圓軌道欠驅動航天器編隊重構脈沖控制

鐘都都，黃 煦,2，賈曉曉，金學敏

(1.中國人民解放軍96901部隊，北京 100094； 2. 清華大學 精密儀器系，北京 100084； 3. 中國人民解放軍火箭軍駐北京地區第七代表室，北京 100039； 4. 中國人民解放軍96669部隊，北京 102208)

0 引言

航天器編隊飛行是空間任務中的一項關鍵技術，可應用于對地觀測、在軌服務、深空探測等任務[1-3]。不同于傳統單個大型航天器，航天器編隊將以往單個航天器的功能分布在一群近距飛行的小型航天器內，因而具有低成本、低風險、高可靠性以及任務靈活性等優勢[4-6]。其中，顯著改善的任務靈活性得益于編隊構型的可重構性，即編隊內的航天器可根據不同任務需求通過相對軌道機動的方式改變航天器間的相對位置，從而改變編隊的幾何構型[7]。上述過程可定義為編隊重構。作為編隊飛行中的關鍵技術，編隊重構控制成為研究熱點與難點。

現有的編隊重構控制方法可分為脈沖控制與連續推力控制方法。采用脈沖控制方法，VADDI等[8]設計了圓軌道編隊最優重構控制方案。ROSCOE等[9]進一步考慮J2攝動，設計了攝動環境下圓軌道編隊重構最優脈沖控制策略。此外，SOBIESIAK等[10]進一步對脈沖時刻進行了優化。對于連續推力控制方法，李靜等[11]采用同倫分析方法和間接優化方法推導了連續小推力作用的燃耗最優重構控制軌跡。針對類似問題，吳寶林等[12]采用直接優化方法求解了最優控制軌跡。此外，滑模控制[13]、魯棒控制[14]、神經網絡控制[15]等方法也被應用于連續推力作用的重構控制方案設計。

然而，上述脈沖或連續推力控制方法均基于相對軌道動力學系統為全驅動控制系統的假設設計，即航天器徑向、跡向和法向均存在獨立的控制通道。若某一方向的推力器出現故障，系統成為欠驅動系統，即系統獨立控制數目小于系統自由度的系統[16]。此時，上述全驅動控制方法均不再適用。顯然，針對推力器故障問題，最為直接的解決方法為安裝備份推力器[17]。但考慮到小型編隊航天器的質量和成本約束，更為經濟有效的方法為設計欠驅動控制器。

針對欠驅動重構控制問題，國內外學者已開展了一系列研究，主要包括徑向欠驅動和跡向欠驅動兩類控制方法。對于徑向欠驅動控制方法，LEONARD等[18]基于航天器間的相對大氣阻力近似作用于跡向的假設，提出了僅采用跡向相對大氣阻力進行編隊構型控制的概念。KUMAR等[19]采用線性反饋控制方法設計了圓軌道徑向欠驅動編隊重構控制器，且VARMA等[20]采用線性滑模控制方法解決了類似問題。對于跡向欠驅動控制方法，GODARD等[17]分析了跡向欠驅動條件下的圓軌道編隊重構可行性，并基此設計了線性滑模控制器。隨后，黃煦等[21]解析推導了兩類欠驅動條件下的圓軌道編隊重構最優解析，并基此設計了自適應控制器。然而，上述控制方案均假設控制器為連續推力，故而不適用于脈沖推力的控制方式。考慮到脈沖推力更易于工程實現，本文將研究脈沖推力作用下的圓軌道徑向或跡向欠驅動編隊重構控制方法。

綜上，與現有成果相比，本文的不同與改進之處在于：1)與全驅動重構控制方法[7-15]相比，本文提出的控制方法可適用于徑向和跡向欠驅動兩類情況，故而可有效避免由推力器故障引起的重構任務失效；2)與現有全驅動重構控制方案相比，采用本文提出的欠驅動控制方案可有效減小控制器數目，進而減輕航天器系統質量，降低系統成本，更加符合未來小型化、低成本的編隊航天器的發展需求；3)與連續推力作用的欠驅動控制方法[17-21]相比，本文提出的控制方法采用脈沖推力方式，故而更貼合工程實際，減少操作難度。

