圓弧預測變系數顯式攔截中制導

周聰，閆曉東,2,*，唐碩,2

1. 西北工業大學 航天學院，西安 710068

2. 陜西省空天飛行器設計重點實驗室，西安 710068

近年來，隨著高超聲速關鍵技術的逐漸成熟，世界各國加速推進高超聲速武器實戰化發展，高超聲速武器正逐步從潛在技術轉變為現實威脅[1]。其高速機動飛行特性所帶來的強大突防能力必將對現有攔截系統造成極大挑戰，研究可有效攔截此類目標的先進制導方法迫在眉睫。在傳統目標攔截過程中，末制導被認為是整個攔截制導的關鍵，中制導只需負責將攔截彈引導到導引頭開機距離內，滿足脫靶量等少量約束即可。由于一般目標軌跡可精確預測，或是飛行速度低、機動能力弱，基于簡單預測方法以及比例制導類方法[2-4]可以較為容易的滿足大氣層內中制導任務要求。但以高超滑翔飛行器為代表的新型臨近空間目標，其高機動能力不僅對攔截彈的中制導提出了更高的要求，也使得攔截中制導的作用和重要性大大增加[5]。考慮到其高速、高機動、彈道難以預測的飛行特性，攔截此類目標中制導設計時需要考慮的因素有：① 目標預測，高速目標攔截中制導嚴重依賴對目標軌跡的精確預測，而目標靈活多變的機動飛行導致對目標軌跡的精確預測十分困難[5]；② 終端交會角約束，目標具有較高的速度(通常高于攔截彈速度)，在這樣情況下減小交會角有利于末段攔截，因此需要對終端交會角進行約束[6]；③ 可用氣動過載約束，攔截彈所采用的固體火箭發動機一般工作時間較短，在中制導的大部分時間都是依靠氣動力控制，然而，在攔截過程中隨著高度的增加可用氣動過載快速衰減，其結果將是在低空可用過載富余而在高空可用過載不足[7]，此種情況要求中制導方法能夠合理分配全程過載，有效利用低空的過載能力同時避免高空過載超出限制，即滿足可用氣動過載約束。此外，為了提高末制導段攔截能力，還希望中制導過程能夠盡量減少能量損失，提高終端速度[8]。

目前，專門針對臨近空間目標，完全考慮以上攔截要求的中制導研究較少，但對其中一些具體問題已有所研究。此類目標的大氣層內攔截中制導本質上是一個預測和多約束問題。約束主要包括終端脫靶量、終端交會角以及作為控制量的可用過載約束。目前，對終端角約束制導方法研究較多，如比例制導[9-10]、滑模[11-12]、最優制導[13-15]均可以很好地實現，但可用過載約束的加入將使問題復雜性大大增加。實際攔截過程中，由于飛行高度和速度的快速變化，可用過載約束值是時變的，而可用過載約束的施加又會影響后續可用過載的約束范圍[16]，這種控制約束與控制量之間的相互耦合使問題更為棘手。對于包含較多約束的復雜制導問題，最優控制理論是更為有效的工具。文獻[17]最早應用最優控制方法研究了氣動可用過載約束下制導問題，通過在性能指標中加入與動壓相關罰函數實現對可用過載的約束，但需要預先得到自身速度變化剖面以及目標加速度信息；文獻[18]研究了平面內終端角約束和終端指令加速度約束下的最優制導問題，解決了施加角約束后末端指令加速度過大問題；文獻[16]基于線性化模型，研究了平面內終端角約束和可用氣動過載約束下攔截問題，但在實施時需要采用數值積分方法多次迭代和預測未來狀態。文獻[19]應用模型預測靜態規劃方法研究了彈道類目標攔截問題，通過將控制約束轉化為凸二次規劃問題應用內點法求解實現了可用過載約束。不難看出現有方法在處理這類同時含有角約束和可用過載約束制導問題時，一般要結合數值方法，實施復雜，而且多在二維平面內。

