處理圓錐曲線“對稱性”問題策略之芻議

王平

例：已知橢圓C：3x2＋4y2-12=0，試確定m的取值范圍，使得對于直線L：y=4x＋m，橢圓C上存在不同的兩點關于直線對稱。

分析（1）：首先由數形結合，抓好特征量，特征線及關鍵詞，垂直且平分還有存在。設而不求思想搭好臺，用垂直引領得出AB直線方程，y=，在存在兩個不同的點的前提下獲悉不等式來唱戲，問題不但得以解決，還留下經典的解題套路。

解法一：設A（x1，y2），B（x2，y2），由AB與L對稱，故可設AB為：y=聯列方程組

又∵AB的中點在直線L上，由（※）可知

分析（2）：凡涉及到中點弦問題，自然由點差法來搭臺，進而求得AB中點坐標的含參表達式，確定取值范圍的不等關系聚焦在點與圓錐曲線的關系。更為明確地點在橢圓之內，由此又得到解決此類問題的另一典型套路。

解法（2）：設C上關于L：y=4x＋m的對稱點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），設AB的中點為P（x0，y0），由此有

又∵P（x0，y0）在L：y=4x＋m上?y0=4x0＋m ④

由③、④解得x0=-m y0=-3m ∵P（x0，y0）在C的內部

分析3：關鍵詞是存在兩個不同的點，由此應該是某個含參的二次方程在區間-2≤x≤2有兩個相等實根，由區間根的分布來搭橋，不等式唱戲，便可以順利解決。

有兩個不相等的實根，作輔助函數L（x）=13x2＋26mx＋169m2-48 x∈［-2，2］，由區間根的分布：

分析（4）：直接由二-級結論搭橋引線，圓錐曲線中橢圓任一不垂于x軸的弦的斜率與弦的中點與坐標原點的斜率之積為定值，由此便可解決。

解法4：設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點m（x0，y0）

∵KAB·KOM=

?y0=3x0（-2＜x0＜2）

弦中點M的軌跡僅為線段且不含有端點：

總之，要讓我們高三復習依標扣本，源于教材，又高于教材，要求課堂教學中，搭好思想與方法的橋，唱好探求方法多樣性的戲。充分利用好二級結證，學生思維才能進階，學生在課堂才會走心入神，形成一種探求習慣及運用教學思想的意識，搭臺唱戲的思想平臺，準會讓學生站在思維的制高點上，形成運用意識。