質子交換膜燃料電池的連續模型預測控制器的設計

(浙江省中西醫結合醫院，杭州 310003)

0 引言

目前，隨著世界人口的增長和社會經濟的飛速發展，人類社會對能源的需求越來越大，利用能源的范圍也逐步擴大。但現階段，世界能源利用還是以天然氣、石油和煤等化石燃料為主，這些化石燃料的能量轉換主要是通過熱力學過程來實現的。然而，由于熱力學過程受卡諾循環的限制，能量轉化效率低，能源浪費現象嚴重，而且會引發大氣污染和溫室效應等一系列環境問題，使人類的生存環境日趨惡劣。同時，化石燃料屬于不可再生資源，儲量有限。因此，開發高效環保的可再生能源已經成為一項刻不容緩的工作，各類燃料電池的研發就是在這樣的背景下展開的。氫作為可持續能源之一，以其豐富的元素儲存和宇宙中所有常規燃料的最高能量含量而受到研究人員的極大關注。質子交換膜燃料電池燃料通過氫氧化合作用，直接將化學能轉化為電能，具有較高的能量密度，較快的起動時間(≤1 s)。其發電效率高、工作溫度低、可靠性高、無污染、使用靈活等優點受到世人廣泛的青睞[1-4]。為了提高PEMFC系統的運行性能及效率,延長電池使用壽命,保證系統安全、可靠地運行,需要有效的控制系統對其進行控制。模型預測控制(MPC)算法采用了多步預測、滾動優化和反饋校正的控制策略，具有控制效果好、魯棒性強、對模型精確性要求低等優點，保證了系統在整個狀態空間內具有較好的運動品質。連續模型比離散模型更接近實際，更緊湊；連續模型預測控制(CMPC)具有快速且不定期的采樣間隔，不像離散模型預測控制(DMPC)那樣具有固定而且嚴格的采樣率；由于控制信號何時達穩態很難精確確定，CMPC沒有精確的控制域參數；CMPC對于擾動有更好的閉環響應；總之，CMPC可以在連續時間下更有效的實現對系統地控制并在快速采樣率下提高系統的控制性能[1-10]。

1 質子交換膜燃料電池(PEMFC)動態模型介紹

質子交換膜燃料電池的反應是通過氧化還原反應實現的：在催化劑的作用下，陽極的氫分子解離為質子和電子,質子通過質子交換膜到達陽極，而電子則通過外電路到達陰極，在陰極，氧氣與質子以及電子發生反應，生成水并產生熱量。PEMFC反應式如下[11-12]：

陽極：

H2→2H++2e-

(1)

陰極：

(2)

總：

(3)

首先對模型做出如下假設：假設所有氣體均為理想氣體，并遵守一切理想氣體的規律；假設所有氣體的相對濕度為100%；假設電池的各個部分的溫度完全一致；質子交換膜是完全加濕的并具有理想的質子傳導性能。

鑒于質子交換膜燃料電池的工作原理，根據文獻[5-6]，可以得到其數學模型：

(4)

Vact=0.9514-3.12.10-3T-7.4.10-5Tln(CO2)+

1.87.10-4Tln(i)

(5)

(6)

Vohm=I(RM+RC)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中，ΔG(J/mol)為吉布斯自由能(237.16 KJ/mol)；R為普適氣體常數(8.314 J/K.mol)；F為法拉第常量(96.487C)；ΔS為熵變(164.025 J/mol);PH2與PO2分別為H2與O2的壓力。T為環境溫度，Tref為參考溫度(298.15 K)。Vfc為活化極化電壓，CO2為有效氧濃度，i為電流密度，Vohm為歐姆極化過電壓，Vcon為濃度極化過電壓，ρM為質子交換膜對電子流的電阻率(Ω.cm)；RM為質子交換膜的等效阻抗，RC為阻礙質子通過質子交換膜的等效阻抗，l為質子交換膜的厚度，B(V)是由質子交換膜燃料電池本身決定的輔助系數。