顯式制導是一種基于當前飛行狀態，實時解算出對所要求終端條件的偏差，并以此來生成制導指令的方法，通過應用最優控制理論，可獲得某種性能指標下修正終端偏差最優制導律，這種方法最早應用于火箭上升段制導[20]以及著陸制導問題[21]。文獻[22]通過在控制量性能指標中加入剩余飛行時間的倒數項，提出了通用顯式制導方法，在實現角約束同時避免了終端指令加速度過大問題。雖然沒有考慮可用過載約束，但文中結果表明通過構建不同的性能指標可以實現多樣的軌跡形式和制導加速度變化規律，顯示出了具備控制過載分配能力以及實現可用過載約束潛力。此外，現有的中制導方法[8, 23-24]多假定預測攔截點固定或已知，但在實際中，預測攔截點是很難精確獲得的，且對制導性能影響很大。傳統目標攔截時一般采用目標勻速直線飛行的假設[2, 4]估計攔截點，其實質為將目標軌跡假定為直線，以當前速度沿直線遞推，顯然不適用于機動目標。機動目標的軌跡跟蹤和預測方法[25-28]雖然已經有所研究，但由于計算量大、時間長，很難應用于中制導方法。對于制導方法來說，隨著剩余飛行時間減少，預估攔截點將逐步收斂到實際攔截點，因此單一時刻預測精度并不是唯一且必須達到的要求，預測方法的穩定性和快速性是同為重要的指標。

考慮到以上問題和需求，本文首先針對臨近空間目標滑翔段飛行特性，提出了基于圓弧的幾何目標預測方法，其將目標機動軌跡近似為圓弧，依據圓弧遞推攔截點狀態，應用此方法，基于目標的位置和速度信息即可對機動目標狀態進行快速預測。然后基于顯式制導原理，通過在性能指標中構建動壓權重函數，以飛行動壓近似可用過載變化，設計了變系數顯式制導律。相比通用顯式制導[22]，本文提出的方法滿足可用過載約束的同時還可有效提升攔截速度。最后，結合圓弧預測和變系數顯式制導，推導了機動目標攔截中制導方法，仿真結果表明了本文方法的有效性。

1 問題描述與分析

1.1 攔截彈模型

由于一般攔截彈固體發動機的工作時間很短，因此假定在進入中制導階段時攔截彈發動機已經關機，在地面發射坐標系下建立三維攔截彈質點動力學方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：VM為速度；γM為彈道傾角；ψM為速度航向角；m為攔截彈質量；g為重力加速度；xM、yM、zM為攔截彈在地面發射系下位置；Fx、Fy和Fz分別為攔截彈的阻力、升力和側向力，其定義為

Fx=qSCx(Ma,α,β)

(7)

Fy=qSCy(Ma,α)

(8)

Fz=qSCz(Ma,β)

(9)

其中：q為動壓；S為參考面積；Ma為馬赫數；Cx、Cy、Cz分別表示導彈的阻力、升力和側向力系數；α、β為導彈的攻角和側滑角，在制導過程中，導彈的縱向和側向制導加速度是由升力和側向力提供的，即

Fy=may

(10)

Fz=maz

(11)

同時其可提供的制導加速度大小受最大攻角和側滑角限制：

(12)

式中：Cymax、Czmax表示最大攻角和最大側滑角下的升力和側向力系數，其與馬赫數有關，需要注意的是約束式是時變且與飛行狀態相關的。

1.2 攔截中制導問題

中制導要求為末制導提供良好的初始條件，滿足中末制導交班要求。對于高速機動目標攔截，其終端約束為脫靶量和交會角。定義交會角為攔截彈速度矢量與目標速度矢量夾角的補角[6]，對于三維攔截，可以將其分解到縱向和側向平面：

φy=π-(γM-γT)

(13)

φz=π-(ψM-ψT)

(14)

式中：γM、ψM分別為攔截彈的彈道傾角和速度航向角；γT、ψT為目標的彈道傾角和速度航向角。對于小速度比攔截，愈小的交會角愈有利于末制導攔截[6]，因此，需要對終端交會角進行約束：

(15)

同時脫靶量約束為

(16)

