一個正三角形面積最值的求法探究

許銀伙

(福建省泉州外國語中學 362000)

分析一以邊OA，OB所在直線分別為x，y軸，建立直角坐標系，通過正三角形的直觀性質三邊相等和已知條件求出OE，OG的長度關系，進而求出EG的最小值.

△EFG為正三角形，所以|EF|=|EG|=|FG|,

分析二以邊OA，OB所在直線分別為x，y軸，建立直角坐標系，深入運用正三角形性質和已知條件求出OE，OG的長度關系，進而求出EG的最小值.

即得：

分析三由圖形看出，等邊△EFG的邊長與∠OEG的大小有聯系，考慮尋找它們之間的聯系，把△EFG的邊長用∠OEG表示， 從而把△EFG面積化為∠OEG的函數，利用三角函數知識解決問題.

評注1.本方法通過對幾何圖形深入分析，找出角的相等關系，然后利用正弦定理和已知邊的關系，快速得到所求正三角形邊長關于引入的角的函數式，從而快速解決問題.利用平面幾何知識解題，是高中同學的弱項，值得重視和加強.

分析四由圖形看出，若引入直線EF的傾斜角∠AEF=α，可得直線EG的傾斜角∠AEG=α+60°，又因為EF=EG，所以考慮利用直線參數方程中參數的幾何意義解題.

因為點G在y軸上，所以x0+rcos(α+60°)=0，即x0=-rcos(α+60°).

評注這種方法運用直線參數方程中參數的幾何意義解題，緊扣選修4-4的教材知識，但對三角函數知識要求較高，需要熟練掌握三角函數知識才能完整解答.

分析五由圖形看出，若引入直線EF的傾斜角∠AEF=α，可得直線EG的傾斜角∠AEG=α+60°，又因為EF=EG，所以考慮利用向量知識解題.

評注這種方法與方法四類似，但運用的卻是必修系列教材的內容，對知識概念的理解和三角函數公式的運用能力要求較高.由此可知：向量與三角函數的結合可以作為解決旋轉問題的有力工具.

評注這種方法與方法五類似，思路與方法一相同.所運用的知識是原來全國大綱教材關于復數乘法運算的幾何意義：若復數為z2對應的向量是復數為z1對應的向量繞逆時針或順時針旋轉θ(θ>0)得到，則z2=z1·(cosθ+isinθ)或z2=z1·[cos(-θ)+isin(-θ)]；如果復數的模長再變為原來的r倍，只需在上面式子右端乘上r即可.它們是解決向量旋轉與伸縮的好工具.

以上方法一和方法二求正三角形面積純粹設點的坐標，不設邊長，思路距離問題的解決比較遠，運算也比較復雜；方法三設了邊長和角，利用平面幾何知識和正弦定理，把邊長化為角的三角函數，最為扣緊高中核心知識，但平面幾何知識的運用是高中學生的弱項；方法四五六都是直接針正三角形邊長，分別利用直線參數方程中參數的幾何意義，向量與三角函數知識的結合，復數運算的幾何意義把邊長化為角的三角函數，運算量相對減少.通過這個問題解決方法的探索，可以把高中主要知識融會貫通，有效地提高數學解題能力.