單個燃料電池的輸出電壓以及輸出功率可表示如下:

Vfc=Enernst-Vact-Vohmic-Vcon

(11)

Pfc=Vfci

(12)

圖2給出的是一個質子交換膜燃料電池的動態模型。其中qo2和qH2分別為輸入的氧氣摩爾流量和氫氣摩爾流量,KO2和KH2分別為氧氣和氫氣的摩爾系數。

圖2 質子交換膜燃料電池的動態模型

2 控制器的設計

針對質子交換膜燃料電池反映過程特性，基于模型的傳統控制技術面臨極大的困難，智能控制發揮了一定的作用。為了實現質子交換膜燃料電池穩定的輸出電壓及功率，必須在其反映過程中實施先進的過程控制策略。預測控制是一種基于模型的控制方法，其具有對模型要求低、在線計算方便、種植質量好等特點。預測模型的功能是根據對象的歷史信息和未來輸入預測其未來輸出。狀態方程、傳遞函數以及階躍響應、脈沖響應這類非參數模型，都可以作為預測模型使用。在過去的幾十年中，模型預測控制在學術及工業領域都得到了廣泛的重視，由于連續的模型預測控制(CMPC)在技術上更難實現,絕大多數的MPC技術都集中在離散的模型預測控制(DMPC)上[13]。類似DMPC的處理方式，本文通過用拉蓋爾函數辨識控制變量，從而使CMPC能夠順利的應用于實踐中。

拉蓋爾函數如下[14-16]：

?

(13)

可進一步得到：

L(t)=eAptL(0)

(14)

其中：L(t)=[l1(t)l2(t) …lN(t)]T，p為拉蓋爾函數的比例因子：

(15)

(16)

其中:ci為脈沖響應系數，η=[c1c2…cN]T為系數向量。

類似DMPC的設計原則，CMPC也是建立在縮減域原則的基礎之上的，對于一個連續的系統：

(17)

(18)

在ti時刻預測ti+τ時刻系統的狀態以及輸出可表示為：

(19)

通過求得最優的控制變量使得性能指標：

(20)

通過以上算法，CMPC可以順利地施加到被控系統上，但是注意到其預測的系統矩陣含有正實部的特征根并帶有積分環節，對于具有強耦合、非線性比較強以及比較復雜的系統而言，TP選取的過小，系統很難達穩態；TP選取的過大，系統的海瑟矩陣過大(海瑟矩陣表明一個系統的健康性)，易造成數值解病態，參照DMPC的修正策略，通過引入指數權值函數e-αt進行修正[13-16]。

定義：

xα(ti+t|ti) =e-ατx(ti+t|ti)

(21)

(22)

聯合以上幾式可以進一步得到：

xα(ti+τ|ti) =eAατx(ti) +

(23)

(24)

將其帶入性能指標的表達式中便可得到新的性能指標。

部分程序實現如下:

function [Omega,Psi]=cmpc(A,B,p,N,Tp,Q,R);

[n,n_in]= size(B);

tau_del=0.001/max(p);

Tpm=max(Tp);

tau=0:tau_del:Tpm;

Np=length(tau);

N_pa=sum(N);

Omega=zeros(N_pa,N_pa);

Psi=zeros(N_pa,n);

S_in=zeros(n,N_pa);

R_L=eye(N_pa,N_pa);

kk=1;

fori=1:n_in

R_L(kk:kk-1+N(i),kk:kk-1+N(i))=R(i,i)*R_L(kk:kk-1+N(i),kk:kk-1+N(i));

kk=kk+N(i);

end

[Al,L0]=lagc(p(1),N(1));

Eae=expm(A*tau_del);

Eap=expm(Al*tau_del);

L=Eap*L0;

Y=-B(:,1)*L'+Eae*B(:,1)*L0';

X=Iint(A,p(1),Y);

S_in(:,1:N(1))=X;

In_s=1;

forjj=2:n_in;

[Al,L0]=lagc(p(jj),N(jj));

Eap=expm(Al*tau_del);

L=Eap*L0;