因此，本文的攔截中制導設計要求為:給出合理的控制序列a=[ay,az]，使其滿足控制約束式(12)以及終端約束式(15)和式(16)，同時盡可能地增大終端速度。

2 基于空間圓弧的軌跡預測

高超聲速滑翔飛行器一般在縱向保持準平衡滑翔狀態，而在側向通過調整傾側角，控制升力方向的方式進行機動和制導飛行。盡管這類飛行器機動模式多樣[29-30]，但在滑翔段機動飛行中，為了維持準平衡滑翔條件以及滿足制導控制系統的限制，攻角、傾側角的調整并不頻繁[25, 31]，可以在某一較短的攔截時間內認為是常值。此時，滑翔飛行器彈道傾角較小，在速度法向只存在重力和氣動升力，在兩者合力作用下飛行器的實際軌跡為一近似的空間圓弧，其圓弧半徑為

(17)

式中：L和G分別為目標的升力和重力；σ為其傾側角；mT為目標質量。因此，在對高速滑翔類目標進行軌跡預測時，采用基準圓弧軌跡方式比一般按當前速度直線遞推[4]的方法在理論上更適用。

2.1 空間圓弧方程

空間圓弧方程可以采用直角坐標也可以采用極坐標的方式，本文采用直角坐標的方式。對于空間圓弧，可以認為是一球面與通過此球面的平面相交產生，球面方程可以由球心坐標(x0,y0,z0)和球面半徑(R0) 4個參數定義：

(18)

空間平面方程為

Ax+By+Cz+D=0

(19)

式中：(A,B,C)為其平面的法向量坐標，由于D可以通過將球面方程中的球心坐標代入求得，因此其實質的參數只有3個，所以空間圓弧方程為

(20)

由式(20)可知，空間圓弧總共需要以下7個特征參數:(x0,y0,z0,R0,A,B,C),才能唯一確定。

2.2 圓弧軌跡確定方法

對于空間圓弧來說，通過3個軌跡點可以確定其參數，如圖1所示假設在進行中制導軌跡預測時，以當前時刻(tk)按間隔時間Δt分別向后遞推取3個軌跡點：P(tk)、P(tk-1)、P(tk-2)，其在地面系下的位置坐標為

(21)

圖1 圓弧軌跡預測

首先通過軌跡點P1、P2、P3坐標可得到圓弧所在平面方程為

(22)

其對應于空間平面方程(19)的系數為

(23)

同時由空間球面方程(18)可得

(24)

(25)

(26)

聯立以上3個方程，可消去R0，得到關于圓心坐標的方程為

A2x+B2y+C2z+D2=0

(27)

A3x+B3y+C3z+D3=0

(28)

式中：

聯立式(19)、式(27)和式(28)獲得關于圓心坐標的線性代數方程組為

(29)

求解式(29)得圓心坐標為

(30)

圓弧半徑為

(31)

至此，可獲得確定圓弧軌跡的7個特征參數。

2.3 預測攔截點狀態估計

一般臨近空間目標在滑翔段速度衰減較慢，在預測攔截點估計時可假定目標保持當前速度VT飛行，則如圖1所示經過剩余飛行時間T后目標軌跡轉過的圓心角為

(32)

圓弧平面單位法向量為

(33)

預測點的坐標XT′可以通過將目標當前位置XT沿圓心O，以空間向量n旋轉?角度得到(如圖1所示)

XT′=XT+R(n,?)(XT-XO)

(34)

式中：R(n,?)表示沿任意空間方向向量n、旋轉?角度的轉換矩陣，定義為

(35)

式中：nx、ny、nz為空間法向量n的分量，由此可計算得到給定剩余飛行時間T下的預測攔截點位置。

為了對終端交會角約束，需要預測目標在攔截點處的彈道傾角和速度航向角，基于圓弧軌跡的假設，可以方便地進行估算：

首先如圖1所示，在預測攔截點T′處的目標速度方向向量可表示為

VT′=OT′×n

(36)

因此，速度方向向量分量為

VT′=[VT′x,VT′y,VT′z]T

(37)

