數學思維空間成就數學思維品質
——對2018年浙江省臺州市中考數學試題第16題的思考

王國順

一年一度的中考已經落下帷幕，在以能力立意，培養學生數學核心素養的今天，今年浙江省臺州市卷的第16題（填空題）重在考察學生數學知識的整合能力、探索解題過程的思維品質，為初中數學教學起到了很好的導向作用?？梢哉f此題是簡約而不簡單，更是一道考查學生數學思維能力與思維品質的好題。因此，筆者以此題為例，進行了思考與探索，和各位專家、同仁一起探討。

一、原題呈現

【例1】如圖1，在正方形ABCD中，AB=3，點E，F分別在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于點G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長為______。（2018浙江省臺州市中考數學試題第16題）

二、思路剖析

一方面，根據CE=DF，在正方形中，因為BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°∴△BCE≌△DCF，

∴∠CBE=∠DCF ∵∠DCF＋∠BCF=∠BCD=90o

∴∠CBE＋∠BCF=90°，∴∠BGC=90°（即BE⊥CF）

∴△BCG是直角三角形。題目中的隱含條件被進一步挖掘，并凸顯出來。在直角三角形中，要確定邊與邊的關系，自然而然會聯想到勾股定理，不妨設CG=x，BG=y，則x2＋y2=32。

另一方面，題中的面積關系也是思考的方向，我們研究的重點是△BCG，根據“圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3”，轉化為“圖中空白部分的面積與正方形ABCD的面積之比為1：3”，

∵△BCE≌△DCF ∴S△BCE=S△CDF，

∴S△BCE-S△CEG=S△CDF-S△CEG，∴S△BCG=S四邊形EDFG，

∴S△BCG=

這時只要運用整體思想，求出（x＋y）的值即可。而

（x＋y）2=x2＋y2＋2xy=9＋6=15，

筆者分析學生可能受到習慣性思維的干擾，一心只想精準求出兩直角邊的值，把y=）2=9，方程化為x4-9x2＋9=0，先把x2看成整體，設x2=a，方程化為關于a的一元二次方程a2-9a＋9=0，解得a=，那么x2=或x2=∵x＞0，∴x1=或x2=，

代入x2＋y2=9得x2＋（

相應地y1=或y2=

由于學生所學知識的局限性，導致含雙重根號的結果無法化簡，除非你平時接觸到過利用配方法化簡這一類特殊形式二次根式，例如，x1

這些同學思維不可謂不縝密、計算能力不可謂不強，可結果正確與否的擔憂卻無法消除。為什么會在考試的時候出現這種既浪費時間又繁瑣易錯的思路呢？問題的根本在于平時的訓練過于機械，思路單一、缺少發散性，導致在緊張的考試中思維品質不升反降?！敖忸}時邁進的每一步，如果越來越簡單，你會感到路走對了，勝利就在前頭，如果越來越復雜，越來越艱難，你也應該發現前景不妙，希望渺茫，簡單自然，往往是你判斷的標準?！保?］

三、引發的思考

1.良好思維品質的形成，需要學生“見多識廣”良好的數學思維品質的形成，首先需要老師在平時的教學活動中多關注、狠落實，只有經常接觸舉一反三、一題多解、多題歸一的教學，才能夠在單打獨斗時，妙想絕處生捷徑自然成.例如“變式1”，我們可以將剛才的靜態問題升華為動態問題進行變式探索，使學生的思維活動在不同的方向和不同的層次上得到發展.【變式1】如圖2，在正方形ABCD中，AB=3，點E，F分別在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于點G，連接DG.在點E從C運動到D的過程中，求①點G 運動的路徑長為__________；②DG的最小值為；__________；③當DG=DF時，CE的值__________.

分析與解：由原題的剖析知道，在點E從C運動到D的過程中，△BCG是始終是以BC為斜邊的直角三角形，因此，點G在以BC為直徑的圓（如圖3，圓心記為O）上運動，它的路徑是一段圓弧（四分之一個圓），第①問解決；在①的基礎上，當D，G，O共線時，DG最小，DG最小值=；對于問題③，只有當∠DFG=∠FGD時，DG=DF∵AD∥BC∴∠DFG=∠OCG，

根據OG=OC，∠OGC=∠OCG，當D，G，O共線時，∠OGC=∠FGD

∴∠DFG=∠FGD∴DF=DG，又∵CE=DF，即CE=

這里為什么不把③設置為“當△DFG為等腰三角形時，求CE的值”這樣的開放式的問題呢？解決時要進行分類討論，不是更能夠鍛煉學生的思維能力嗎？是的，剛剛的CE=是情形之一，另一種情形就是當G與H重合時，GD=GF，此時CE=CD=3；情形三，DF=FG時，如圖4，連接EF，則Rt△BCE≌Rt△DCF，

∴GE=DE，設CE=DF=FG=x，∴GE=DE=3-x，

化為整式方程得，2x3-6x2＋18x-27=0，不是特殊形式一元三次方程，初等數學無法解決（需要用高等數學“卡爾丹公式法”或“盛金公式法”求解，它的實數解約為1.94）。因此，作為思維訓練，培養探究能力，也未嘗不可，但作為考試題，我們在設計的時候必須要規避。

2.良好的數學思維品質的形成，需要教師“精心編導”舉一反三、一題多解、一題多變能夠有效的鍛煉學生的數學思維能力和品質，類比學習對鍛煉學生的數學思維是非常有效的，類比對知識的全面掌握與方法的遷移、能力的提升，都有十分重要的作用。“素材選用不僅有利于學生理解所學知識的內涵，還能夠更好地揭示相關數學知識之間的內在關聯，有利于學生從整體上理解數學，構建數學認知結構?！保?］如下面的變式2，就是從考查學生綜合運用數學的能力方面進行構建，以激發學生的分散性思維。

【變式2】如圖5，在正方形ABCD中，AB=3，點E在CD上，F在AD上，FE⊥BE，M是EF的中點，MH⊥CD。在點E從C運動到D的過程中，線段MH的最大值為__________。

分析與解：易得MH是△DEF的中位線，要使MH最大，只要DF最大，這里∠C=∠FEB=∠D=90°，那么∠CBE=∠DEF，∴Rt△BCE∽Rt△EDF，∴，設CE=x，DF=y，則DE=3-x，，y=＋x，即y=，

正如陳永明教授在“習題教學的歸一原則”中所指出的——“多解歸一、多題歸一、舉一反三，就是要找同類問題的共同點，把共同的經驗總結出來，以便運用到新的場合”。［2］在變式2中，我們改變了原題中的條件，解決問題的方法就從原來的兩個三角形全等遷移到兩個三角形相似，利用相似比，得到二次函數，并用二次函數的性質求最大值，知識都是初中數學體系中的核心知識。

四、結語

學生良好的數學思維品質、數學核心素養的形成應該是漸進的、逐步累積的結果，絕不是一蹴而就的。教師只有在平時的教學活動中多展現鍛煉數學思維的課例、多滲透思考問題的方法與步驟、使學生能夠會知識遷移和方法類比，學生心里才能埋下形成良好數學思維品質的種子，數學課堂必定大放異彩，成效更顯著，正如史寧中教授所說“用數學的眼光看世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界”的核心素養必能得到極大提升。