Y=-B(:,jj)*L'+Eae*B(:,jj)*L0';

X=Iint(A,p(jj),Y);

In_s=N(jj-1)+In_s;

In_e=In_s+N(jj)-1;

S_in(:,In_s:In_e)=X;

end

S_sum=S_in;

fori=2:Np-1;

kk=1;

[Al,L0]=lagc(p(kk),N(kk));

Eap=expm(Al*tau_del);

S_sum(:,1:N(kk))=Eae*S_sum(:,1:N(kk))+S_in(:,1:N(kk))*(Eap^(i-1))';

In_s=1;

for kk=2:n_in;

[Al,L0]=lagc(p(kk),N(kk));

Eap=expm(Al*tau_del);

In_s=N(kk-1)+In_s;

In_e=In_s+N(kk)-1;

S_sum(:,In_s:In_e)=Eae*S_sum(:,In_s:In_e)+S_in(:,In_s:In_e)*(Eap^(i-1))';

end

phi=S_sum;

Omega=Omega+phi'*Q*phi;

Psi=Psi+phi'*Q*Eae^i;

end

Omega=Omega*tau_del+R_L;

Psi=Psi*tau_del;

3 仿真結果及分析

為驗證所設計控制系統有效性,在Matlab/Simulink仿真平臺上對3種控制策略下的PEMFC系統進行了仿真試驗。假定氧氣是充足的，選取氫氣的摩爾流量作為控制變量。模型預測控制系統通過調節氫氣摩爾流量來實現PEMFC電池輸出功率的恒定。為了測試氫氣摩爾流量變化的及時性以及有效性，PEMFC輸出功率在0～18S設定值為0.5 W，18～36 S設定值為0.6 W，進行仿真實驗。DMPC主要參數如下：NP=20，Nc=2，u∈[-0.1,0.2],Δu∈[-0.2,0.2]輸出權值矩陣為單位矩陣，控制權值矩陣為0.3倍的單位矩陣；CMPC及ICMPC主要控制參數如下：p=0.85,N=80,TP=200,u∈[-1,1],Δu∈[-0.5,0.5]，α=10.1，權值矩陣R=0.4倍的單位矩陣,三中控制策略下的輸出功率、控制變量(氫氣流量)曲線以及控制變量的增量曲線變化如圖3～5所示。其中，DMPC表示傳統離散模型預測控制；CMPC表示連續模型預測控制；ICMPC表示指數權值函數修正之后的連續模型預測控制。

圖3 3種控制策略下輸出功率變化曲線

圖4 3種控制策略下控制變量曲線

圖5 3種控制策略下控制變量增量曲線

由仿真曲線可以得知,3種控制策略都可以實現對PEMFC的有效控制，3種控制策略下質子交換膜燃料電池的輸出功率達到設定值的時間基本一致。DMPC雖然有較好的快速性但是卻有相對較大的超調，DMPC控制策略下氫氣流量變化幅度較大，CMPC以及修正之后的CMPC算法嵌入了積分環節，雖然犧牲了一定的快速性，但是其魯棒性更強，對于更惡劣的環境能起到跟好的調控作用，而且DMPC是建立在離散的采樣點之上而CMPC建立在實際的連續時間基礎上，CMPC更具有加現實的意義。

4 結論

質子交換膜燃料電池因其具有能量轉化效率高、效率隨輸出變化特性好、無污染、構造簡單、便于維護、運行噪聲低、可靠性高等一系列的優點，使其得到了廣泛的研究與應用。在過去的幾十年中，模型預測控制在學術及工業領域都得到了廣泛的重視，由于連續的模型預測控制(CMPC)在技術上更難實現,絕大多數的MPC技術都集中在離散的模型預測控制(DMPC)上。本文通過對質子交換膜燃料電池施加CMPC控制器,并進行了簡單的修正,不僅使系統具有較好的響應特性，而且還具有良好的魯棒性和快速性,得到了較理想的控制效果，實現了質子交換膜燃料電池輸出功率的恒定。