山區大跨窄懸索橋抖振響應時域有限元分析

周 戈，盛光祖，李浩然

（1.武漢地產開發投資集團有限公司，湖北 武漢 430022；2.防災減災湖北省重點實驗室（三峽大學），湖北 宜昌 443002）

0 引 言

山區大跨度窄懸索橋是一種柔性的高次超靜定結構，具有跨越能力大、內力分布均勻、外形輕盈美觀等優點，逐漸受到橋梁界的高度關注。但該類橋梁的加勁梁寬度一般設置為2～5 m，隨著跨徑的增大，整體結構高跨比和寬跨比急劇降低，使得窄懸索橋豎向與橫向剛度削弱，導致橋梁整體結構的動力穩定性變差[1]。在風雨、車輛和環境激勵下極容易產生較大振幅，降低了行人車輛的舒適度和結構安全性，因此開展窄懸索橋結構的風振響應研究具有重要意義。

針對山區大跨度窄橋面懸索橋的抗風問題，許多學者開展了廣泛的研究。李春光等人采用增量分析方法，研究了某在建窄橋面大跨度懸索橋的靜風失穩的全過程[2]。長安大學李加武等人提出了提高窄懸索橋抗風能力的措施[3]。研究表明，自然風分解為平均風速（平均風）和脈動風速ui（脈動風）兩部分，相對應的風荷載也分為靜風荷載和脈動風荷載。其中，平均風是指在固定的一段時間內，風速大小、方向為固定值，不隨時間而改變，平均風的周期較長，其性質相當于靜力作用，而脈動風是由大氣的不規則運動造成，脈動風速大小、方向均隨時間按隨機規律變化，周期較短，其性質相當于動力作用。目前，對于脈動風隨機場模擬主要有以下四種方法：諧波合成法（WAWS）[4]，本征正交分解法（POD）[5]，線性濾波法[6]（AR或ARMA）以及小波變換法。線性濾波法優點是計算量小、效率高、耗時少，是需要滿足特定條件的一種模擬方法，在模擬過程中往往需要根據已有的經驗判斷，模擬精確度不能保證；小波變換法[7]的優勢在于模擬非平穩信號，但是模擬結果的精確度不穩定，容易受所選小波基以及小波系數的影響，該方法不建議在模擬平穩隨機過程時使用，容易造成不可忽視的誤差;諧波合成法理論簡單明了易掌握，將隨機脈動風速看成一系列余弦波的疊加，并且可以生成無條件穩定的高精度模擬結果。

因此，本文以某山區加勁梁窄懸索橋為工程研究背景，采用諧波合成與FFT轉換技術相結合的方法，模擬某山區加勁梁窄懸索橋的三維脈動風場，基于ANSYS大型有限元分析軟件中APDL語言建立窄懸索橋風振響應模型，分析山區大跨度窄懸索橋結構的抖振響應。

1 脈動三維風場理論分析及數值建模

1.1 脈動三維風場理論分析

脈動風能量在頻域范圍中的分布情況通常采用脈動風功率譜函數來表達，脈動風功率譜函數反映了脈動風中不同頻率成分對湍流脈動總動能的影響，根據脈動風風向進行分類，可以劃分為順風向脈動風速譜和豎向脈動風速譜。我國《公路橋梁抗風設計規范》（JTG_TF50—2011）中順風向脈動風速譜采用隨高度變化的Kaimal-Simiu譜，其表達式為：

式中：u2*為氣流剪切速度，m/s；f為無綱量莫寧（或相似率）坐標,，（z）=uln（z/z），其中 z*0為高度，z0為地面粗糙長度，m；k為卡曼常數，取0.4。

而豎向脈動風速功率譜采用Panofsky譜，表達式為：

一般在湍流風場中，一定空間內兩個不同坐標點的風速大小和方向往往會有所差別，也可能是完全不相關的情況[8]。在窄懸索橋結構上某一個模擬點的脈動風荷載達到了最大值時，與該點距離較遠的另一個點的脈動風荷載一般不會在同一時間里也達到上限值，因此在一定空間范圍之內，與該模擬點距離越遠，其脈動風荷載就越不可能同時達到上限值。隨機風場并非完全一樣，這是因為兩個點之間距離越遠，脈動風速的相關性就隨之越小，其中相干函數的值域范圍在（0，1）之間，該值越大，說明兩點之間的相關性越強。本文采用Davenport建議的空間相干函數模型來描述橋面水平向兩點i與j之間的相關性，表達式為：

