2019年清華大學自主招生數(shù)學試題(部分)及其詳解

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

2019年清華大學自主招生數(shù)學試題共包含35道不定項選擇題.本文中的試題均是由參加考試的學生回憶得出的，因而回憶出的題目可能不準確(沒有回憶出選項的題目均改成了填空題)，題目也不全，題號也不準確.解析由筆者給出.

1.若一個四面體的六條棱長分別是6,6,6,6,6,9，則其外接球的半徑是____.

3.已知點A(0,2),B(0,-1)，若P是單位圓上的動點，則|AP|·|BP|2的最大值是.

4.若線段AB是⊙O的直徑，CO⊥AB,M是線段AC的中點，CH⊥MB于H，則( ).

A.AM=2OHB.AH=2OH

C.△BOH∽△BMAD.AB=BM

5.已知集合A={1,2,3,…,15},B={1,2,3,4,5},f是A到B的映射.若f(x)=f(y)，則稱有序數(shù)對(x,y)為“好對”.可得“好對”個數(shù)的最小值是.

C.f(x)=ex+1D.f(x)=sin(2x+1)

9.已知圓x2+y2=4，在該圓上的點(x0,y0)處的切線與拋物線y2=8x交于兩點A,B.若∠AOB=90°(其中O是坐標原點)，則x0=.

10.若a=44444444,b是a的各位數(shù)字之和，c是b的各位數(shù)字之和，d是c的各位數(shù)字之和，則d=.

13.若數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=an2-3an+4(n∈N*)，則( )

A.{an}單調遞增 B.{an}無上界

14.若正數(shù)a,b滿足ab(a+8b)=20，則a+3b的最小值是.

15.若f(x)=|x-1|+|x-3|,g(x)=2ex，則f(x)+g(x)的最小值是.

A.a1a3a4=125 B.a1a2a3a4a5=55

18.若實數(shù)x,y滿足x3+8y3+6xy-1=0，則x3y的取值范圍是.

由分部積分公式，可得

所以

4.BC.

5.45.(1)當x=y時，“好對”(x,y)個數(shù)是15：x=y=1,2,3,…,15.

(2)當x

設B中的元素i的原像集是Mi，集合Mi的元素個數(shù)是xi(i=1,2,3,4,5)，可得x1+x2+x3+x4+x5=15(xi∈N,i=1,2,3,4,5).

可得xi(i=1,2,3,4,5)的最大值最少是3.

(3)當x>y時，同(2)可得“好對”(x,y)個數(shù)的最小值是15.

綜上所述，可得所求答案是45.

6.AB.由拉格朗日中值定理可知，可導函數(shù)f(x)滿足性質T即f(x)的值域是f′(x)的值域的子集.

(1)當f(x)=x3-3x2+3x時，可得f′(x)=3(x-1)2，因而f(x)的值域是R，f′(x)的值域是[0,+∞)，得選項A正確.

(3)當f(x)=ex+1時，可得f′(x)=f(x)，因而選項C錯誤.

(4)當f(x)=sin(2x+1)時，易知f(x)的值域是[-1,1].還可得f′(x)=2cos(2x+1)的值域是[-2,2]，因而選項D錯誤.

圖3

10.7.可得a=44444444<(104)4444=1017776，因而a至多是17776位數(shù)，所以a的各位數(shù)字之和b≤17776·9=159984；因而b至多是6位數(shù)，所以b的各位數(shù)字之和c≤1+5·9=46；因而c至多是2位數(shù)，所以c的各位數(shù)字之和d≤3+9=12.

還可得a=44444444≡(4·4)4444≡74444=7·(73)1481=7·(38·9+1)1481≡7(mod9)

a≡b≡c≡d(mod9),所以d=7.

圖4 圖5

13.ABD.由題設，可得a1=3,an+1-an=(an-2)2≥0,an+1≥an(n∈N*)，再由數(shù)學歸納法可得an≥3(n∈N*).進而可得an+1-an=(an-2)2≥(3-2)2=1,an+1≥an+1(n∈N*)，所以選項A,B均正確，C錯誤.

進而可得當且僅當(a,b)=(2,1)時，(a+3b)min=5.

15.6.設h(x)=f(x)+g(x)，可得

當x≤1時，可得h(x)=2ex-2x+4,h′(x)=2(ex-1)(x≤1)，進而可得h(x)在(-∞,0),(0,1)上分別是減函數(shù)、增函數(shù)，所以h(x)min=h(0)=6；當1≤x≤3時，可得h(x)=2ex+2是增函數(shù)，所以h(x)min=h(1)=2e+2>6；當x≥3時，可得h(x)=2ex+2x-4是增函數(shù)，所以h(x)min=h(3)>6.綜上所述，可得答案.

當3x-100<3y-100時，可得3x-100是24·54的小于100的正約數(shù)即1,2,4,8,16,5,10,20 40,80,25,50.但3x-100是被3除余2的正整數(shù)，所以3x-100=2,8,5,20,80,或50，此時可得解的組數(shù)是6.

同理可得，當3x-100>3y-100時解的組數(shù)也是6.

綜上所述，可得答案是12.

17.ABCD.可得zk(k=1,2,3,4,5)是方程z5=1的全部復數(shù)根，在復平面上對應的點是單位圓的內接正五邊形的頂點Zk(k=1,2,3,4,5)，其中z1對應的頂點是Z1(1,0).

由對稱性，可得a1=a2=a3=a4=a5,

①

a1=(z1-z2)(z1-z3)(z1-z4)(z1-z5)

=|z1-z2|2·|z1-z3|2.

②

再由①，可得選項A,B,C,D均正確.

(x+2y)3-13-6xy(x+2y-1)=0,

(x+2y-1)[(x+2y)2+(x+2y)+1-6xy]=0,

4(x+2y-1)[(2x-2y+1)2+3(2y+1)2]=0,

x=1-2y或2x-2y+1=2y+1=0,

(1)當x=1-2y時，x3y=(1-2y)3y.