符號意識的內涵、偏頗及教學要領

王強國

（寶應縣實驗小學，江蘇 揚州 225800）

數學符號是數學抽象性特質的最重要的表征。無法獲得符號所蘊含的豐富的數學意義，成為學生對數學學科產生“畏懼”心理的主要原因之一。幫助學生感知、發現、領悟數學符號的意義，提升對符號意義的獲取能力，是數學教學無法回避的課題。實踐中，一線教者由于認知不力，時常出現偏頗，效率低下，同時也影響著學生與數學的情感，需要引起重視，深入解讀，理性反思，探尋更為有效的路徑，以更好地落實課程目標。

一、“符號意識”的內涵解讀

（一）“課標”的詮釋

教育部《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》認為：“符號感主要表現在：能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，并用符號來表示；理解符號所代表的數量關系和變化規律；會進行符號間的轉換；能選擇適當的程序和方法解決用符號所表達的問題。”[1]

教育部《義務教育數學課程標準（2011年版）》修改為：“符號意識主要是指能夠理解并運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。”[2]

“課標（實驗稿）”主要從行為表現的角度陳述“符號感”，“課標（2011年版）”的解釋還突出了符號意識的對象與功能。兩者都采用描述性的定義方式，便于一線教師理解與踐行。從“符號感”到“符號意識”，不僅僅是詞的變化，更是認知的更新。“符號感”更多地表現為對能力的要求，“符號意識”突出了數學符號的本質內涵——“使用符號可以進行運算、推理，得到的結果具有一般性”。另一方面，數學符號對于學生而言主要的不是潛意識、直覺或感覺，而是一種主動地使用符號的心理傾向[3]。“課標（2011年版）”的表述中使用的“抽象”“表示”“理解”“選擇”等詞都是表示自覺思維活動的詞語，因而更準確。值得注意的是，“課標（2011年版）”增加了“符號表示數”，可以認為它既指用字母表示數，又包括用阿拉伯數字符號表示數，按照這樣的解讀，小學數學對“符號意識”的培養從一年級教學第一個數字1 就已經開始。綜上可見，修改后的表現性刻畫，內涵更全面，更貼近小學數學教學的實際。

（二）相關的解讀

在國外，匈菲爾德等人認為：“符號意識包括能夠給符號、表達式和公式賦予意義，并感受到它們的結構。”[4]阿凱菲在將符號意識與數學意識類比的基礎上，給出符號意識的一些基本特征，“其中包括：建立公式的技能，確認等價表達式的能力，以及怎樣通過這些公式和表達式去表示數學的意義。同時，他還指出，符號意識是學習代數的必要條件。”[5]上述兩位學者分別從能否理解符號意義和用符號表示數學對象的角度對符號意識進行了描述，細致入微。費爾（Fey，1990）認為符號意識是一種非正式技能，包括：“認識與鑒別能力、估算能力、驗算與預告能力、選擇能力。”[6]相比于匈菲爾德和阿凱菲，費爾提出的見解更加全面，對一線教師進一步理解符號意識具有較高的參考價值。佐恩則把符號意識看作“從符號中抽象出數學意義和結構，用符號有效地表達數學意義和結構，以及通過符號的操作發現新的數學意義和結構的一般化能力”[7]。這一解釋更為具體，對一線教師從實踐的角度來培養學生的符號意識具有指導意義。

在國內，朱立明和馬云鵬認為，所謂“數學符號意識”，即學習者在思維（具體表現為數學思維）的引導下，對數學知識與數學符號之間抽象對應關系的一種積極主動的心理認知活動（內隱性），在通過數學符號的感知與理解、運算與推理、交流與表達等數學思考方式解決數學問題的過程中所表現出來的與數學符號相關的一種數學核心素養（外顯性）[8]。鮑建生和周超認為符號意識應包括以下幾個層面：“運用符號去表示數學的意義和結構；能夠理解符號所表示的意義和結構；對符號進行演算（包括等價變形）；運用符號進行思維，從而發現新的數學意義和結構。”[9]重慶師范大學黃翔教授指出符號意識的要求體現在四個維度為“符號理解、符號操作、符號表達、符號思考”[10]。國內學者基于課標的解讀，給出自己的觀點，為一線教師落實“符號意識”的實踐提供了思路，有助于課程相關目標的落實。

