無導引頭也無慣導導彈的協同制導

2019-10-31 07:13:30趙建博楊樹興熊芬芬

航空學報 2019年10期

趙建博，楊樹興，熊芬芬

1. 北京理工大學宇航學院，北京 100081

2. 西安現代控制技術研究所，西安 710065

尋的制導系統由于可實現導彈的“發射后不管”，故作為末制導領域的研究熱點得到了廣泛關注[1]。近年來，基于尋的制導系統的制導律研究中有很大一部分是為了實現導彈碰撞角約束，例如：采用有限時間收斂原理[2-8]以及動態逆控制[9]等。導引頭作為尋的制導系統的重要組成部分往往造價昂貴。因此，有必要對無導引頭導彈的制導問題進行研究以降低制導系統的成本。

無導引頭導彈的制導研究尚處于起步階段，而現有研究成果主要可分為兩類：① 采用外部制導方案，即地面站實時控制導彈的飛行彈道從而實現命中[10-11]。然而，這種制導方式由于需要地面站協助，故無法實現導彈的“發射后不管”，并且容易暴露地面站的位置；② 采用協同制導方案，即由帶有導引頭的導彈作為領彈，從而帶領其余無導引頭導彈對目標進行攻擊[12-14]。這種制導方式還可解決多枚導彈分別裝備有不同種類導引頭，而其中一些因受到干擾而失效的情況。上述協同制導方法均依賴于導彈之間的實時通信及導彈的絕對位置可精確測得。然而，導彈一般采用組合導航技術進行定位，必然會存在位置估計誤差。針對此問題，作者團隊[15-16]設計了無導引頭導彈在考慮定位誤差的情況下仍可精確命中目標的協同制導律。然而，由于導彈之間仍需要實時通信，故無法實現無線電靜默攻擊，且通信內容很有可能被敵方截獲與干擾，降低了導彈的威脅性。因此，針對靜止點目標，作者團隊[17]利用無導引頭導彈對有導引頭導彈的測量信息，提出了一種不需要導彈間實時通信以及精確定位的分段式協同制導策略，并通過設計協同制導律實現了上述策略。然而，所設計的協同制導律仍需要慣性導航元件(慣導)提供測量信息，而裝備較高精度的慣導也極大增加了導彈的成本。

為了解決上述問題，本文基于集中式“領彈-從彈”協同制導架構，提出可為無導引頭也無慣導的導彈(從彈)安裝兩個相對廉價的捷聯探測器(無線電探測器除外)，分別對安裝在一枚有導引頭導彈(領彈)彈身上的兩個靶點進行探測。由于上述探測器的探測目標是彈群中的導彈，故相比于導引頭更加廉價[17]。此外，探測器采用捷聯的方式減小了其體積與重量，更利于工程應用。對于從彈對領彈有依賴性的問題，為了提高領彈的生存能力，可在工程應用時為領彈安排額外的導彈進行保護，而參與保護的導彈可采用現有制導方法[18]。

通過兩個探測器的測量，從彈僅可獲得兩組探測器相對于靶點的視線距離以及此視線相對從彈彈體縱軸的夾角。然而，由于從彈不具有慣導，故無法獲得其姿態角信息，即意味著由捷聯探測器測得的相對于從彈彈體系的視線角信息無法被轉化為相對于慣性系的視線角，故現有的絕大多數制導律(例如：比例導引)均無法應用于無導引頭也無慣導的從彈。

因此，在集中式“領彈-從彈”的協同制導架構下，本文進一步為無導引頭也無慣導的從彈設計了相應的協同制導律，以實現其在不依賴導彈間實時通信與導彈絕對位置信息情況下的“發射后不管”。針對靜止點或面目標，分別采用一般的負反饋控制方法、有限時間收斂原理以及動態逆控制為從彈設計了3種末制導律，均可實現在領彈命中目標時從彈速度方向指向其攻擊目標。在此之后，從彈只需要進行直線飛行(即理想條件下的無控飛行)即可實現對其攻擊目標的精確命中。

本文研究內容安排如下：第1節給出了將探測器的測量量作為狀態變量建立的從彈相對運動學方程；第2節分別針對靜止點與面目標設計了2種與1種協同制導方法；第3節通過仿真對所設計的協同制導方法進行研究分析；第4節進行了總結。