1 動力學建模與分析

1.1 動力學模型

坐標系定義如圖1所示。由圖可見，主航天器運行于圓軌道，從航天器飛行于主航天器附近，并與其構成編隊。OEXIYIZI為地心慣性坐標系，OE為地心。主從航天器相對運動在軌道坐標系OCxyz中描述，其中，OC為主航天器質心，x軸沿主航天器地心距矢量RC方向，z軸沿主航天器軌道面法向，y軸與x、z軸構成右手笛卡爾直角坐標系。OD為從航天器質心，且RD為從航天器地心距矢量。

圖1 坐標系定義Fig.1 Definition of coordinate frames

定義ρ=RD-RC=[xyz]T為主從航天器相對位置矢量，假設主從航天器相對距離遠小于其地心距，則主從航天器相對運動方程可表述為[22]

(1)

其中

(2)

(3)

(4)

需要指出的是，上述線性化模型僅對近距航天器成立。一般地，對于相對距離在100 km范圍的航天器，由線性化假設引起的誤差不超過0.03%[23]。本文中討論的航天器編隊范圍在幾千米范圍之內，因此，由線性化引起的誤差可忽略不計。

1.2 能控性分析

主從航天器相對運動模型式(1)為線性時不變系統。根據線性系統理論[24]，系統(A,B1)在徑向欠驅動條件下仍完全可控。相反，跡向欠驅動條件下，系統(A,B2)非完全可控，可按能控性結構分解為

(5)

其中

(6)

1.3 可行性分析

2 脈沖控制

如式(1)所示，對于近距圓軌道相對運動，平面內與平面外的相對運動狀態解耦。同時，對于徑向或跡向欠驅動情況，法向的相對運動與徑向和跡向相對運動獨立，且法向相對運動動力學系統為全驅動控制系統。因此，法向脈沖控制可采用常規全驅動脈沖控制方法設計，且對徑向和跡向相對運動無影響。基此，本文僅對平面內的欠驅動脈沖控制方法進行設計，法向全驅動控制方法可參考文獻[25]。

2.1 徑向欠驅動

(7)

式中

(8)

式(7)的解析解為

(9)

式中：t0，tf分別為初始和終端時刻；ti為施加跡向脈沖的時刻。Φ1(τ2,τ1)為狀態轉移矩陣，即

(10)

式中：Δτ=τ2-τ1；s=sinnΔτ且c=cosnΔτ。Φ1v=Φ1(:,4)，即Φ1v為矩陣Φ1的第4列。

ΔX1=F1ΔV1

(11)

式(11)為k元一次方程組，其中，ΔX1∈R4，F1∈R4×k且ΔV1∈Rk，R表示實數域。顯然，當k<4時，方程組無解；當k=4時，若rank(F1)=4，方程組有唯一解，其中rank表示矩陣的秩；當k>4時，方程組有無窮組解。由此可得，一般情況下，實現徑向欠驅動編隊重構脈沖控制的最小次數為4，并且當4次脈沖的時刻ti確定時，每次脈沖施加的速度增量ΔVyi也隨之確定，即

(12)

2.2 跡向欠驅動

(13)

式中

(14)

同理可得，式(14)的解析解為

(15)

式中：Φ2v為狀態轉移矩陣Φ2(τ2,τ1)的第2列，即Φ2v=Φ2(:,2)；Φ2(τ2,τ1)的表達式為

(16)

ΔX2=F2ΔV2

(17)

同理，式(17)為k元一次方程組，其中ΔX2∈R3，F2∈R3×k且ΔV2∈Rk。顯然，當k<3時，方程組無解；當k=3時，若rank(F2)=3，則方程組有唯一解；當k>3時，則方程組有無窮組解。由此可得，一般情況下，實現跡向欠驅動編隊重構脈沖控制的最小次數為3，并且當3次脈沖的時刻ti確定時，每次脈沖施加的速度增量ΔVxi也隨之確定，即

