初中數學中的最值問題模型構造和應用策略研究

謝承敏.廣西凌云縣民族初級中學.廣西百色.533199

一、初中數學中模型思想的應用方式

模型思想指的是使用數學模型方法有效解決以及處理實際問題的思想，其是學生理解以及體會數學和現實聯系的重要橋梁，構建和求解模型的過程包含了從具體情境或者是現實生活當中抽象數學問題，使用數學符號有效的構建不等式、方程以及函數等數學問題當中的數量關系以及變化規律，最終獲得結果，并且探究結果意義。學習數學模型思想可以有效的提升學生數學學習的興趣，加強應用意識，最終完成建模的有效策略。

最值問題作為初中數學的關鍵性內容，同時也是中考中經常會涉及到的熱點性問題，是一類綜合性相對較強的問題，考察學生利用所學知識有效解決實際問題的根本能力。不管是代數亦或是平面幾何，學習中都會碰到最值問題，常見的便是線段以及最值問題，這類題目通常可以歸為兩種形式：第一，幾何模型，多是在存在不確定位置關系以及動點的時候求最值，該類問題的解答通常由兩種方法，一種是通過幾何圖形性質確定位置。第二，函數模型，經常按照已知的條件，將問題逐漸演變為兩個變量的關系，從而構造二次函數的解析式，利用配方使用二次函數增減性與對稱性，最終明確某個特定范圍內函數最大、最小值。

二、模型的構造

教學是從簡單到復雜，從特殊到一般的過程，為了能夠讓學生順利的開展學習工作，筆者選取了2個動點以及1個定點間距離相等，同時2條線段形成夾角是直角這個特殊的情況引入。

如圖1所示，已知A（0，5），B點是x軸的一點，在A點上做CA⊥AB，同時CA=AB，如果B點沿著x軸運動，C點隨之運動，那么OC最小值是？

在做這個題目的時候，教師要讓學生認真的觀察各個點的運動情況，然后回答以下問題。

第一，我們要探究的是哪個動點的實際運動軌跡？

學生都能夠回答是C點。為了能夠貫徹新課程改革中以學生為教學主體的要求，在實踐教學工作中，可以讓學生四人作為一個小組進行集中討論，并且用畫圖的形式探究以及觀察，猜想B點沿著x軸運動的時候，C點的運動軌跡。通過對圖形的觀察，學生可以猜想出C點的運動軌跡為直線，可是無法用數學語言給出證明。為了有效的解決這個問題，教師可以為學生設置相應的問題，引導學生確定C點運動軌跡。

第二，B點運動的時候，圖中哪些量是保持不變的？

這個問題看上去非常簡單，但是能夠幫助學生理清題意，使得學生能夠從動中發現靜的一面，找出動點運動的進程中所產生的不變量，從而將不變量作為根本出發點，尋找問題解決的方法。

盡管C點、B點都在運動，可是AB與AC是垂直、相等的，也就是AB與AC長度相等，同時∠BAC為90°。教師要引導學生發現這幾個不變量。

第三，是否能夠將CA⊥AB轉變成∠BAC=90°，將CA=AB轉變為AB/AC=1的樣式？

學生回答可以。此時我們就可以得出模型，

模型：已知A點是定點，B、C兩點是動點，同時滿足∠BAC=90°，AB/AC=1，如果點B在直線m上運動，那么點C的運動軌跡也是一條直線。通過特殊到一般性的推理，∠BAC并非局限在90°，可以為（0°，180°）區間內的任意角度。

三、模型的應用

下圖為一個等邊三角形，其邊長均為6，E為對稱軸AD上的動點，連接EC，線段EC繞著C點逆時針旋轉60°獲得FC，將DF連接起來，那么在E點運動的進程中，DF最小值為？

圖1

圖2

點C為定點，E、F兩點為動點，∠ECF=60°，同時CE/CF=1，滿足模型所規定的條件，所以我們可以明確F運動軌跡為直線，為了確定直線，只需要找到直線上的一個特殊點，E為AD上的動點，為了保持∠ECF不變，F也會運動，在E到達A點的時候，點F正好能夠運動到B點，連接BF，即為F的運動軌跡，直線明確以后就能夠使用垂線段最短來確定DF最小值，按照模型可以明確∠EGB=∠ECF=60°，DF為3/2.

結語

總而言之，最值問題看上去困難、復雜，但是其中包含了一定的模型思想，解決這類題型的時候，關鍵在于充分的結合題目的意思，利用相應的圖形性質以及概念，利用一定的手段與方法，將函數以及幾何的最值問題直接轉變為基本模型加以解決。教師要從學生的實際情況出發，設置相應的問題引導學生構建模型，并使用模型解決相關題型，引導學生在求解數學模型的進程中，不斷的積累各種數學活動經驗，構建數學模型思想，有效的提高問題解決能力。