“點和圓的位置關系”教學設計與立意闡釋

☉甘肅省天水市麥積區元龍中學 郭德成

近日，在一次市級教學研討活動中，筆者有幸聆聽了一節“點和圓的位置關系”的公開課，這是比較難上的一節課，感覺授課教師對教材的處理和學情的把握比較到位，教學環節設計合適，過渡自然，聽后受益匪淺.下面給出其教學設計簡述，并根據執教教師上課后說課情況及個人的教學實踐，對其教學立意進行簡單闡釋，不當之處，敬請指正.

一、教學內容

人教版初中數學九年級上冊第24章“圓”第二節的第1課時“點和圓的位置關系”.

二、教學目標

（1）理解并掌握點和圓的位置關系、三角形的外接圓及外心等有關概念；

（2）通過探究學習，掌握過不在同一直線上的三點畫圓的方法；

（3）通過學習，進一步掌握數形結合、分類討論的數學思想.

三、過程簡述

1.點和圓的位置關系

通過學生在操場上“擲球”的小視頻創設情境，引入新課，然后引導學生自行閱讀教材相關內容，完成自學填空和鞏固練習部分.

（1）自學填空：

設⊙O的半徑為r，平面內任意一點P到圓心O的距離OP=d，若點P在⊙O外，則______；若點P在⊙O上，則______；若點P在⊙O內，則______.

（2）鞏固練習1：

已知⊙O的半徑r=5，若點A在⊙O上，則線段OA_____；若點B在⊙O外，則線段OB______；若線段OC=4，則點C在⊙O______；若線段OD=6，則點D在⊙O______；若線段OE＞6，則點E在⊙O______.

教學說明：興趣是有效學習的開端.開課之初，以小視頻的形式將學生熟悉的“擲球”游戲呈現出來，意在調動學生學習的積極性和主動性；根據學段特點，結合學生在第一學段掌握的相關知識，在小視頻的引導下，對于“點和圓的位置關系”這一知識點的學習，組織學生通過自學填空和鞏固練習的形式完成，切實貼近學生的“最近發展區”，實現“跳一跳摘桃子”的預期效果.

2.過三點的圓

（1）過三點的圓.

探究1：請嘗試在作圖1中，過任意一點A作⊙O，并回答：

①如何確定圓心？如何確定半徑？

②這樣的圓可以作幾個？

③你能得出什么結論？

探究2：請嘗試在作圖2中，過任意兩點A、B作⊙O，并回答：

①如何確定圓心？如何確定半徑？

②這樣的圓可以作幾個？

③你能得出什么結論？

探究3：請嘗試在作圖3中，過任意三點A、B、C作⊙O，并回答：

①與前兩個探究有什么不同？

②你能提出什么問題？

③你能得出什么結論？

圖1

圖2

圖3

教學說明：三個探究環節層層深入，逐層推進，指向了本節課教學的重點和難點.從“過一個點作圓”到“過兩個點作圓”，再到“過三個點作圓（分兩種情況）”，為學生鋪路搭橋，構建了學生探究問題的思路和方法，為學生順利解決問題打下了堅實的基礎.探究1和探究2模式一致，思路簡單，學生在三個問題的引領下可以獲得圓心在哪里、半徑如何確定等兩個關鍵問題，為探究3搭建腳手架，引導學生在指出探究1和探究2不同的基礎上，提出新的問題，并獲得新的結論，幫助學生學會學習.

（2）三角形的外接圓及三角形的外心.

教學說明：在上述探究3的基礎上，得出三角形的外接圓和三角形的外心兩個概念，并得出“外心?到三角形三個頂點的距離相等?三角形三邊垂直平分線的交點”這一知識串，為學生在圓與三角形之間相互轉化做好鋪墊.

（3）反證法.

教學說明：根據課標要求、實際教學情況（時間限制）及學生的認知情況，將證明方法以微課的形式呈現，便于學生課下多次觀看，進而加深學生對反證法的理解.

鞏固練習2：如圖4，點A、B、C表示三個村莊，現要建一個水泵站，向三個村莊送水，為使三條輸水管線長度相同，水泵站應建在何處？并說明理由.

圖4

3.課堂小結

通過今天的學習，你都學會了……

教學說明：看似簡單、老套的課堂小結的提問方式，在執教教師一次次的追問下，引領學生觸及了知識的本質，實現了課堂教學小結的目的，達到了預期的教學效果.

4.隨堂檢測

（1）⊙O的半徑為10cm，A、B、C三點到圓心的距離分別為8cm、10cm、12cm，則點A、B、C與⊙O的位置關系是：點A在______，點B在______，點C在______.

（2）正方形ABCD的邊長為1cm，以點A為圓心、1.2cm為半徑作⊙A，則點C（ ）.

A.在⊙A上 B.在⊙A內

C.在⊙A外 D.無法判斷

教學說明：隨堂檢測環節限時獨立完成，然后統一訂正答案，對照答案用紅筆改錯，對于錯題以“兵教兵”的形式解決.

5.布置作業

必做：教材P95第1～3題；

選做：探究思考：

（1）三角形的外心是否一定在三角形內部？

（2）過平面內任意四點是否一定可以作圓？

教學說明：作業由必做題和選做題兩部分組成，意在對不同的學生提出不同的要求，面向全體，使不同的學生在數學上得到不同的發展.同時選做部分的第（1）題加深學生對相關知識的理解，為鈍角三角形、直角三角形的外心學習打下基礎；第（2）題則指向下節課即將要學習的“四點共圓”問題，實現課堂教學的承前啟后，引導學生做好課下預習.

四、立意闡釋

1.幾何作圖：幾何教學的“著力點”

通過上面的介紹可以看出，本節課的關鍵部分是由“三個探究”環節組成的，三個問題指向明確，層層深入，在完成知識探究的同時，引導學生自行畫圖，并通過多次嘗試，最終得出相應的圖形和相關結論.這樣設計，主要是為了增強學生的動手實踐能力和畫圖能力，與課標的要求實現對接.同時，隨著課改的不斷深入，以及人們對課標的進一步認識，越來越多的畫圖（不僅限于“尺規作圖”）題目進入了中考，比如，2019年北京市中考試卷中的幾何綜合題，就需要學生親自動手畫圖，而對于相關問題的解決則比較簡單，這是一種新的命題趨勢，應該引起一線教師的足夠重視.

2.幾點共圓：幾何研究的“重頭戲”

日本數學教育家米山國藏曾經說過：“學生們在學校所學的數學知識，在進入社會后，幾乎沒有什么機會應用，因而這種作為知識的數學，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了.然而不管他們從事什么職業，那種銘刻于頭腦中的數學精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，都隨時地發生作用，使他們受用終身.”因此本節課在教給學生相關知識的同時，重在教給學生研究問題的思路和解決問題的方法，比如，三個探究環節從“過一個點作圓”到“過兩個點作圓”，再到“過三個點作圓”，再到作業布置環節以選做題的形式引導學生思考“四點共圓”問題，為學生呈現了一種研究問題的基本思路和方法，為學生以后解決類似問題打下了堅實的基礎.