二、“符號意識”的偏頗略述

羅素說過：“數學是什么？數學就是符號加邏輯。”在數學教學中，符號如影隨形，雖沒有“符號意識”一詞，一線教師對其背后的本質，是有所把握的。實踐中，不乏有益的嘗試，但由于認知的不足、理解不透，一些偏頗的行為時常遇見。

1.生活符號等同數學符號

符號在日常生活中廣泛使用，學生進入小學之前，已經具備了一定的符號意識，小學教學不能只是簡單地重復學生已有的認知過程，而應該以此為起點培養學生數學的符號意識。課堂中，針對“符號意識”的培養目標，許多教者都習慣于將生活中的各種符號引進課堂，花費大量時間與精力予以解釋。如“用字母表示數”教學時，引進肯德基的符號、麥當勞的符號、汽車標志符號以及交通信號符號等，讓學生一一辨識，因課堂氣氛活躍，被一度熱捧，冷靜思考，不禁生疑，這是數學課嗎？事實上，生活中的一般符號和數學符號部分功能相同，如表述與理解、交流與傳達，以及簡化思維等。但數學符號有其特殊之處：一方面，數學符號是精確的、嚴謹的。生活符號的多變性，對數學來說是可怕的，數學符號許多年不變是正常的，這也體現出數學符號的通用性。另一方面，數學符號是可以參與運算的。無論是算術運算還是代數運算，亦或微積分運算和邏輯運算，幾乎所有的運算都表現為符號的推演。正是數學符號的這些特點，使數學思維成為可視的符號操作，簡潔且可忽視符號背后的東西。由生活符號引入，激活學生相關的認知經驗是可取的，如果熱衷流行元素，詳略不分，將非數學的符號作為教學的重點，不加區別，顯然不妥。

2.規律表征視為符號意識

在“符號意識”培養過程中，教者自主開發課程，將之滲透到相關內容的教學中，形成教學的合力，這是有益的，值得倡導的。當界定為培養了學生的“符號意識”的目標追求時，需要慎重考量。如圖1，在學生觀察思考的基礎上，教者引導學生用自己喜歡的方式表示出發現的規律。

圖1

以“盆花”的規律表示為例，學生想到了以下方式：

情境中，學生個性化的表示方式，體現著“一一對應”的思想，也有助于規律的發現與表達，但如果上升為培養學生的“符號意識”就有些牽強了。因為，這些表現方式都只是一種記號，所反映出的符號感與生活中的符號感類似。這種符號感在音樂課中也有，如學生用標點符號、長短線等表示節奏。充分發掘教學內容中蘊含的“符號意識”的素材，是行之有效的教學對策，但如果硬貼標簽，就有偏頗之嫌。

3.自創符號替代現有符號

在“符號意識”的培養中，實時適度地安排學生自創符號，這對學生數學學習興趣的激發、創新能力的培養有裨益。教學中，教者在學生自創之后，滿足于學生的創造成果，往往忽視對現有符號意蘊的揭示。如“圓周率”的教學，在學生操作實驗的基礎上，教者介紹圓周率用字母π 來表示，有學生問：“可以用字母a 表示嗎？”教者答：“你想用這個字母表示，理論上可以。”更多學生舉手：“老師，我想用字母b 表示”“我想用三角形來表示”……教者始料未及，只好草草收場：“數學上，我們用字母π表示”。類似這樣的情形，時有發生，學生暢所欲言，教者“萬問歸宗”：“數學上，我們通常用……來表示”。事實上，數學符號，猶如象形文字，不僅內涵深刻，且有不可低估的育人價值及教學法功能。以案例中的圓周率“π”為例，公元480年左右，數學家祖沖之將之精確到小數點后7 位，其密值比西方早1000多年，讓學生感嘆祖先的智慧；公元263年，中國數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”包含了求極限的思想，讓學生感受方法的妙絕……這些內涵的揭示，會使學生透過符號的表象，產生敬畏之心，避免形式上的糾結。

