基本不等式和對(duì)勾函數(shù)破解一道圓錐曲線高考試題

羅文軍

2019年高考全國Ⅱ卷理科第21題是一道圓錐曲線試題，圓錐曲線試題出現(xiàn)在壓軸題的位置，打破了歷年全國Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)試題作為壓軸題的套路，體現(xiàn)了高考試題“大穩(wěn)定，小創(chuàng)新”的特色，這道試題是一道圓錐曲線的軌跡、定值、最值問題，考查了曲線的軌跡方程的求法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想，考查了考生的運(yùn)算求解能力和推理論證能力，旨在考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng). 這道試題第（1）問較簡單，第（2）問的第（i）問和第（ii）問難度較大，三問之間難度具有很好的梯度性，具有很好的區(qū)分度和選拔功能. 本文對(duì)這道試題進(jìn)行解法探究、變式探究和源頭探究.

四、圓錐曲線備考建議

1. 回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

近幾年內(nèi)高考數(shù)學(xué)試題遵循“大穩(wěn)定，小創(chuàng)新”的方針，重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查. 同時(shí)，通過上面對(duì)圓錐曲線真題的源頭探究，發(fā)現(xiàn)2019年全國Ⅱ卷理科第21題源自課本. 因此回歸課本應(yīng)貫穿圓錐曲線復(fù)習(xí)的自始至終. 因?yàn)檎n本是數(shù)學(xué)知識(shí)“生長地”，課本是高考復(fù)習(xí)的“根據(jù)地”，課本是高考試題的“策源地”，回歸課本是高考復(fù)習(xí)的起點(diǎn)，研課本，就是要看考題與課本的關(guān)系，從高考的要求出發(fā)，把課本熟化，公式定理能信手拈來，基本題型能“借題發(fā)揮”. 在回歸課本的基礎(chǔ)上，要著重強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的梳理、優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

2. 注重通性通法

高考中解析幾何試題通常是對(duì)常見題型進(jìn)行加工改編，通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的整合、變式和拓展，從而加工為高立意、新情境、巧設(shè)問的解析幾何問題，堅(jiān)持新題不難，難題不怪的命題方向. 這要求學(xué)生要通過高中學(xué)習(xí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，通過對(duì)教材中基本例習(xí)題的變通，積累一些常規(guī)基本問題的解法，反復(fù)體會(huì)其中蘊(yùn)含的思維方法. 把解題方法提高到數(shù)學(xué)思想的高度，提高分析和解決綜合問題的能力. 例如，對(duì)于圓錐曲線解答題中三角形的面積的最值問題，通常要運(yùn)用到弦長公式和基本不等式;對(duì)于圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題，要優(yōu)先考慮點(diǎn)差法;對(duì)于求橢圓離心率的題目，大多要利用數(shù)形結(jié)合法，結(jié)合橢圓的定義求解. 對(duì)于拋物線的焦點(diǎn)弦和焦半徑問題，要根據(jù)焦點(diǎn)弦公式和焦半徑公式，結(jié)合拋物線定義求解. 在求橢圓的弦長時(shí)，利用弦長公式，運(yùn)用設(shè)而不求的方法.

3. 提高數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

高考數(shù)學(xué)答卷中反映出的問題之一是部分考生的運(yùn)算求解能力差，是最頭疼的事，有的考生思路的很好，但運(yùn)算過不了關(guān)，一道圓錐曲線解答題從一開始計(jì)算就錯(cuò)，而自己沒有自查能力，一直錯(cuò)到底，多么可怕呀. 閱卷規(guī)則要求從錯(cuò)誤解答開始的后面的步驟不能給分，而出錯(cuò)的原因往往很簡單，就是諸如一個(gè)正負(fù)號(hào)問題，直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立化簡整理時(shí)出錯(cuò)，太可惜.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)不僅僅是高三復(fù)習(xí)的事，應(yīng)該貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終. 特別是解析幾何解答題，綜合性強(qiáng)，代數(shù)推理要求高，運(yùn)算求解能力要求高，繁雜和冗長的計(jì)算是必不可少的，因此要通過強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法，特別是函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等引導(dǎo)學(xué)生理解算理，從而提高學(xué)生運(yùn)算求解能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

4. 研歷年高考真題，體會(huì)命題專家的命題思路

歷年高考試題不僅具有選拔功能，還具有很好的教育功能.高考試題凝結(jié)了命題專家的智慧與匠心，具有較強(qiáng)的原創(chuàng)性與指導(dǎo)意義，有利于考查學(xué)生的探究意識(shí)與創(chuàng)新精神. 從上面探源發(fā)現(xiàn)，2019年全國Ⅱ卷理科第21題第（2）問的第（i）問源自是江蘇省2011年高考數(shù)學(xué)第18題（3）問. 每年高考過后，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)年的部分高考試題是往年真題的同類題或“翻版”，因此，在平時(shí)的教學(xué)中，對(duì)高考試題進(jìn)行適當(dāng)發(fā)散研究，不僅可以理清脈絡(luò)，把握高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)，避免高三復(fù)習(xí)的隨意性、盲目性，而且可以有效訓(xùn)練學(xué)生的思維，提高探究能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

5. 重視新增知識(shí)，關(guān)注知識(shí)交匯

對(duì)新增的伸縮變換、極坐標(biāo)與參數(shù)方程等知識(shí)，要引起足夠的重視，比如，前面真題第（2）問的第（i）問的證法4就是用伸縮變換做的，第（2）問的第（ii）問的解法2運(yùn)用了參數(shù)方程的思想. 在高考中，如果沒想到其他方法破解圓錐曲線解答題，選用參數(shù)方程法，也是很好的. 同時(shí)，要關(guān)注知識(shí)交匯，從歷年高考試題來看，有時(shí)，解析幾何真題也與導(dǎo)數(shù)、不等式、三角函數(shù)等交匯，也充分體現(xiàn)了考試中心提出的“應(yīng)更多地從知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)題目，從學(xué)科的整體意義、思想含義上考慮問題”的思想.

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)