1 從彈運動方程組建立

考慮在集中式“領彈-從彈”協同制導架構下，在平面內有n枚裝備有雙捷聯探測器的無導引頭也無慣導的導彈Mi(i=1,2,…,n)作為從彈，在一枚有導引頭且彈身安裝有兩個靶點的導彈Ml的帶領下，對靜止目標T進行攻擊。為了簡化相應算法的設計過程，基于理想情況提出以下假設：① 導彈的速度大小恒定；② 不考慮飛行中的重力影響與外在干擾；③ 導彈的攻角或側滑角足夠小。假設①與②在制導律設計中經常被采納[19]，而假設③也常出現在考慮導引頭視場角約束的制導律設計中[20-22]。由于導彈速度大小恒定，故合理假設從彈可預先得到領彈以及其自身的速度大小。

由于導彈升力可由攻角與舵偏角近似線性表示，故基于假設②與③可知在鉛垂面內導彈法向加速度可僅由舵偏角線性表示。因此，雖然從彈不存在慣導，但仍能通過調節舵偏角實現特定的法向加速度指令。由于從彈不具有導引頭與慣導，故只能測得兩組探測器相對于領彈彈身上特定靶點的視線距離(rC與rD)以及此視線相對于從彈彈體縱軸的夾角。由于rC與rD數值往往較小，故探測器的測量誤差對于從彈脫靶量的影響較小。基于假設③可知，上述由捷聯探測器測得的角度等價于從彈速度方向相對于探測器視線的前置角ηC與ηD。因此，本文的研究目是為從彈設計制導律使其可基于探測器的上述測量值實現對目標的精確打擊。

假設在中制導段結束時可實現領彈與從彈的相對位置滿足探測器的測量要求，如圖1所示。其中，探測器與靶點均沿導彈縱軸方向安裝；下標i與l分別表示從彈i與領彈；C/D與A/B分別代表從彈彈體上的兩個探測器與領彈彈體上對應靶點位置；?與d分別表示彈體姿態角與兩探測器(或靶點)間距。

圖1 領彈與從彈的相對位置

定理1從彈通過探測器的測量值可得到其與領彈的姿態角之差，即?l-?i。

證明：基于圖1可知，dl與di在安裝探測器與靶點時已知，而兩點間距|AC|,|BD|與角度∠ACD(即rC,rD與ηC)，從彈可通過探測器測量得到。因此，對于三角形△ACD，|AD|可由余弦定理得到

(1)

對于△ACD與△ABD，∠CAD與∠BAD可分別采用正弦與余弦定理得到

(2)

(3)

由于領彈與從彈的姿態角之差為

?i-?l=∠ACD-(π-∠BAD-∠CAD)

(4)

故將式(1)～式(3)代入式(4)，可得

?l-?i=π-

(5)

由于式(5)中的dl、di、rC、rD與ηC均可測得，故可證明領彈與從彈的姿態角之差可通過探測器的測量值求解得到，即定理1得證。

為了便于協同制導律的設計，假設點A與C分別表示領彈與從彈的質心，故可得到領彈與從彈的質點運動狀態如圖2所示。其中，帶有下標li的狀態量表示從彈相對于領彈的運動狀態，而rli與ηli等價于rC與ηC。

圖2 領彈、從彈與目標的質點運動模型

在圖2中，v、a、θ與q分別表示速度、法向過載、彈道角與視線角。

(6)

ηli=θi-qli

(7)

由此，可建立從彈相對于領彈的運動學方程為

(8)

(9)

領彈與從彈的彈道角之差(Δθ)可表示為

(10)

而基于假設③可知，Δθ等于由定理1得到的領彈與從彈的姿態角之差，即

Δθ=?l-?i

(11)

將式(7)與式(10)代入式(8)與式(9)中,可得

(12)

(13)

由式(7)可知

(14)

故將式(6)與式(13)代入式(14)中,可得

(15)

