基于化歸思想的圓錐曲線一題一課

康 琳

(四川省成都市四川師范大學附屬中學 610061)

例題已知拋物線C:x2=4y的焦點為F，點A在拋物線C上，且拋物線C在點A處的切線與拋物線C的準線交于點P，則△AFP面積的最小值為____.

環節一學生分享解法，教師提問，點評，意圖引導學生首先思考這些不同的解法是如何產生的，其次整理出解決這個問題需要儲備哪些知識，做好查漏補缺的學習任務.

評述(1)切點的變化引起三角形的變化，故自然的想到引入切點坐標為變量，構造函數.

思路探究二引入角度θ.

評述(1)得到AF⊥PF，AF與y軸正方向夾角θ的變化引起三角形的變化，故引入角度為變量，構造函數；長度和角度建立等量關系反映出極坐標的思想.

(2) 知識儲備：光學性質(選修2-1閱讀內容中指出拋物線的一條重要性質：從焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸)；函數求最值.

評述(1)|AF|的變化引起三角形的變化，故引入長度為變量，構造函數.

思路探究四設斜率直線AF的斜率k.

評述(1)直線AF的變化引起三角形的變化，故引入斜率為變量，構造函數.

評述(1)改變幾何要素的呈現順序，交點P的變化引起三角形的變化，故引入交點坐標為變量，構造函數.

(2)知識儲備：切線的求法；三角形面積公式；函數求最值.

環節二解法小結

(1)回顧以上五種解法，同學們辨析各種探究思路的不同和相同之處，意圖讓學生發現在解決圓錐曲線某些元素最值問題時，雖然由于引入的變量不同而產生不同的解法，但是基本思想都是一樣的，各種探究解法殊途同歸，即都是利用了化歸思想，將這一類問題最終化歸為函數來研究.

(2)綜合比較這幾種不同的探究思路，學生感受幾種解法的解答速度，旨在讓學生體驗常用二手結論帶來的快捷，完善自己的答題策略及考試策略，提升學生解決問題的能力，因為考試時必須考慮時間成本，將時間利用率最大化.

環節三圓錐曲線和導數的解答題中，經常考察導數在函數中的綜合應用，而其中最常見的就是研究函數最值，教師示范一種解法的詳細解答過程，意圖讓學生規范答題，避免考試時因過程書寫不當而失分，也是對學生用數學語言表達能力的一種鍛煉.

環節四課堂小結學習了這個例題的收獲.本題考查圓錐曲線范圍最值問題，由一題多解到多題一解，最終化歸為函數研究.因為對計算有較高要求，難度較大,所以挖掘幾何特點，運用二手結論，巧妙引入變量，快捷地化歸為函數解決問題.