三、“符號意識”的教學要領

（一）彰顯符號自身的優美性

1.簡潔美

符號都是簡潔的，簡潔的符號便于識別，容易記憶，數學符號用簡潔的語言表達出豐富的數學思想，也使得數學符號系統與日常的語言系統區別開來，是一種十分重要的數學美。符號的簡潔美主要表現在三個方面：其一是研究對象的表征。如“簡單的搭配”問題，出示“小明有兩件上衣和三條褲子，他有幾種不同的搭配方法？”學生在表征時，用數學的符號（三角形、圓、正方形等）顯然比畫實物圖更方便。同時，在用數學符號表征的過程中，也有利于學生抽象出算法的模型。其二是探究結果的表述。如“加法的結合律”，語言表述為“三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變”。符號表示為“（a+b）+c=a+（b+c）”，簡潔明了，便于理解與運用。其三是解題思路的明晰。如“列方程解應用題”，用符號表示未知數，由于未知數的代入，使得學生可以從“理解數量關系（算術法解答）”轉變為“尋找等量關系（列方程解答）”，思維難度降低的同時，促進學生解題思路的明晰。

2.意象美

數學及其推理都是抽象的（且比邏輯之抽象更為高級），而符號是意象的。這種意象性使得數學符號和文學語言一樣，呈現出美的意境，表達人們對美的向往與追求。符號的意象美，可以從兩個角度來彰顯：一是由外及內。比如“圓的認識”，教學時，在生活原型抽象出圓之后，可以借助圓規在黑板上畫一個圓，引導學生鑒賞圓之美，外形很飽滿，沒有棱角，在探究中進一步引領學生感受體會“圓之飽滿”的內在邏輯，即：在同一個圓里，所有的直徑都相等，圓心到圓上的任意一點的距離都一樣，直徑等于半徑的2倍等。二是由內至外。如數字符號“外形的美感不顯現，內在美卻很豐富。“表示把“單位1”平均分成兩份，這樣的一份就是“也就是生活中所說的一半，這里不管是一個桃，還是一箱桃，還是一車桃，或是半個桃等，都可以表示出它的“

3.文化美

“數學課程標準（2011年版）”指出：“數學是人類文化的重要組成部分。”符號是數學文化的載體之一。在小學數學的教材內容中，符號的文化美至少體現在以下兩個層面：一是精神美。如“可能性”教學中，將一枚硬幣拋向空中后落下來，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，任何一面朝上的可能性都是這個結論很容易被接受被認可，但是許多的科學家卻對此進行多次的反復試驗，德·摩根拋幣次數4092次，浦豐拋幣4040次，費勒拋幣10 000次，皮爾遜拋幣24 000 次，羅曼諾夫斯基拋幣80 640 次……這就是數學的求真務實的態度與理性精神。二是智慧美。如前文中提到的圓周率“π”，劉徽以極限思想為指導，用“割圓術”求圓周率，通過對圓內接正多邊形的面積的計算，并由此而求得了圓周率的兩個近似數值：3.14和3.1416。如此巧妙的方法，既大膽創新，又嚴密論證，也為圓周率的計算指出了一條科學的道路。

