基于單應性矩陣的模型迎角單目視頻測量方法

周潤，張征宇，楊振華，黃敘輝

1. 中國空氣動力研究與發展中心 高速空氣動力研究所，綿陽 621000

2. 西南科技大學 信息工程學院，綿陽 621000

在風洞試驗中，迎角測量誤差所引起的阻力系數誤差約占總阻力系數誤差的1/4[1]，為提高測量精準度，國內外進行了廣泛、深入的研究，相繼發展了迎角傳感器[2]、激光測角儀[3]、Optotrak系統[4]、視頻測量[5]等技術。視頻測量技術作為非接觸的光學測量技術，以工業攝影測量、三維數字圖像處理的相關理論和方法為基礎，既不破壞模型外形、又無需在模型內布線，僅在模型表面噴涂標記點，成為了國內外風洞試驗機構的研究熱點。歐洲的ETW[6]、美國NASA的Langley和Ames研究中心[7-9]、中國航空工業空氣動力研究院[10]、中國空氣動力研究與發展中心[11-12]都研制了雙目視頻測量系統，并成功應用于模型迎角測量。

相比于雙目或多目視頻測量系統，單目測量具有結構簡單、標定步驟少的優點，更加便于實施[13-14]；尤其在振動較為顯著的風洞試驗環境中，受觀察窗位置和尺寸限制，雙目或多目測量方法可能還會遇到視場受限和立體匹配困難。然而，使用單目視頻測量方法時，由于方程個數少于未知數個數，需根據測量任務的特點，添加相應的約束條件才能求解[15-17]，其中，文獻[16]使用了比共線方程更為本質的觀察視線與目標軌跡的交會關系；文獻[18]針對風洞模型迎角測量試驗的特點，假定標記點物空間坐標的某個分量已知，且在試驗中保持不變，以此完成共線方程的求解與迎角測量，但并未考慮風洞試驗時的振動影響；文獻[19]分析了相機3個角外方位元素和模型橫向位置，因振動而變化以后，對迎角測量結果的影響，指出軸向、縱向角外方位元素的振動對迎角測量結果影響較大。

為此，本文提出了基于單應性矩陣的模型迎角單目視頻測量方法，通過在試驗段壁板上布置參考標記點，以獲取相機實時位姿，解決相機振動對測量結果影響較大的難題；充分利用模型迎角旋轉面與風洞試驗段壁板平行的特征，以單應性矩陣為橋梁，結合參考標記點所在平面與待測標記點所在平面的空間位置關系，求解待測標記點在物方空間中坐標，再根據坐標旋轉關系，解算模型迎角，該方法簡單、實用。

1 基于單應性矩陣的模型迎角測量方法

在風洞試驗段側壁板上布置至少4個不共線標記點，位置分布如圖1中的叉形標記點所示，靜態測量其在風洞坐標系中的坐標值，記為參考標記點，參考標記點應均勻分布于相機視場范圍內，且在模型迎角運動時避免被遮擋；在模型表面布置至少4個不共線的標記點，位置分布如圖1的圓形標記點所示，記為待測標記點，要求待測標記點到側壁板的距離盡量一致，測量該距離，將其平均值記為d，將待測標記點側、與風洞試驗段側壁板距離為d的平面記為a。

建立坐標系OrXrYrZr，其坐標軸與風洞坐標系X、Y、Z軸方向一致；坐標原點為風洞坐標系Z軸與參考標記點所在平面的交點。建立坐標系OmXmYmZm，其坐標軸分別與風洞坐標系X、Y、Z軸方向一致；坐標原點為風洞坐標系OXYZ的Z軸與平面a的交點。

1.1 單應性矩陣估計

根據攝影測量原理，位于物空間XOY平面上坐標點的齊次坐標[XY0 1]T與其像點齊次坐標[xy1]T間的關系，可以使用共線方程進行描述，即

(1)

式中：s為比例因子；M為相機內參數矩陣；r1、r2、r3為相機外參數中旋轉矩陣R的列分量；t為外參數的平移向量。式(1)在物空間XOY平面與像平面間建立了一個單應性映射[20]，對應矩陣記為H:

H=[h1h2h3]=sM[r1r2t]

(2)

可見H包含了相機的內、外參數信息。將參考標記點的物空間坐標值與其像點坐標值代入式(1)，即可得到單應性矩陣，將其記為Hr。

1.2 相機實時位姿解算

(3)

1.3 待測標記點坐標求解

設模型表面某個給定待測標記點在OrXrYrZr坐標系中的坐標值為[XrYrZr]T、在相機坐標系下的坐標值為[XcYcZc]T，則兩者間有

(4)

