反證法應用之我見

李林

摘 要 在空間線面關系中，異面關系及線面關系的證明有時從已知或定理?定義出發進行推理論證比較困難，學生對證明切入點的探尋也是非常困惑?如何有效解決這個問題？利用反證法就能起到四兩撥千斤的效果?

關鍵詞 異面直線;線面關系;反證法

中圖分類號：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）20-0168-01

反證法在各種測試題中應用已經很少，在教科書中也僅僅是一言帶過，應用舉例更是少得可憐。但這并沒有影響它對相應抽象題型的獨到論述與解析。牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。用常規思維由“因”索“果”比較困難、復雜的情況下，利用反證法是最好的選擇。在空間線面解題中經常使用反證法，解決異面直線、線面平行問題，根據實際情況巧用反證法通常能起到事半功倍的效果。

反證法的基本思想是假設結論的反面成立，經過合理的推導、論證導出一個矛盾問題。這個矛盾可能是與已知條件、概念、定理、公理矛盾或自相矛盾。矛盾的原因是由假設造成的，說明假設錯誤，則原結論成立，有時結論的反面不是一種情況，需要一一駁倒，才能說明原結論成立。一般用來證明正面難以入手的題目。反證法的證題模式可以簡要地概括為“否定→推理→否定”。實施的具體步驟是：第①步，假設原命題結論不正確;第②步，從假設出發，經過推理論證，得出與已知或定理相矛盾的結論;第③步，否定假設不成立，從而肯定原命題正確。

一、異面直線的判定

已知a、b是異面直線，直線c，d分別與a交與不同兩點P，Q;c，d與b交與不同兩點M，N.求證：c，d是異面直線.

學情分析：異面直線是空間直線，既不平行也不相交。假如從已知或定義出發推理論證非常抽象空洞，判定結論成立的條件比較復雜，不容易應用，直接證明很難切入，學生對此類問題通常是一籌莫展。利用反證法可以找到解決問題的突破口。

證明：假設c，d不是異面直線，則c，d共面于平面α.∵c∩a=P，d∩a=Q，

c，dα，∴P，Q∈α而P，Q∈a，∴aα，同理ba.∴a，b共面與已知a，b是異面直線矛盾，所以假設不成立。∴c，d是異面直線.

學情分析：異面直線的判定證明題，其題設一般都比較離散而抽象，不利于思維定位，而利用反證法則可以讓我們找到解題的方向。通過反證法的固有模式進行推理，學生的解題思路會得到延展拓寬。

又如：如圖，a，b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，E，F分別是線段AC和BD的中點，判斷EF和a，EF和b的位置關系，并證明你的結論。

解答：直線EF和a，直線EF和b都是異面直線。

證明：（反證法）假設EF和a不是異面直線，

則可設共面于α，即EFα，aα

∴E∈α∵A∈a，∴A∈α∴AEα∵C∈AE，C∈α. 同理D∈α.

∵C，D∈b，∴bα這與題設a，b是異面直線矛盾。所以，直線EF和a是異面直線。同理直線EF和b也是異面直線。

二、線面關系的判定

已知直線a∥平面α，點A∈α，點A∈直線b，且a∥b.求證：ba.

學情分析：有時學科中的起始性命題，由于已知條件及能夠應用的定理、公式、法則較少，或由題設條件所能推出的結論很少，因而直接證明入手較難，此時應用反證法容易奏效。例解如下：

證明：假設bα∵A∈α，A∈直線b，∴b和α相交.∵直線a∥平面α，A∈α∴Aa，則過點A和a存在一個平面β，即A∈β，aβ，在β內，過A可作直線c，使a∥c且A∈c.又∵a∥b，∴c∥b，與b∩c=A矛盾，∴bα.

已知a，b是異面直線.求證：過b有且僅有一個平面與a平行.

學情分析：“有且僅有”此類問題屬于存在性、唯一性命題，如果直接證明需要作比較繁瑣的輔助圖形，同時也很難界定命題結論的唯一性。利用反證法就能一一否定后駁倒，證明過程簡潔、明了。例解：

證明：①存在性.在直線b上任取一點B，過B作c∥a， ∵c與b相交于B，∴過c、b可作一個平面α.∵c∥a，cα，aα，∴a∥α②唯一性假設過b還要一個平面β，滿足a∥β.∴bα，bβ，α∩β=b，而a∥α，α∥β∴a∥b，這與a、b是異面直線相矛盾，假設不成立，過b有且僅有一個平面與a平行

三、反證法應用反思

我校是農村高中，學生的數學基礎知識非常薄弱，數學思維能力幾乎都停留在表面功夫上。在教學中利用一些比較有效的解題方式方法是提高數學成績的有效手段。盡管反證法目前的應用不是很廣，有意識地引導學生運用反證法可以簡潔有效地解決異面直線、線面關系的判定問題。但是并不是這方面內容都必須采用反證法，有時順著題設尋找結論也很便捷。而反證法主要適用于題設復雜、如“至多”“至少”唯一性、否定性，正面很難切入的問題。所以要求學生在解題時注重審題，具體分析，靈活應用。反證法在應用時還是要強調書寫格式，以達到解題思路清晰，證明結論凸顯的效果。