則目標終端的彈道傾角和速度航向角為

(38)

(39)

3 變系數顯式制導

本節首先在勻速假設下推導了三維終端角約束顯式制導律，然后在性能指標中構建動壓權重函數，設計了制導增益自適應更新的顯式制導方法，實現了可用過載約束。

3.1 三維角約束顯式制導

攔截彈在慣性系中的運動可描述為

(40)

式中：yM為攔截彈在慣性系中的位移矢量；aM為對應的制導加速度矢量，制導律需要滿足終端狀態約束：

(41)

即同時滿足終端位置和速度約束，定義新的狀態量和控制量為

(42)

(43)

u=aM

(44)

對式(42)和式(43)分別求導可得

(45)

(46)

所以構成線性動態系統：

(47)

式中：

(48)

為了實現式(41)所示的終端約束，需令

X1(tf)=X2(tf)=0

(49)

考慮二次型性能指標：

(50)

式中：n可取大于等于0的任意整數，如式(50)的性能指標可保證當剩余飛行時間T趨近于0時制導加速度愈小，且隨著n的增大而使這種效果更明顯。一般的，n=0 僅表示控制消耗最省的性能指標。

對于如式(47)、式(49)、式(50)定義線性最優控制問題，可以應用最優控制理論得到確定解析解[22]，從文章完備性考慮給出簡要推導過程。

定義哈密頓函數

H=L+λ(AX+bu)

(51)

式中：λ=[λ1,λ2]為協態向量，由最優性條件：

(52)

同時

(53)

所以原問題的最優解為

u*=-λbTn

(54)

為了求解協態向量λ，定義基礎求解矩陣M，其滿足：

(55)

對照式(52)和式(55)，作為通解形式協態向量應滿足：

λ=cM

(56)

式中：c為常向量。采用如下方法求解M矩陣，令

(57)

當T=0時有X=0，對式(57)積分，可得

(58)

(59)

MX=QcT

(60)

cT=Q-1MX

(61)

將式(61)和式(56)代入式(54)整理可得最優解為

u*=-(Mb)TQ-1MXTn

(62)

基于以上推導求解原問題，將式(48)代入式(58)，此時M=I，可得

(63)

所以

(64)

根據式(62)原問題以式(50)為性能指標的最優制導指令為

u*=-(Mb)TQ-1MXTn=

(65)

將式(42)～式(44)代入式(65)，整理可得

(66)

式中：

K1=(n+2)(n+3),K2=(n+2)(n+1)

(67)

假定攔截彈采用常值速度飛行，則有

(68)

(69)

(70)

(71)

采用近似R=VT：

(72)

對于采用氣動力控制的攔截彈，加速度制導指令只能施加在速度法方向，因此將式(72)分解到彈道系的OYv,OZv方向：

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

以上推導沒有考慮重力影響，為了提高制導精度，實際實施時可在縱向制導指令式(79)中加入重力補償項，有

gcosγ

(81)

式(80)和式(81)的制導指令中包含縱側向耦合項，一般中制導過程中實際速度方向偏離視線以及要求的終端角方向并不顯著，此時可假定qε-γ≈0，qβ-ψ≈0及γf-γ≈0,ψf-ψ≈0，同時臨近空間目標在滑翔段具有較小的彈道傾角，可取qε≈γf≈0，此時，制導指令式(80)和式(81)可簡化為

(82)

在中制導攔截飛行中，攔截彈控制系統通過跟蹤該制導指令實現對目標的攔截。

3.2 制導增益自適應更新設計

為了實現可用過載約束，在式(50)所示性能指標中加入權重函數g(T)：

(83)

式中:權重函數設置為可提供的最大加速度，即根據可提供控制能力進行控制量的分配，進而實現間接的控制約束：

g(T)=umax

(84)

類似的，采用如式(51)～式(62)推導過程可得到對應最優制導指令：

u*=-(Mb)TQ-1MXg(T)

(85)

式中：

(86)

氣動力所能提供的最大可用加速度為

umax=qSCmax

(87)

