感受數學史的教育價值

趙婷 楊聞起

摘 ?要：本文從數學家的角度介紹了數學史的教育價值，根據側重點不同將國內數學學者對數學史的看法進行分類總結，在此基礎上結合個人觀點，探討了數學史教育價值的具體體現，以期能讓更多人感受到數學史的教育價值。

關鍵詞：數學史 ?教育價值 ?數學教育

中圖分類號：G632.0 ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ?文章編號：1672-1578（2019）09-0049-02

公元前4世紀，古希臘數學家就已經開始系統研究數學歷史。隨著數學學科的發展以及數學教學的需要，諸多數學家開始意識到數學史與數學教育有著千絲萬縷的聯系，了解數學史并能合理運用數學史，這對教師教學與學生學習都有不小的幫助。

1 ? 數學家談數學史的教育價值

從19世紀開始，一些數學家已經關注數學史的教育價值。例如，1855年，法國猶太數學家泰爾康創辦的《數學文獻、歷史與傳記通報》，這一刊物中就有許多教育取向的數學史文章，從這一方面來說，數學史可以為數學教學提供豐富的數學素材。1865年，英國數學家德摩根在倫敦數學會主席的就職演說中指出，“人類數學思想的早期歷史引導我們發現自己的錯誤;從這個方面說，關注數學的歷史是很有益的”[1]。1894年，美國數學史家卡約黎所著《數學史》一書的前言中指出，“如果用歷史回顧和歷史軼事點綴枯燥的問題求解和幾何證明，學生的學習興趣就會大大增加”[1]。1900年前后，美國數學家史密斯所著《初等數學的教學》《近代數學史》《幾何的教學》等書籍介紹了有關算術、幾何為何教、教什么、如何教等問題。從19世紀到20世紀初，不同時期的數學家都在以他們關注到的角度來闡述數學史對于數學教學的重要意義。其中有延續之前學者的思想，對其進行補充說明，也有換一個角度來說明數學史的教育價值。

數學史與數學教學關系國際研究小組（簡稱HPM） 于1972年在第二屆國際數學教育大會成立，標志著數學史與數學教育關系作為一個新的學術領域出現。至此之后，關于數學史教育價值的研究逐漸增多，國內不少學者也開始了這方面的研究。張貴新認為，研究數學史使學習者深入認識了數學的產生和發展、提高了科學的教育水平、獲得探索新領域的思想方法[2];袁小明認為，就數學中歷史材料的教育價值而言，它能為學習者提供相對完整的數學思維，包括思維過程、思維形式、思維特征以及思維的成功與失敗等，其主要體現在三個方面：概念的形成和概念系統的建立、問題求解、思想教育[3];駱祖英認為，就數學史的德育教育價值而言，它有助于愛國主義和國際主義教育、引導人們用辯證唯物主義的眼光看待事物的發展、展示了數學家的奮斗拼搏史給學習者以精神鼓勵[4];汪曉勤從數學興趣與數學觀、原始資料的價值、數學學習情感影響、數學學習的認知過程、對數學的理解與欣賞五大方面概述數學史的教育價值[5];唐志華認為，數學史的教育價值主要表現在三個方面，即振奮民族精神的價值、人文教育的價值、返璞歸真的價值、思想方法教育價值[6];蔡宏圣從教師、學生、教學內容三個方面闡述了數學史的教育意義，即數學史是教師調適數學觀念的重要基礎、數學史是學生把握思維歷程的獨特視角、數學史是厘清數學本質的厚實背景[7];沈南山、黃翔認為數學史具有明理、哲思與求真三重教育價值，分別回答了數學知識從何而來，數學是一門什么樣的科學，數學科學有什么用[8]。

綜觀以上已有研究，數學家與數學學者對數學史的教育價值已認識頗深，且從不同角度闡述了其價值的具體表現，這里通過對上述觀點進行總結，以期更為形象地理解數學史的教育價值。