式中：Coh（Δij，ω） 為空間 i和 j兩點的相干函數；cx為水平向衰減因子。

1.2 諧波合成-FFT

（1）諧波合成法

脈動風速可以看成一個一維n變量零均值的高斯隨機過程 ｛（ft）｝ ，這個隨機過程包含 f（1t）、f（2t）、f（3t）、...、fn（t）共n個變量。根據Shinozuka理論，脈動風速過程可以用下式表示：

式中：Vi（t）為脈動風速，m/s；N為頻率采樣個數，取 210；Δω 為圓頻率增量，rad/s；ωjk為雙索引頻率；為隨機相位角，rad。

（2）FFT加速技術

雖然諧波合成法能高精度的模擬出脈動風速過程，但是計算量通常較大，耗時長，用時較長主要和以下兩點有關：（1）隨機脈動風速的諧波項疊加過于復雜，該計算過程需要占用大量的時間；（2）每一個對應的頻率項都需要進行互譜密度矩陣的Cholesky分解，而且隨著模擬節點數量n增加，功率譜密度矩陣維數也越來越大，所以計算量會按照n2/2的速度增加，為了提高脈動風速過程的計算效率，本文引入FFT轉換技術。首先，將式（4）轉換為以下表達形式[9]：

式中：Re表示復數的實部；Δt為時間增量，s;p=1，2，...，M×n-1；M=2N；q 為 p/M 的余數，q=1，2，...，M-1；其余量的含義同式（4）。

其中Bji（mΔω）按照下式計算：

1.3 脈動風速值模擬計算結果

根據上述計算原理，本文采用MATLAB數學編程軟件，實現脈動風速值模擬的計算機算法。數值模擬時主要參數取值見表1。圖1和圖2所示為10#模擬點脈動風速時程，圖3和圖4為10#模擬點脈動風功率譜與目標譜的對比。

表1 諧波合成法模擬脈動風速主要參數

圖1 部分模擬點順風向脈動風速時程

圖2 部分模擬點豎風向脈動風速時程

基于諧波合成法（WAWS）與FFT結合的方法，模擬了窄懸索橋主梁上共19個點的順風向和豎風向脈動風速時程，并展示了其中最具代表性的幾個點。從圖中可清晰的看到，模擬出來的空間多點脈動風速時程隨機性較好。如圖1和圖2可知，模擬點的順風向脈動風速在-15～15 m/s范圍之間波動，豎風向脈動風速在-6～6 m/s范圍之間波動，反映了脈動風隨時間隨機規律變化的特性。

圖3和圖4可知，模擬出的自功率譜函數和互功率譜函數與目標譜都有相同的變化趨勢，模擬功率譜曲線在目標譜曲線周圍有規律的波動。在低頻區域（10-3～10-1Hz）范圍內，功率譜曲線擬合較好，0.1 Hz以后，兩種曲線差距開始發散，整體擬合度較好，說明模擬出來的功率譜精確度高。

圖310#點模擬自功率譜與目標譜

圖410#點模擬自功率譜與目標譜

2 工程概況及有限元模型

2.1 工程概況

本文以某山區窄懸索橋有工程研究背景，該橋位于湖北省興山縣古洞口水庫。某山區加勁梁窄懸索橋整體布置圖、加勁梁橫截面如圖5所示。

圖5某山區加勁梁窄懸索橋全橋布置圖（單位：cm）

橋梁總跨徑185.4 m，主橋為150 m單跨雙鉸地錨式懸索橋，主橋主梁采用縱橫梁格鋼結構體系，橋面全寬4.0 m，人行道凈寬3.5 m。橫梁型鋼使用雙拼[32a槽鋼，中橫梁順橋向間距為2.0 m。橫梁兩端開孔，用于錨固抗風拉索的上端錨頭。雙拼[32a橫梁上沿順橋向布置14根縱梁，其中12根[16槽鋼以及位于兩側的[40槽鋼，與橫梁通過焊接連接。橋面板采用10 mm厚花紋鋼板。引橋橫斷面為混凝土小箱梁。全橋共73根吊桿，吊桿間距2.0 m（兩端為加強吊桿，間距3.0 m）。橋塔為H形鋼筋混凝土結構，截面形狀為矩形。

2.2 有限元建模

基于窄懸索橋結構約束特點與設計圖紙說明，對懸索橋橋塔底部、加勁梁端部、主纜錨固端和索鞍處約束進行力學簡化，某山區窄懸索橋有限元計算分析模型如圖6所示。采用ANSYS大型有限元計算分析程序對某山區加勁梁窄懸索橋進行建模，總體坐標系以橋跨方向為X軸，以橋寬方向為Y軸，以橋塔方向為Z軸。根據某山區橋梁結構實際情況進行有限元模擬，全橋共4083個單元。