（二）突出符號理解的過程性

1.低起點，豐富體驗

符號意識的形成是一個不斷體會、不斷累積、不斷重建的過程，不可能一蹴而就。雖然學生在幼兒園時期有一定用符號表示事物的經驗，生活中符號隨處可見，但并不能表明學生已經具有符號的意識。在教學中，我們立足學生已有的知識經驗，遵循學生的認知規律，采用“低起點、穩扎根”的方式，豐富學生的體驗。要正視學生對“情境”的依賴。要允許學生將符號與具體的情境聯系起來。如“幾和第幾”的教學，教材中以小朋友排隊買票的情境介入，這是學生熟悉的，便于理解。但在教學中，我們會發現一些學生認為“第幾”就是買票排隊時從前向后排列的位置，換做幾本書，讓學生從一定的方向（尤其逆向）指出第幾本，有一定困難。事實上，對于小學生而言，尤其是接觸符號的初期，借助情境理解符號的意義是正常的，符合學生的認知規律。隨著年級的遞增，學生對符號情境意義的豐富，再理解其外延就簡單多了。

2.慢進程，理解內涵

對數學符號所蘊含的意義的理解，是“符號意識”的形成基礎。教學中，應當“慢進程”，一方面，符號意義的獲取需要一定的抽象概括能力，小學生抽象思維的發展，有一個過程；另一方面，符號內涵的建構是一個逐步豐富、完善的過程。“慢”不是簡單的過程拖沓，而是對認知過程的細化與深化。如“用字母表示數”教學。可以做如下分解：第一步，從“像”到“快。”教者讓學生快速地畫一只小鳥，學生不約而同畫出簡筆畫的鳥。教者小結：“（畫的時候）把最簡單的東西給它拿出來，就變成了一個符號一樣的東西”。第二步，從“清晰”走向“模糊”。快速地畫出教師的包里一樣東西，有學生畫手機、皮夾、筆等簡筆畫，有學生則畫出一個圓圈。教者追問：“畫手機和畫圓圈有什么不同？”引領學生感知符號可以表示不確定的物體。第三步，從“物”到“數”。出示一個黑袋子，讓學生思考袋中球的個數怎樣表示。學生想到“？”“△”等。教者順勢引導：“數學上我們可以用a、b、c 等字母表示”，并追問：“這里用來表示球的個數的字母可以表示哪些數？”明確字母可以表示數且可以表示不確定的數。第四步，從“數”到“關系”。再出示一個袋子（紅色）：“紅袋里的球比藍袋里的球多2個，怎樣表示呢？”學生聯系前面的經驗，得出紅袋里有（a+2）個球。進一步討論得出：a+2 既可以表示紅袋里球的個數，又可以表示紅袋與藍袋中球的數量關系。

3.重轉換，溝通聯系

數學符號是數學存在的具體化身。“轉換”是符號教學中必不可少的環節，是促進學生理解、溝通數學與生活聯系的紐帶。這里的“轉換”主要包括三個層面：一是“符號”系統的內部轉換。數學符號有多種分類，常見的按照符號的用處分為：對象符號（如數字符號、圓周率等）、運算符號、關系符號、結合符號（如小括號、中括號）、性質符號（如正號、負號）等[11]。“符號”系統的內部轉換主要指同一類型的符號間的轉換，如運算符號“+”與“×”，“3×2”既可以表示兩個3相加，又可以表示3個2相加等。二是自然語言與符號語言的轉換。其一是將自然語言轉換為數學符號語言。如“一輛汽車每小時行駛80千米”，數學符號語言可表述為“80 千米/時”等。其二是將數學符號語言譯為自然語言。即讓學生用自己的話語描述符號所表示的意思，個性化的解讀與認知，往往也標志著學生對某一符號的通徹理解。三是思維方式的轉換。小學數學解題中，主要指算術思維與代數思維，算術法的重點是理解數量關系，代數法關鍵是尋找等量關系。兩種思維方式各有優勢，相對而言，尋找等量關系簡單一些。在教學中，兩種思維方式常常可以并用，如計算15-7，學生可以用“破十法”，也可以用“想加算減”的方法思考7+（）=15 等。教者應該予以充分的把握，為學生后續的符號應用的技能與意識的培養奠定基礎。