2 ? 對“數學史教育價值”不同理解的綜合分析

通過分析不難發現，數學史的教育價值主要體現在以下四個方面：數學觀、概念與思維、思想與情感、教師的教與學生的學，其中所涉及內容有指向教師的、學生的，還有同時指向教師和學生的。教師一方面擔任著教育者的角色，另一方面也扮演著學習者的角色，畢竟在浩瀚的數學史的海洋里，沒有哪一位教師敢隨意說自己已了解了迄今為止的全部數學史。

2.1 數學觀

數學作為一門基礎學科，所涉及知識與其應用領域的廣泛是其他學科不能比擬的，對數學有一個正確的認識，了解它的產生與發展，可以幫助教師和學生更深入地認識和理解數學，從而樹立一個正確的數學觀。

數學的產生并不是憑空想象的，是有一定的現實需要。數字，作為數學中較早出現的概念，就有其現實依據。起初人類并無數的概念，由于記事和物品分配需要，數的概念便應運而生。回顧古人計數，早先人們用物品來計數，如石子計數、結繩計數、刻痕計數，后來人們逐漸發明了一些技術符號，并用它來表示數，如古埃及象形數字、瑪雅數字、中國算籌數碼，直到阿拉伯數字的產生，這一過程都與社會發展以及生產需要的推動有關。

數學的發展也不是一蹴而就的，而是循序漸進的，由簡單到復雜，由一個方向發展到多個方向。代數學可以說是人們最先廣泛接受的數學，早先的代數學和幾何學還是相互獨立的兩個數學分支，直到16世紀，笛卡爾創立的解析幾何，將這二者聯系在一起，后來數學發展到了微積分，直到現在，數學的分支包含了數理邏輯、數論、拓撲學、代數學、幾何學、分析學、微分方程、概率論與數理統計等。

2.2 概念與思維

數學概念是構成數學知識體系的基礎，而數學思維又是數學解題的依據，了解數學概念的形成以及前人的數學思維，有助于教師和學生更透徹地理解數學概念并拓寬自身的數學思維。

實際上，任何數學概念都有一個發展的過程，并不是一開始就是完善的，而是在一次次改進的過程中形成如今教材中的概念。函數的定義，由17世紀末提出，到19世紀才形成了如今教材中所表述的定義，這中間也經歷了不短的時間。

函數一詞，最初是由德國數學家萊布尼茨提出，用來表示隨曲線的變化而改變的幾何量，而其學生約翰伯努利強調函數要用公式表示。然而歐拉并不這樣認為，他將函數定義為“如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的函數”。函數是否需要用公式表示，這在當時的數學界算得上一大困惑。隨著微積分的出現，狄利克雷提出，“如果對于的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應，則是的函數” [9]。隨著集合概念的出現，函數概念更為嚴謹，也就是如今高中教材中所表述的函數概念。

可見，函數概念的發展是反復且曲折的。在了解這一歷史的基礎上，引導學生將初中與高中所學函數概念進行對比，一方面幫助學生更清晰地理解了函數的概念，另一方面也解決了學生關于“為什么初高中所學函數概念不同”這一疑惑。

數學史中包含了不少數學定理的來源及其證明，將數學定理放在某一特定歷史背景下不僅能深刻地感受數學的實用性，也可以拓寬學習者自身的思維，掌握更多的數學方法。在托勒密的《大成》一書中就涉及不少有關平面三角學與球面三角學的數學材料，如托勒密定理，“給定一個圓內接四邊形，它的對角線的乘積等于它的兩對邊乘積之和”，這一定理在幾何證明中被廣泛使用，理解并會使用它尤為重要。《大成》這本書中就有這個定理證明的全過程，展示了托勒密解決這一問題的整個思路。

2.3 思想與情感

任何一段歷史，它的價值絕不僅限于擴充學習者的知識儲備，更深層次上影響著學習者的思想與情感，以推動其正確價值觀的形成。數學史也不例外，它的德育教育價值主要體現在以下三個方面：

