓并靈活運用.可能有的老師對介紹本文的“超綱”知識，并不認同，但正如不管是發現法教學，還是探究法，拋錨法，范例法等方法來教學，如果僅僅依靠某一種或幾種教學方法，就能達到學生能力的提高，我覺得也是“教條主義”.教無定法，學無定法，解題亦無定法.