（三）滲透符號背后的思想性

1.變元思想

變元思想是根據小學生的年齡特點和知識水平，采取不同的形式進行滲透，旨在讓學生逐步了解變元的思想[12]。以蘇教版小學數學教科書為例，在第一冊第22 頁的數的大小比較中就有“□”的出現：4＞□，2＜□；第68 頁“（）”出現在等式中：8+（）=10，（）+6=10，這里用“□”和“（）”代替變元符號“x”，讓學生在里面填入合適的數，使式子成立。表面看，這些題目就是要求小學生在其中填進一個合適的數，身為教師應當明白，如果將“□”換成“x”，4＞□等就成為不等式，如果將“（）”換成“x”，8+（）=10 等就是一元一次方程，并且“x”都有一定的取值范圍，這就是變元思想。教學中，可以采用“瞻前顧后”的方式給予強化，比如在教學“用字母表示數”時，讓學生回顧低年級學習的填括號，在教學“方程”時，引領學生思考未知數在以前學習中的運用等，這樣不僅有利于學生認知結構的重組，也有利于學生深刻感知變元思想。

2.代數思想

代數思想，就是用字母來代替具體數值進行思考的思維形式。具體的數值刻畫的是某一種情況，而用字母表示數之后，就可以表示一類情況，從而實現從特殊到一般，從具體到抽象的跨越。“數學課程標準（2011年版）”中第二學段內容中，明確要求學生能“在具體情境中會用字母表示數，結合簡單的情境，了解等量關系，并能用字母表示”。從研究一個個特定的數到用字母表示一般的數，是學生認識上的—次飛躍。小學階段，“用字母表示數”是學習數學符號的重要一步。符號既可以用來表示一類事物，也可以表示兩類事物之間的關系，同時符號也是表示一類我們要研究的事物的方法。一線教師通常會關注前兩種功能，忽視符號所具有的方法論的價值。在實踐中，可以通過符號表示的需求性的體會來感悟。一是表達的需求。如“用數對確定位置”，當學生用生活經驗表示第幾排第幾列時，會發現同一位置有多種表述方式，從而引出數對。二是思考的需求。符號的引入，有助于壓縮思考的過程，提高學習的效率。如長方形面積公式用字母表示為：S=ab，當學生將這三個字母看作數時，容易思考得出這個公式的變式，即由S=ab得出：a=S÷b，b=S÷a。

3.方程思想

在小學高年級安排了方程以及列方程解應用題的內容，用方程的方法解決實際問題，符號化思想蘊含在解法之中，主要體現在如下三個方面：（1）代數假設，用字母代替未知數，與已知數平等地參與運算。（2）代數翻譯。把題中自然語言表述的已知條件，譯成用符號化語言表述的方程。（3）解代數方程。把字母看成已知數，并進行四則運算，進而達到求解的目的[13]。列方程解應用題的思想需要上述用字母表示數的思想的支撐，更需要我們在教學中關注細節，引領學生感悟方程的魅力，在方法的自主運用中感知方程思想。值得注意的是，實踐中，方程解題時較大的書寫量與課本習題的較低難度值往往使得學生的方程意識淡薄，出現“平時用不到，用時想不到”的狀況。因此，一方面要精選習題讓學生感知方程解法的優勢，在學生熟練掌握方法與步驟后，可以適當安排一些數量關系更為復雜的習題讓學生解答；另一方面，要教給建立等量關系的技巧，如抓關鍵詞、抓關鍵句、抓不變量等，教給學生相關技巧，提升正確列方程的能力。

綜上所述，符號意識的培養，是一個循序漸進、逐步提升的過程，發展學生的“符號意識”是在培養和發展更高層次、更高水準的數學素養。深刻地認知、智慧地實踐，必將促進學生數學學科素養的提升。▲