由坐標系定義可知，待測標記點在OmXmYmZm、OrXrYrZr兩個坐標系的X、Y坐標相同，Z坐標僅相差常數d，設待測標記點在OmXmYmZm坐標系下的坐標值為[XmYmZm]T，將其代入式(4)后，可得待測標記點在OmXmYmZm坐標系下的坐標值與其在相機坐標系下坐標[XcYcZc]T間的關系為

(5)

由式(2)單應性矩陣的定義可得，OmXmYmZm坐標系中的XOY平面與相機像平面間的單應性矩陣Hm可表示為

(6)

因此，對于風洞模型迎角測量試驗，當已知待測標記點的像點坐標值[xmym]T時，其在OmXmYmZm坐標系的X、Y坐標可通過單應性矩陣Hm計算，即

(7)

1.4 模型迎角計算

(8)

式中：N為待測標記點的數量；tai為模型旋轉αi后引起的平動量；Rai為αi對應的旋轉矩陣。由極值理論，當式(8)取極小值時，對應的αi即為模型迎角值，即

(9)

(10)

2 仿真試驗

仿真試驗分為兩部分，一是研究噪聲對本文方法中相機位姿解算的影響；二是量化分析待測標記點到試驗段壁板距離不完全相等時，對迎角測值的影響。

2.1 位姿解算仿真

仿真試驗通過將參考標記點在虛擬相機下成像，成像過程中，根據需要添加不同水平的零均值高斯噪聲。仿真試驗中，參考標記點為邊長等于0.8 m的正方形的4個頂點，相機外參數隨機產生，但與真實試驗時的量值相當，虛擬相機的分辨率、焦距與風洞試驗時一致；成像過程中添加的噪聲水平為0.1～2像素，仿真結果為1 000次獨立運行試驗的均值。旋轉矩陣、平移向量的解算誤差計算公式來自文獻[14]。

將文中通過單應性矩陣解算相機位姿的方法記為單應性，Lu等的正交迭代方法[21]記為正交迭代，其初值使用弱透視投影模型計算得到；以單應性方法所得結果為初值，繼續使用Lu等的正交迭代解算相機位姿的方法記為單應性+正交迭代。圖2給出了上述3種方法在不同噪聲水平下的旋轉矩陣估計誤差，圖3給出了平移向量的估計誤差，圖4給出了后兩種方法在相同中止條件下的迭代次數比較。

可以看出，在有噪聲的情況下，單應性方法作為一種相機位姿解算的非迭代方法，其旋轉矩陣解算結果明顯不如Lu等的正交迭代方法；但當以單應性方法的解算結果為初值，繼續使用Lu等的正交迭代方法解算旋轉矩陣時，其迭代次數至多為Lu等的正交迭代方法的一半，且所得旋轉矩陣的解算誤差與Lu等的正交迭代方法基本相當。

圖2 不同噪聲水平下的旋轉矩陣誤差

圖3 不同噪聲水平下的平移向量誤差

圖4 不同噪聲水平下的迭代次數

2.2 迎角計算

在進行風洞試驗時，受模型表面外形限制，很難保證全部待測標記點均在與風洞側壁板平行的平面內，為量化分析待測標記點與側壁板距離不一致時對迎角結果的影響，仿真試驗通過對待測標記點的Z坐標值添加均值不等的噪聲，然后在隨機產生的相機位姿下成像，再根據像點坐標值，使用本文方法求解模型迎角值；其中，隨機產生的相機位姿、待測標記點坐標值與風洞試驗時量值相當。

仿真試驗從4個待測標記點中隨機選擇1個或2個標記點，對其Z坐標值添加不同水平的均勻噪聲，然后使用本文方法計算模型迎角值，圖5給出了迎角計算誤差隨噪聲水平的變化趨勢圖，圖例的數字表示添加噪聲的待測標記點數量。可以看出，迎角計算誤差隨噪聲水平的增加而近似線性增加。當僅對其中1個待測標記點添加噪聲時，在-6°～14°的迎角范圍內，30 mm的噪聲水平引起的誤差在0.02°以內。當對2個待測標記點添加噪聲時，迎角計算誤差與噪聲水平近似為線性關系，且基本與當前迎角值無關；在噪聲水平小于10 mm 時，引起的誤差值不超過0.03°。

因此，可以根據測量任務要求，控制待測標記點與風洞壁板間的距離偏差，如果不能控制在一定范圍內，則需對測值進行系統誤差修正。

圖6給出了僅對1個待測標記點添加噪聲時引起的迎角計算誤差，其中，橫坐標為模型迎角真值，圖例為添加的噪聲量值。可以看出，在同一噪聲水平下，誤差與迎角真值近似為線性關系，可根據該特點對迎角測值進行修正。