有限元模型的加勁梁和索塔結構采用空間梁單元BEAM4模擬，BEAM4是一種可以承受拉、壓、彎、扭的受力單元，每個節點各有6個自由度。主纜、吊索、抗風系統采用空間桿單元LINK10模擬，LINK10為三維僅受拉或受壓單元，能夠有效模擬懸索橋索類結構的工作狀態。欄桿、索夾等采用節點質量單元MASS21模擬，橋面板采用殼單元SHELL63模擬。

圖6 加勁梁窄懸索橋有限元計算分析模型

該模型考慮了主纜外層防腐材料質量的影響，在主纜參數設置中給主纜密度一個大于1的修正系數，主纜、吊桿、抗風主纜和抗風拉索的質量密度按照規范給定容重，根據其有效截面面積進行計算，各類構件材料的彈性模量參考設計圖紙取值。

3 全橋抖振時域化分析

3.1 風荷載計算

風荷載包括三個部分：靜風力、抖振力和氣動自激力，其中抖振力和氣動自激力為動荷載，抖振力由脈動風引起，氣動自激力由結構氣動耦合產生[10]。

（1）抖振力計算

根據Scanlan教授的準定常氣動理論，窄懸索橋加勁梁的抖振力可按下式計算：Lb（t）=

式中：ρ為空氣密度，kg/m3；U為來流平均風速，m/s；B 為構件截面沿主流方向尺寸，m；C'L、C'D、C'M分別為升力、阻力和升力矩系數曲線斜率；u（t）、w（t）分別為順風向，m/s和豎風向脈動風速，m/s。

（2）氣動自激力計算

大跨加勁梁窄懸索橋主梁的氣動自激力可以參考Scanlan教授提出的自激空氣動力計算方法，作用在窄懸索橋主梁結構單位長度上受到的氣動升力Lae、氣動阻力Dae和氣動扭矩Mae，可以分別表示為豎向位移h、水平位移p和扭轉位移α的函數，采用無量綱氣動導數H*i、P*i、A*i（i=1，2，...，6）來表達，計算公式如下：

式中：U、ρ、B 同（10）～（11）；K 為無量綱頻率，K=Bω/U；ω 為振動圓頻率，rad/s；氣動導數 H*i、P*i、A*i（i=1，2，...，6）是無綱量風速 U*=U/fB或者無量綱頻率的函數，他們的取值與窄懸索橋加勁梁截面的尺寸有關。

3.2 抖振響應時域化分析

根據脈動風速模擬結果計算出脈動風產生的抖振力，靜風荷載根據設計基準風速Vd=29.03 m/s進行計算，氣動自激力由主梁結構氣動耦合引起，采用ANSYS中MATRIX27矩陣模擬加勁梁氣動剛度與氣動阻尼。考慮三種荷載的共同作用，基于ANSYS中APDL編程功能實現窄懸索橋結構抖振時域化分析，跨中主梁節點抖振位移響應時程如圖7和圖8所示。

圖7 某山區加勁梁窄懸索橋跨中橫向位移抖振時程響應

從圖7和圖8可以清晰看出，橫向與豎向抖振時程響應均有明顯上限限值，橫向位移振動上限值為16.4 cm，豎向位移振動上限值為8.8 cm，從橫向與豎向振動幅值來分析，可以看出橫向振動位移較大，說明該橋橫向抗彎剛度較小，自振頻率較低，需要采取一定的抗風措施來對橫向剛度進行加強。

圖8某山區加勁梁窄懸索橋跨中豎向位移抖振時程響應

另一方面也能說明抖振為限幅振動，一般不具有災害性的破壞，但是考慮到發生的頻率較高，故也容易引起局部構件疲勞損傷。

4 結 語

本文采用諧波合成與FFT轉換技術相結合的方法，模擬了某山區加勁梁窄懸索橋三維脈動風場，考慮平均風引起的靜風荷載，脈動風引起的抖振力和主梁氣動耦合引起的氣動自激力。運用ANSYS大型有限元計算分析程序中APDL編程功能，實現加勁梁窄懸索橋抖振響應時域化分析。計算結果得出，該橋橫向抖振位移上限值為16.4 cm，豎向位移振動上限值為8.8 cm，說明某山區橫向抗彎剛度更小，出現橫向彎曲振型頻率會更低，需要采取一定的抗風措施加強橫向剛度。另一方面也能看出抖振位移響應時程表現為明顯的限幅振動，一般不具有災害性的破壞，但是考慮到發生的頻率較高，故也容易引起局部構件疲勞損傷。