式中：Cmax為最大攻角下的升力系數或最大側滑角下的側向力系數，由于在高馬赫數下變化不顯著，因此可近似為常值。

對于權重函數(84)，可寫為與終端量的相對比值形式，消去參考面積和常值氣動系數項，此時

(88)

式中：q(T)為當前時刻動壓；qf為飛行終端時刻動壓。由于是顯式制導，在實施過程中需要預先得到攔截全程性能指標權重g(T)即飛行動壓相對變化，采用如下方法對其進行近似預測。

首先應用指數形式的大氣密度擬合公式：

ρ=ρ0e-h/hs

(89)

式中：ρ0為基準大氣密度；hs為擬合常數；h為飛行高度；將式(89)代入式(88)，即

(90)

式中：h(T)和hf分別為當前和終端高度；V(T)和Vf為當前和終端速度。可以看到動壓權重式(90)與速度的平方項和高度的指數項有關，考慮到高度變化對其的影響要比速度變化顯著的多，且攔截彈速度變化局限在前期較短時間內，在這里應用等速假設消去速度項，則

(91)

由于在中制導過程中實際軌跡偏離視線并不顯著，且制導律式(82)的收斂特性可保證飛行軌跡逐漸收斂到視線方向，此時高度變化可近似為

hf-h(T)=VTsinqs

(92)

式中：V、qs、T分別為當前時刻下的速度、視線高低角和剩余飛行時間。將式(92)代入式(91)，同時令

(93)

此時，權重函數可寫為

g(T)=ecT

(94)

將式(94)代入式(86)積分可得

(95)

將式(94)和式(95)代入式(85)，即可得到變系數顯式制導律，其與式(82)形式一致，只改變了制導增益：

(96)

可以看到制導增益K1、K2是隨剩余飛行時間T和參數c變化的，因此需要估算剩余飛行時間(估算方法第4節給出)，并按式(93)計算參數c，最后應用式(96)即可得到當前制導周期內更新的制導增益。

4 圓弧預測變系數顯式攔截中制導

本節結合圓弧預測和變系數顯式制導，通過圓弧預測方法估計攔截點目標狀態，應用變系數顯式制導方法實施對臨近空間機動目標的攔截。

4.1 攔截點目標狀態與剩余飛行時間估計

攔截中制導實施過程中的幾何關系如圖2所示，M、P分別為導彈和目標位置；T′為預測攔截點位置；MT′為導彈位置相對預測攔截點T′的視線；qb和qs為導彈對應預測攔截點的視線方位角和高低角，通過預測攔截點和導彈位置可以計算得到。

圖2 攔截中制導實施過程中幾何關系示意圖

由前所述，臨近空間目標飛行軌跡可近似為一段空間圓弧，此時基于2.2節圓弧確定方法，根據若干間隔時刻目標點位置可確定對應圓弧特征參數。然后在剩余飛行時間T時的預測攔截點位置可由式(34)計算得到：

(97)

假定攔截彈以速度VM沿直線飛行，則有

|MT′|=VMT

(98)

式中：|MT′|為攔截彈當前位置到預測攔截點T′ 距離，有

|MT′|=

(99)

將預測攔截點位置式(97)代入式(99)同時聯立式(98)即可得到關于剩余飛行時間的方程，此方程為超越方程，可采用數值方法求解。

求得剩余飛行時間后，應用式(32)～式(38)即可估計攔截點位置以及目標的速度傾角和速度航向角。以上在進行攔截點目標狀態估計時，需要的測量信息為目標當前時刻位置，當前時刻速度大小以及兩個歷史時刻位置。

4.2 圓弧預測攔截中制導的實現

應用變系數顯式制導方法對4.1節估計得到的預測攔截點進行攔截時，首先根據預測攔截點位置T′計算預測攔截點視線角qs，然后結合導彈當前速度VM計算顯式制導增益式(96)，接著應用變系數顯式制導方法得到制導指令式(82)，整個制導方法的實施流程如圖3所示。

