例談核心素養視角下的習題課教學策略*
——“五角星的頂角和”的教學設計與思考

☉江蘇省如皋市外國語學校 劉 建

余文森先生說核心素養是一個人精神的源頭.［1］日常教學中，學完一個單元或一個章節后，教師常根據學生實際情況安排習題課.隨著網絡新題不斷涌現，“難以取舍”使習題課中“題海戰術”成為常態.為完成任務，學生常常缺乏深入思考，不能抓住問題本質.枯燥繁多的習題還使學生喪失學習興趣，甚至產生厭學情緒，數學學科核心素養的培養成為空中樓閣.本文首先呈現“五角星的頂角和”的教學設計，然后就核心素養視角下的習題課教學策略提出自己一些不成熟的做法，懇請讀者不吝賜教.

一、教學設計

原題呈現：圖1是一個五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數.

為表述方便，不妨將∠A、∠B、∠C、∠D、∠E稱為五角星的頂角，并將該問題稱為五角星頂角和問題

圖1

1.以基本圖形為突破，建立模型、解決問題

學生獨立思考后，小組交流，得到以下三種方法：

方法1：利用“小紅旗”解決問題.

第一步，抽取基本圖形.

從圖1中可分解出下列圖形：

圖2

圖3

圖4

第二步，定義基本圖形.

通過翻折或旋轉讓學生發現上面三個圖形本質上是一樣的，于是可給這樣的圖形進行定義.

在圖1中，設AD與CE相交于點G，從圖1中分解出如圖5所示的基本圖形，并給出定義：如圖5，該基本圖形是由三角形及其一邊的延長線組成的，它像一面紅旗，不妨稱它為“小紅旗”.

圖5

第三步，研究基本圖形.

分別用文字語言和符號語言描述基本圖形中蘊含的結論：

文字語言：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

符號語言：∠CGD=∠A+∠C.

第四步，應用基本圖形.

提問：上面將∠A與∠C組合成∠CGD，剩下的三角中是否有兩角也可以利用同樣的方法進行組合？

預設：比如，設BD與CE相交于點H，∠B與∠E可組合成∠EHD，這樣所求的五個角都轉化到△DGH中，從而解決問題.

追問：利用這樣的方法，你還可以將這五個角轉化到哪個三角形中從而解決問題？

方法2：利用“對頂三角形”解決問題.

在圖1中構造出如圖6所示的基本圖形，讓學生類比上面的方法研究.

圖6

圖7

方法3：利用“規形”解決問題.

在圖1中分解出如圖7所示的基本圖形，讓學生類比上面的方法研究.

2.以變化圖形為抓手，變式問題、提升素養

方式1：用“拖角”的方式進行變式.

將圖1中的某個角或某些角進行拖動（包括牽拉、收縮或轉動等）得到新圖，利用新圖以小組為單位編題并解題，比一比哪個小組編題編得多、編得好，解題解得對、方法多.

預設：可能出現以下圖形：

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

圖15

圖16

引導學生分析得出：圖8與圖1的本質一致；通過旋轉或翻折可發現圖9與圖10、圖11與圖12、圖13與圖14本質一致.當然，上課時還可能出現其他情況，可做類似分析.利用上述圖形可編制下列例題：

例1求圖9和圖12中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數.

例2試探究圖14、圖15、圖16中∠A、∠B、∠C、∠D、∠E之間的數量關系.

方式2：用“截角”的方式進行變式.

第一步，截去一個角.

例3如圖17所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數.

請利用上面所給的三種基本圖形解題.在此基礎上，讓學生仿照例1對五角星變式的方法，自編一些題目并練習，下面摘錄幾道題：

練習：求下列圖形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數.

圖17

圖18

圖19

圖20

第二步，截去多個角.

例4（1）在圖21中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數.

（2）在圖22中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數.

（3）在圖23中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M的度數.

（4）在圖24中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度數.

研究發現，圖21和圖22還可以按照上面的方法去做，但圖23和圖24按原來方法做比較困難.

圖21

圖22

圖23

圖24

提問：你發現了什么規律？

預設：通過前面的計算可發現，五角星按圖示方法每截去一個角，所有頂角的和就增加180°.用這個規律可解決（3）和（4）這兩問.

追問：為什么有這個規律呢？

自然而然產生下面的解法：

第1種方法：還原成五角星來解決.

以例3為例：如圖25，延長FB、EC交于點P.要求∠A+∠CBF+∠BCE+∠D+∠E+∠F，由于∠A+∠P+∠D+∠E+∠F=180°，所以我們只需要探究∠FBC+∠BCE比∠P大多少度.

提問：你能分解出合適的基本圖形來解決問題嗎？

預設：這里仍可以用本節課將復雜圖形轉化為基本圖形的思想方法解決，可分解出如圖26所示的基本圖形，并可證得結論：∠FBC+∠BCE=∠P+180°.利用這個結論就可得出上述規律了.