綜上，可得到推導從彈制導律所需的質點運動學方程(式(12)與式(15))，而方程中的全部變量均可由從彈測量得到。

2 從彈的末制導律設計

2.1 針對點目標的協同制導律

裝備有導引頭的領彈可通過一般制導律實現對目標的精確打擊，而在領彈命中目標后，從彈的探測器將失去作用，故在設計從彈的制導律時需要根據領彈是否已命中目標分成兩段考慮[17]。顯然，若在領彈命中目標時，從彈相對于領彈的前置角ηli為0，則從彈之后只要作直線運動即可保證命中目標。因此，為保證從彈的前置角在領彈命中目標前趨于0，可設計其制導律為

ai=-vi(k1ηli+k2Δθ)

(16)

式中：k1與k2均為正常數。

顯然，ηli在領彈命中目標前的收斂精度決定從彈的脫靶量。對于式(16)設計的制導方法，雖然通過選擇較大的制導參數可提高ηli的收斂精度，但勢必會增大從彈的最大所需過載。由于采用有限時間收斂可提高收斂精度[19]，故本文進一步設計了一種可實現ηli在有限時間內收斂的制導方法，即

(17)

式中：k3為正常數；指數μ滿足:μ∈(0,1)；sign(·)為符號函數。

定理2基于式(17)設計的制導方法可實現ηli在有限時間內收斂。

證明：將式(17)代入式(15)中可得

(18)

定義連續的正定函數Z為

(19)

對式(19)求導可得

(20)

將式(18)代入式(20)中,可得

(21)

考慮到

(22)

因此

(23)

將式(19)代入式(23)中,可得

(24)

由于μ∈(0,1)，故(μ+1)/2∈(0,1)。因此，基于引理1可知ηli將在有限時間內收斂于0。

評論1若領彈采用比例導引，可得到其攻擊時間為[24]

(25)

式中：Nl為導航比；在本文中下標0均表示末制導的初始時刻。因此，對于有限時間制導律，為了保證ηli在領彈命中目標前趨于0，基于引理1可知制導系數需滿足：

(26)

由于對于機動目標的末制導往往會變成尾追模式，故領彈與從彈的彈道角之差(Δθ)可認為將近似收斂于0且足夠小。因此，若在領彈命中目標前滿足vi

rli0≥tlf(vi-vl)

(27)

此外，考慮到探測器的“鎖定”距離有限，rli0的上限可表示為

(28)

式中：ld為探測器的“鎖定”距離。此外，由于探測器的測量角度ηli將收斂于0，故只要初始時刻的ηli0滿足對探測器的測量角度約束即可。

2.2 針對面目標的協同制導律

對于靜止面目標，要求導彈集群對目標進行散布攻擊，即在面目標上領彈(Tl)與從彈(Ti)的目標點存在一定間距(dT)，如圖3所示。領彈采用文獻[25]設計的圓弧-直線制導律，可很快實現彈道角為固定值θlf的直線運動：

圖3 領彈、從彈與目標的相對運動

(29)

式中：

(30)

式中:Δ1=sin(θl0-θlf)sin(ql0-θlf)；Δ2=cos(ql0-θlf)-cos(θl0-ql0)。

在圖3中，過從彈目標點Ti并以傾斜角θlf為從彈設計虛擬線目標。若從彈的位置與速度方向在領彈命中目標前均收斂于虛擬線目標，則在此之后從彈只要作直線運動即可命中Ti。為了實現從彈的位置與速度方向均收斂于虛擬線目標，可設計從彈的制導律使得位置(er)與彈道角(eθ)誤差均收斂。其中，位置與彈道角誤差由圖3所示的幾何關系可被分別定義為

(31)

eθ=Δθ

(32)

將式(7)與式(10)代入式(31)中，可得

er=rlisin(Δθ+ηli)+dTsinθlf

(33)

分別對式(32)與式(33)求導，可得

(34)

(35)

由于對于機動領彈，從彈往往采用尾追的方式進行跟蹤，故可假設ηli足夠小。此外，由于Δθ可被認為足夠小，故對式(35)線性化后可得

(36)

將式(32)代入式(36)中可得

(37)

為了保證er收斂，不妨假設：

(38)

式中：kr為正常數。

接著，將式(38)代入式(37)中可得到為保證er收斂所需的eθ，即

(39)

對式(39)求導后可得

(40)

ξ=visinηli-vlsin(Δθ+ηli)

(41)

ζ=vicosηli-vlcos(Δθ+ηli)

(42)

將式(41)與式(42)分別代入式(15)與式(12)中，可得

(43)

(44)