如圖2所示，若對導彈不施加制導，忽略重力和阻力影響，導彈將按當前速度飛行，以此預估攔截時刻零控導彈位置M′，有

|MM′|=VMT

(100)

零控導彈位置與預測攔截點之間的位移M′T′即為零控脫靶量,中制導要保證終端時刻零控脫靶量為零，此時等價于：

γ(tf)=qs(tf),ψ(tf)=qb(tf)

(101)

即導彈速度方向與預測攔截點視線方向一致，同時滿足終端角約束：

γ(tf)=γf,ψ(tf)=ψf

(102)

結合以上分析，制導律式(82)的本質即為調整導彈速度方向使其與預測攔截點視線方向一致，同時達到指定終端角方向。

需要注意的是以上在推導顯式制導以及剩余飛行時間估計時采用了目標和攔截彈勻速飛行的假設。實際中，目標在滑翔段飛行時速度衰減緩慢，較為符合這樣的假設。攔截彈雖然有一定的速度變化，但主要發生在前期，隨著高度增加，阻力下降，其逐漸將接近常值，而且在制導過程中是不斷更新的，因此可以滿足制導需要。

5 數值仿真與分析

本節將通過數值仿真驗證本文制導律的實際效果，在實施時分為兩部分：首先針對固定攔截點進行打擊，驗證變系數顯式制導處理終端角約束以及可用過載約束的能力，同時與常系數下的顯式制導進行了對比；然后以做側向機動的CAV-H飛行器作為目標，驗證本文制導方法進行軌跡預測以及對機動目標的攔截能力，同時與一種預測比例制導方法進行了對比；最后考慮測量偏差和氣動參數不確定性影響，進行蒙特卡羅打靶驗證本文方法在隨機偏差條件下的制導性能。在仿真時，機動過載約束不是定值，通過約束攻角和側滑角α、β∈[-15°,15°]得到，制導指令對應的攻角和側滑角通過氣動力系數反插值得到。

5.1 針對固定點攔截仿真結果

初始時刻導彈位置為(0, 15, 0) km，速度為2 000 m/s,飛行高度15 km,彈道傾角15°，速度方位角0°。選定的攔截點位置為(70, 35, 4) km,速度傾角和航向角約束分別為0°和8°，飛行全程無動力。分別在常系數和變系數下應用本文制導律式(82)進行攔截，其中常系數按式(67)計算，采用控制量最省的性能指標，因此取n=0。針對固定點攔截的仿真結果如表1、圖4～圖7所示。

圖4給出了變系數顯式制導性能指標權重預測值和實際值對比。可以看出，采用式(94)所示的簡化預測方法雖然在初期有一定偏差，但可以很快地收斂于實際值，證明用于簡化的假設是合理的。

由表1和圖5可以看到，變系數顯式制導具有較小脫靶量，同時終端角以很高的精度滿足了約束要求。而常系數顯式制導不僅沒有實現終端角約束，而且產生了較大的脫靶量。主要原因可以從圖6分析得到：攔截飛行后半段制導需用加速度超過氣動力所能提供的最大法向加速度，加速度飽和導致無法實現期望制導效果。而變系數顯式制導需用加速度全程調節在可用加速度邊界內，保證了終端脫靶量和角約束實現。這種需用加速度合理分配是通過制導增益的自適應調節來實現的。如圖7(c)所示，變系數顯式制導初期有較大的增益，而在制導過程中逐漸減小，最后與常系數顯式制導趨于一致。這樣的變化充分利用飛行初期富余的過載能力，而在后期飛行高度增加可用過載減小后降低了需用過載要求。結果表明變系數顯式制導能夠根據飛行全程可用過載的變化合理分配需用過載，滿足可用過載約束，繼而保證終端脫靶量和角約束的實現。

表1 固定點攔截仿真結果

圖4 變系數顯式制導性能指標權重預測

圖5 針對固定點攔截軌跡

圖6 固定點攔截加速度變化

可用過載約束的實現同時導致了飛行軌跡的差異，如圖5(b)所示，變系數顯式制導軌跡相比常系數在前期機動繞飛更多航程，而在后段保持平直飛行和較小曲率，這樣的軌跡形式降低了攔截末端需用過載要求，表明這種方法已經具備一定的軌跡規劃能力。