(18)

3 數值仿真及結果分析

假設主航天器運行于軌道高度為500 km的圓軌道，初始時刻主從航天器構成半徑r=0.5 km的投影圓編隊，其幾何構型表達式為[7]

(19)

式中：r為投影圓編隊半徑，且φ0為相位角。本算例中假設初始編隊構型的相位角為0，即φ0=0。

選取待重構的構型為r=1.0 km且φ0=π/2的投影圓編隊，且終端時刻選定為tf=T，其中T表示主航天器軌道周期。兩類欠驅動情況下的仿真結果如下所述。

3.1 徑向欠驅動

選取的4次脈沖時刻見表1。由式(12)計算得到的脈沖速度增量也總結于表1。可見，實現重構所需的脈沖數量級在10-1至10-2m/s數量級，所需的總速度增量消耗約為0.76 m/s。對于比沖為3 km/s的軌控發動機，所耗燃料質量約為航天器總質量的0.025%，符合工程實際的合理范圍。

表1 脈沖時刻與速度增量(Vx=0)

圖2和圖3分別給出了重構過程中的相對位置和相對速度軌跡，且圖4給出了重構過程中的相對轉移軌道。由圖可見，從航天器從較小的編隊構型出發，經過4次脈沖變軌后，進入較大的編隊構型，從而實現了編隊重構，證明了式(12)的正確性。

圖2 相對位置軌跡(Vx=0)Fig.2 Time histories of relative position (Vx=0)

圖3 相對速度軌跡(Vx=0)Fig.3 Time histories of relative velocity (Vx=0)

圖4 重構轉移軌道(Vx=0)Fig.4 Transfer trajectory of formation reconfiguration (Vx=0)

3.2 跡向欠驅動

選定的3次脈沖時刻見表2。對應地，由式(18)計算得到的脈沖速度增量也列于表2。可見，單次脈沖的速度增量消耗約為10-1m/s數量級，且總速度增量消耗約為0.83 m/s，在本算例中略多于徑向欠驅動情況。同理，對于比沖為3 km/s的軌控發動機，所耗燃料質量約為航天器總質量的0.028%，符合工程實際的合理范圍。

表2 脈沖時刻與速度增量(Vy=0)

圖5 相對位置軌跡(Vy=0)Fig.5 Time histories of relative position (Vy=0)

同理，圖5和圖6給出了跡向欠驅動條件下重構過程的相對位置和相對速度軌跡。圖7給出了重構過程的相對轉移軌道，可見，從航天器從較小的編隊出發，經過3次變軌后，到達期望的編隊，實現了編隊重構，驗證了式(18)的正確性。

圖6 相對速度軌跡(Vy=0)Fig.6 Time histories of relative velocity (Vy=0)

圖7 重構轉移軌道(Vy=0)Fig.7 Transfer trajectory of formation reconfiguration (Vy=0)

4 結束語

本文研究了徑向和跡向欠驅動條件下的圓軌道編隊重構脈沖控制問題。基于兩類欠驅動條件下的相對軌道動力學模型，開展了系統能控性與重構可行性分析，并基此解析推導了實現重構所需的最少脈沖次數以及對應的脈沖速度增量。理論分析與仿真結果表明徑向或跡向欠驅動條件下，圓軌道編隊重構仍可行。通常條件下，徑向欠驅動時，實現軌道面內重構所需的最少脈沖次數為4次；跡向欠驅動時，實現軌道面內重構所需的最少脈沖次數為3次。相較于全驅動重構控制方案，本文提出的欠驅動控制方案可有效避免由推力器故障引起的重構任務失效。此外，若主動采取欠驅動控制方案，可有效減少推力器數目，減輕系統質量，降低系統成本，滿足編隊航天器小型化、低成本的發展需求。當前研究針對二體圓軌道，后續研究將進一步考慮攝動因素以及橢圓參考軌道，進行欠驅動編隊重構控制設計，并對脈沖時刻與脈沖速度增量進行優化。