對式(12)與式(15)分別求導后可得

(45)

(46)

將式(45)與式(46)進行變換后可得

(47)

(48)

將式(6)、式(41)與式(43)代入式(47)，經過化簡可得

(49)

將式(6),式(41)～式(43)代入式(48)后經過化簡可得

(50)

基于式(6)與式(43)可得

(51)

將式(38)、式(43)、式(44)與式(49)～式(51)代入式(40)，經過化簡可得

(52)

將式(44)與式(51)代入式(39)中，可得

(53)

(54)

式中：kθ為正整數。將式(32)、式(34)、式(52)與式(53)代入式(54)中可得到從彈的法向加速度指令為

ai=

(55)

將式(12)與式(15)代入式(39)中,可得

(56)

將式(56)線性化后可得

(57)

基于Δθ與ηli的小角度假設，式(57)可被化簡為

(58)

3 仿真與分析

在仿真中，一枚無導引頭也無慣導的從彈在一枚有導引頭領彈的帶領下對目標進行打擊，其中領彈采用比例導引。考慮到導彈的毀傷范圍、機動能力，以及探測器的“鎖定”距離有限，仿真時要求導彈脫靶量小于1 m，法向加速度指令小于100 m/s2，以及領彈與從彈的相對距離小于1 500 m。

首先，假設靜止點目標位于(4 000 m，2 000 m)處，領彈與從彈的初始運動狀態如表1所示。其中，從彈1與從彈2表示具有相同的初始運動狀態，且分別采用式(16)與式(17)的制導方法的兩枚從彈。通過引入飽和函數使得兩枚從彈的法向加速度指令滿足約束。仿真結果如圖4所示。

圖4(a)為導彈的彈道。由此可知，領彈與兩枚從彈均可命中目標。領彈與從彈的相對距離(在領彈命中目標后表示彈目距離)如圖4(b)所示，其中從彈1與2的脫靶量分別為0.76 m與0.10 m，均滿足對導彈脫靶量的要求。此外，由此圖可知，領彈與從彈的相對距離也均滿足要求，且領彈與從彈在領彈命中目標前均不會發生碰撞。圖4(c)為兩枚從彈的前置角，表明這兩個角度在領彈命中目標前均可收斂于0，由此驗證了所設計的2種協同制導律的有效性。圖4(d)為兩枚從彈的法向加速度指令，表明兩者的最大值在飽和函數的作用下均可滿足要求，但從彈2的最大法向加速度只有從彈1的一半左右。這是因為對于式(16)設計的制導方法，為了提高從彈前置角在領彈命中目標前的收斂精度以滿足脫靶量約束，需要選取更大的制導參數，但這顯然會增大最大法向加速度指令。通過上述對兩枚從彈的仿真結果對比可知，式(17)設計的制導方法相比于式(16)的可同時實現更小的脫靶量以及最大法向加速度，但過載表達式較復雜，即意味著對彈載計算機的計算性能提出了更高的要求。

對于靜止面目標，導彈的初始運動狀態如表2所示。在仿真中，選擇領彈與從彈的目標位置分別為(4 000 m,0 m)與(4 100 m,0 m)，即兩目標的間距dT=100 m，且領彈在直線運動階段的彈道角θlf=-26°，則仿真結果如圖5所示。

表1 針對點目標導彈的初始運動狀態

圖4 針對點目標的仿真結果

表2 針對面目標導彈的初始運動狀態

圖5(a)為導彈的彈道。由此可知，領彈與從彈均可命中各自的目標點。圖5(b)為從彈的彈道角。結合圖5(a)與圖5(b)可知，從彈的位置與速度方向均可在領彈命中目標前近似收斂于虛擬線目標。圖5(c)為導彈與目標的距離隨時間變化的曲線。由此可知，領彈與從彈的脫靶量分別為0.58 m與0.60 m，均滿足對導彈脫靶量的要求。圖5(d)與圖5(e)分別為領彈與從彈在領彈命中目標前的相對距離以及兩枚導彈在制導全過程的法向加速度指令，從而驗證了兩枚導彈的相對距離以及最大法向加速度均滿足要求。由上述仿真結果可知，無導引頭也無慣導的從彈可在有導引頭領彈的帶領下實現對靜止面目標的精確打擊。