首先，有助于學習者的愛國主義教育。初高中的數學課本中，學生會了解到不少的數學家，如萊布尼茨、伯努利、歐拉、柯西等，這些多以國外數學家為主，對國內的數學家以及其所取得的成就知之甚少。其實，古代中國的數學相當厲害，如天元術與四元術、圓周率及其求法、勾股定理、中國剩余定理在當時可是極具影響力。

其次，有助于學習者用辯證唯物主義的眼光看待事物的發展。數學是嚴謹的，這一點是毋庸置疑的，但這并不代表數學是不可置疑的。回顧數學史上三次危機：第一次數學危機，畢達哥拉斯提出“萬物皆數”、“一切數均可表成整數或整數之比”，然而希帕索斯發現的 推翻了這一結論，自此無理數誕生。第二次數學危機，由牛頓、萊布尼茨發現的微積分在當時解決了許多數學難題，但卻存在一個弊端，微積分理論建立在無窮小的基礎上，但他們對無窮小的概念介紹的較為模糊。直至柯西用極限的方法定義了無窮小量，這一問題才得以解決。第三次數學危機，康托爾創立了著名的集合論，當時的數學家認為從自然數與康托爾集合論出發可建立整個數學大廈，然而這一美好愿景被英國數學家羅素所提出的羅素悖論所破滅。不難發現，三次數學危機得以解決，在于其后人敢于質疑并極力找出解決方法，從而使相關理論知識更為嚴謹與完善。

最后，有助于學習者數學信仰的培養。快節奏的社會氛圍推動著人們對“速成”的追求，理論與實踐知識教育的不平衡使一部分研究者只會“閉門造車”。當下，數學信仰正是數學學習者、教育者，尤其是研究者所緊缺的。閱讀數學史，了解數學家的人生經歷，感受信仰的力量可以為數學學習者指明方向。

在大部分人堅信“數即萬物”，希帕索斯發現了無理數，并為此葬身大海。三次數學危機告訴人們，真正的做數學，一定要有自己的信仰。在對某一問題質疑且有科學根據時，敢于挑戰“主流”才能真正地推動數學的發展。

2.4 教師的教與學生的學

數學史對教師教學工作的開展也是受益無窮。一方面數學史的相關史料可以作為教師教學的素材，如數學小故事的引入、以古代數學問題導入新課等。另一方面數學史上難以被人們接受的概念，學生也可能會難以接受，這時教師可參考這些數學難題最終如何被解決，又是如何被世人所接受的，以此來解決學生的困惑。同樣地，學生在得知數學家也曾在這些數學問題想不通，心理會得到安慰。

近年來，數學史的教育價值已被廣大的數學教育者關注，作為師范生或在職教師，理解數學史的重要性是一方面，更重要的還要考慮如何將數學史更好地運用于教學實際。

參考文獻：

[1] 汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京.科學出版社，2017.

[2] 張貴新.論數學史的教育價值[J].現代中小學教育，1987（01）：35-39+96.

[3] 袁小明.論數學教育中歷史材料的應用[J].數學教育學報，1992（01）：119-123.

[4] 駱祖英.略論數學史的德育教育價值[J].數學教育學報，1996（02）：10-14.

[5] 汪曉勤，林永偉.古為今用：美國學者眼中數學史的教育價值[J].自然辯證法研究，2004（06）：73-77.

[6] 唐志華.數學史的教育價值及數學史志教育的策略[J].數學教育學報，2007（04）：27-30.

[7] 蔡宏圣.數學史：從象牙塔到小學課堂[J].課程.教材.教法，2009，29（02）：40-44.

[8] 沈南山，黃翔.明理、哲思、求真：數學史教育價值三重性[J].西南大學學報（社會科學版），2010，36（03）：141-145.

[9] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.數學必修1[M].北京.人民教育出版社，2015.

作者簡介：趙婷（1996-），女，漢族，陜西咸陽人，碩士研究生，研究方向：數學學科教學。

楊聞起（1962-），男，漢族，陜西寶雞人，教授，碩士生導師，研究方向：代數學。