圖5 不同距離偏差下的迎角誤差

圖6 不同迎角下的誤差

3 風洞試驗驗證

試驗在中國空氣動力研究與發展中心2.4 m跨聲速風洞中進行。模型迎角視頻測量系統使用的相機為DALSA工業相機，分辨率為2 352 Pixel×1 728 Pixel，鏡頭焦距為24 mm，相機安裝于風洞試驗段光學觀察孔外。由于相機與圖像采集計算機之間的距離較遠，相機輸出的圖像信號經轉換后通過光纖傳輸到風洞測控間。

標定時將標定參考物置于風洞試驗段內，把觀察窗作為相機的附加鏡頭，整體標定相機的內參數M及畸變參數。在風洞試驗段壁板上布置了6個參考標記點，試驗模型為某飛機標模，在模型表面共布置了4個待測標記點，待測標記點位置分布如圖7所示；其中，1個待測標記點與平均距離偏差為13 mm，其余3個待測標記點的距離偏差在2 mm以內。

3.1 靜態標定試驗

在進行風洞試驗前，使用精密電子傾斜儀對本文的模型迎角視頻測量系統進行了靜態標定。當迎角機構運動到指定位置后，使用精密電子傾斜儀測量模型迎角，并根據測量結果反復微調迎角機構位置，確保當前的模型迎角值與名義值一致，然后使用文中的模型迎角測量系統采集圖像，計算模型迎角值。

靜態標定的迎角范圍為-6°～14°，每2°標定一次。圖8藍色實線給出了兩者之間的偏差隨模型迎角的變化曲線，可以看出，兩者間的偏差呈現出明顯的線性趨勢項，這與迎角計算仿真試驗中圖5、圖6的結論相吻合。

圖8 靜態標定的誤差分布及修正結果

使用線性擬合的方法，去掉靜態標定誤差中的趨勢項以后，模型迎角測量系統測值與名義值間的偏差如圖8中紅色虛線所示，可以看出，兩者之間的差值在0.01°以內，而精密電子傾斜儀的測量精準度為10″，即0.002 8°，因此，經過修正后，本文方法的測量準度在0.01°以內。

3.2 迎角測量試驗

為了檢驗本文方法在振動環境中的測量精度，使用上述模型迎角測量系統進行了7次重復性風洞試驗，即試驗狀態完全相同，試驗馬赫數為0.75，每次試驗有7個迎角階梯，分別是-4°、-2°、-1°、0°、1°、2°、4°。圖9給出了2次試驗條件完全相同的迎角測值結果，其中紅色和紫色曲線為使用文中振動修正算法后得到的迎角測值，藍色和綠色曲線為忽略相機振動得到的迎角曲線。圖10的藍色曲線表示使用振動修正和忽略振動兩種算法處理第1次試驗數據，得到的迎角測值偏差，紅色曲線表示第2次試驗兩種算法所得結果的偏差。可以看出，使用振動修正算法得到的兩次試驗結果的吻合程度明顯優于忽略振動算法所得結果；兩種算法所得迎角結果的最大偏差值接近0.3°，而忽略振動算法所得結果在部分迎角階梯處的測值出現了較為明顯波動，與模型的實際運動情況不相符。

根據文獻[10]中迎角誤差對阻力系數的影響關系，可得兩種算法導致的偏差，在4°迎角時引起的阻力系數誤差約為0.002，與大型運輸機、客機巡航阻力系數0.000 1的測量精度要求[1]相比，高了一個數量級。

圖9 風洞試驗的迎角測量曲線

表1為7次重復性試驗的迎角測量結果，其中，1～7行每行表示1次試驗測得的7個迎角階梯值，最后兩行為每個迎角階梯值7次重復測量結果的均值和標準差，可以看出，在±4°范圍內，7個迎角階梯中最大的標準差僅為0.011 8°，已接近0.01°的國際先進水平，同時也表明本文的振動修正方法有效，能夠修正風洞運行時因洞體振動而引起的測量誤差，數據重復性好。

圖11給出了使用表1的平均值計算出來的模型支撐系統的迎角彈性角，可以看出，隨著模型迎角的增加，迎角彈性角也近似線性地增加，這與小角度(±4°)范圍內，模型升力與迎角呈線性關系的規律相吻合，也間接表明，風洞試驗測得的模型迎角值準確、可靠。

圖10 迎角測值偏差

表1 重復性試驗迎角測量結果

圖11 彈性角測量結果

4 結 論

本文提出了一種基于單應性矩陣的模型迎角單目視頻測量方法，數值仿真試驗發現，迎角測量誤差與待測標記點到風洞壁板間的距離偏差近似為線性關系；當不能將待測標記點到風洞壁板間的距離偏差控制在一定范圍時，可根據這一特點進行系統誤差修正。

靜態標定和7次重復的風洞迎角測量試驗結果表明，使用線性方法修正系統誤差后，迎角實測數據的測量準度在0.01°以內，測量誤差精度不超過0.012°，同時也表明本文方法便于實施，具有工程實用價值。