圖7 固定點攔截仿真結果

同時由圖7(d)可以看出，變系數顯式制導相比常系數具有更高的終端速度，主要原因是，一般顯式制導所采用的如式(50)所示性能指標表示制導加速度最省，對于氣動力攔截彈，制導加速度是由升力提供的，而終端速度是與阻力直接相關的；在一般問題中，由于認為愈小的氣動升力下誘導阻力愈小，這樣的性能指標近似等價于最大化終端速度；但是這個準則在大空域攔截，高度和動壓大幅變化的場景下并不完全適用。因為對于相同的制導加速度指令，動壓不同，攻角則不同，進而導致誘導阻力有差別。顯然隨著動壓增大，所需攻角減小可以使對應的誘導阻力降低。本文在原有性能指標中引入如式(94)所示動壓權重，更能匹配這種變化，繼而減小誘導阻力，提升終端速度。

以上結果和分析表明，基于動壓權重自適應更新的變系數顯式制導方法可行，相比一般常系數顯式制導，其不僅滿足了可用過載約束，保證了終端脫靶量和角約束的實現，還有效提升了終端速度。

5.2 針對機動目標攔截仿真結果

選擇CAV-H飛行器作為目標，其初始時刻位置為(200, 35, 0) km，飛行高度為35 km，飛行速度為3 500 m/s，速度傾角和航向角為0°。在攔截過程中，CAV-H以恒定的攻角和傾側角(α=10°,σ= 40°)進行側向機動，模擬一般滑翔飛行器在滑翔段的飛行方式。同時假定目標的位置和速度信息可以測量得到，圓弧預測時兩個歷史時刻位置間隔時間選為 5 s，中制導初始狀態選擇發動機關機時刻飛行狀態。導彈在距目標15 km 時中末制導交班，中制導結束。由于本文沒有考慮末制導段，中制導結束后的制導指令保持最后時刻的值，終端交會角約束為0°，其他初始狀態和仿真條件沿用5.1節中的設置。

分別應用圓弧預測變系數顯式制導方法(本文制導方法)和預測比例制導[4]按上述條件進行仿真，其中預測比例制導采用以目標當前速度沿直線遞推的方法估計攔截點，同時應用比例制導打擊攔截點。仿真結果如表2和圖8所示，可以看出：由于未加入末制導段修正，本文制導方法脫靶量和終端交會角沒有完全收斂到0，然而其精度足以滿足中末制導交班要求；而預測比例制導出現了較大的零控脫靶量(4 262.19 m)和交會角(11.464 1°)偏差。導致這種差異的原因可結合仿真結果圖9和圖10進行分析。

表2 機動目標攔截結果

圖8 針對機動目標攔截軌跡

首先是本文制導所采用的圓弧預測方法相比預測比例制導以當前速度沿直線遞推的方法[4]顯著提升了預測精度。圖9(a)和圖9(c)給出了兩種方法的預測效果對比，可以看到本文制導方法一開始就達到了較高的精度，收斂到實際值附近，尤其在縱向和側向；而預測比例制導方法在初期出現了較大的偏差，雖然隨著剩余飛行時間的減少在攔截末端可以收斂到實際值，但在這個過程中將導致預測攔截點大幅變化，使制導方法無法在初期過載能力充足情況下提前應對目標機動和修正零控脫靶量。由圖9(b)和圖9(c)可以看出，在進行剩余飛行時間和預測攔截點目標位置估計時，兩種預測方式結果相近，其在初期均有一定的偏差，隨后逐漸收斂到真實值，這種偏差主要是沒有考慮攔截彈速度變化引起的，由于飛行初期大氣稠密，攔截彈速度將快速衰減，而以當前速度進行估計時將使剩余飛行時間小于實際值，并使預測攔截點航向位移大于實際值。隨著高度增加阻力減小，攔截彈速度變化趨于穩定，剩余飛行時間和預測攔截點目標位置估計值也將趨于實際值,仿真結果表明可以滿足制導需要。

圖9(d)給出了采用本文制導方法得到的目標終端彈道傾角和速度航向角估計值與實際值對比，可以看到其精度很高，估計偏差小于0.5°，而且到攔截時刻將完全與實際值一致，結果表明估計方法可行，可以滿足交會角約束的需要。

以上結果和分析表明，本文制導所采用的圓弧預測相比一般按當前速度直線遞推的方法，更符合臨近空間目標機動特性，顯著提升了預測精度，不僅能實現預測攔截點位置的估計，還能進行目標終端速度傾角和航向角的預測，保證了中制導順利實施。

其次，如前所述，所應用的變系數顯式制導方法具有可用過載約束能力，其在一定程度上能根據攔截全程最大可用過載變化合理分配制導加速度，避免制導加速度飽和；而不具備這種能力的比例制導，隨著攔截彈飛行高度增加，很快出現了制導加速度飽和現象(如圖10所示)。在這種條件下導彈只能以最大攻角和側滑角飛行(如圖11(a)所示)，由于實際加速度仍無法達到制導需用加速度要求，導致縱向和側向出現較大零控脫靶量，同時未能實現交會角約束。

圖9 目標狀態預測結果

圖10 機動目標攔截加速度變化

綜上表明，本文提出的結合圓弧預測和變系數顯式制導對臨近空間目標實施攔截中制導的方法可行，其目標預測精度的提升和可用過載約束的實現保證了最終制導效果，滿足了終端零控脫靶量和交會角約束的要求，實現了對臨近空間機動目標的有效攔截。

5.3 隨機偏差條件下攔截仿真結果

5.1節和5.2節均是在假定目標信息可精確獲得條件下的仿真，在實際中，雷達測量和跟蹤得到的目標位置和速度信息不可避免存在誤差，同時，所使用的氣動參數也存在不確定性。在5.2節仿真條件基礎上，加入測量信息和氣動參數偏差進行蒙特卡羅打靶仿真。其中，考慮目標位置和速度在地面坐標系下的3軸分量(x,y,z)以及(Vx,Vy,Vz)分別含有一倍標準差為 50 m 和 30 m/s的測量偏差[32]，攔截彈的阻力系數、升力系數以及側向力系數按3倍標準差為15%的偏差限攝動，仿真次數500，打靶統計結果如表3以及圖12和圖13所示。

可以看到，加入隨機偏差后，預測比例制導的零控脫靶量和交會角均出現了非常大的散布，其主要是引入的速度測量偏差使目標速度方向計算值發生改變，沿目標當前速度方向直線遞推攔截點的預測方式會將這種速度方向偏差顯著放大，導致預測攔截點的大幅變化和零控脫靶量的大范圍散布。本文制導方法得到的零控脫靶量相比無測量偏差條件下也有所增大，其主要是由于位置偏差導致預測攔截點變化引起的，然而，最終零控脫靶量散布期望與位置偏差基本處于同一水平，遠遠小于預測比例制導結果。考慮到未加入末制導段修正，這樣的精度仍然能夠滿足中末制導交班要求。結果表明，在測量信息和氣動參數存在隨機偏差條件下，本文制導方法依然能夠保持較好的預測和制導性能，且零控脫靶量和交會角可以滿足中末制導交班要求。

表3 蒙特卡羅仿真統計結果

圖12 零控脫靶量分布圖

圖13 交會角分布圖

6 結 論

1) 圓弧預測方法可以實現對側向機動目標預測攔截點位置和速度角的有效預測，預測精度能夠滿足中制導需求。

2) 基于動壓權重自適應更新的變系數顯式制導方法不僅可以滿足終端角和可用過載約束，還可以提高導彈終端速度，增強攔截能力。

3) 結合圓弧預測和變系數顯式制導方法，可以滿足臨近空間目標攔截中制導預測和多約束的要求，實現對機動目標的有效攔截。

4) 測量不準確和氣動參數不確定條件下，本文方法依然能夠保持較好的預測和制導性能，滿足中末制導交班要求。