圖25

圖26

圖27

第2種方法：分解出新的基本圖形來解決.

現在以例4（4）為例，圖中充滿了如圖27所示的基本圖形，師生共同探索出結論：∠1+∠2=∠5+∠6.利用這一結論就可以將圖24中所有頂角轉化為中間五邊形的內角，從而解決問題.

3.以動手操作為路徑，激活思維、激發興趣

提問：學到這里，愛動腦筋的小明同學意猶未盡，他說：“我不需要計算，只需要動手操作，就能求五角星的頂角和！”小明同學是怎么做的呢？

預設：如圖28，師生共同動手操作，將一支筆看作一條射線，與五角星中的線段AC重合，然后依次逆時針旋轉∠A、∠D、∠B、∠E、∠C，觀察這支筆最終的方向.

提問：你發現了什么？你能得到什么結論？

追問：你能用動手操作的方法，解決本節課中的其他問題嗎？

預設：以例2中的圖14和圖16為例，學生發現在操作過程中，既有順時針旋轉，又有逆時針旋轉.

追問：順時針旋轉和逆時針旋轉具有相反意義，那我們該怎么辦？

預設：可利用正負數表示具有相反意義的量，比如，規定逆時針旋轉為正，順時針旋轉為負.

圖28

圖29

圖30

二、核心素養視角下的習題課教學策略

1.精選習題，精準定位

以單個的、孤立的、缺乏聯系的“知識點”呈現出來的東西，最終大多會成為無意義、機械性和被動式接受的東西.因此容易出現“一教就懂，懂而不會”或“一教就懂，一做就錯”的慣常情形.［2］從這個意義上講，習題的選擇需要歸類，逐類研究，逐類突破，切忌胡亂堆砌.本節課圍繞五角星頂角和問題展開研究，通過“拖角”和“截角”的方式將本節課中所有問題有機串聯起來，從“交給學生一大堆零亂的葡萄粒”走向“教給學生摘取一串串葡萄的方法”，［2］實現了對于該類問題的突破.

對于學生掌握情況不好的習題，肯定需要不斷重復，但這種重復不是相似題的簡單堆砌，而是圍繞同一目標的、基于同一思想方法的、遞進式的、深層次的重復.如何實現這一目標？對于幾何習題課來講，適當增加非標準圖形就是一種有效策略.有研究表明，學生不能完成幾何證明的原因之一是對標準圖形的思維定式.如果在教學中教師總是使用標準圖形表示知識，那么學生在碰到非標準圖形時就會無所適從.［3］本節課通過“拖角”和“截角”的方式提出變式問題，既讓學生了解問題的產生過程，又能有效防止學生對標準圖形的思維定式.

不難發現，本節課中習題的選擇及其呈現方式讓學生從機械做題變成自主編題、解題，提高了學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，教學目標定位從“雙基兩能”轉變為“四基四能”，直接指向數學學科核心素養的培養.

2.活化課堂，活躍思維

習題課往往會變成做題和講題，枯燥乏味，毫無生機，常常事倍功半.本節課中，讓學生用類比的方法進行研究、通過“拖角”和“截角”自主編題、通過動手操作解決問題等從形式上使課堂氣氛變得活躍，從實質上使數學學科核心素養的培養落地生根.本節課中，類比研究、自主編題、動手操作等無疑活躍了學生的思維，使學生思維高速運轉起來的還有“一題多法”和“一法多題”.首先利用三種方法解決了五角星頂角和問題，最后利用動手操作的方法也解決了這一問題，可謂“一題多法”.這三種方法又都體現了由繁至簡的轉化和用簡解繁的解題思路，都經歷了抽取—定義—研究—應用的過程，因此，這三種方法又可統一起來.“一法多題”的例子也很多.比如，本節課主要體現了可通過分解或構造基本圖形的方法解題，所以本節課中的所有題目都可以這樣做.再如，利用動手操作的方法也可解決本節課中所有問題.這讓學生在體會到這些方法具有的一般性和普適性的同時，還體會到其可貴和奇妙.

無論是類比研究、自主編題、動手操作，還是“一題多法”“一法多題”，對學生的思維都極具挑戰性.散發著思維光芒的課堂是培養數學學科核心素養的理想場所.

3.提煉規律，提升素養

習題課中提煉解題規律至關重要.規律是變化中的“不變”，是老子口中的“道”，是萬變不離其宗的“宗”，它像種子一樣能夠生根發芽.提煉規律的過程能有效培養數學抽象、數學建模、邏輯推理等數學學科核心素養.

李尚志認為：數學抽象核心素養就是善于掌握不同數學問題的共同點，將這個問題的解決方案用來攻克許多別的問題，這就叫舉一反三.［4］例如，讓學生觀察圖2～4，通過圖形變換發現它們的本質是一樣的，都是由三角形及其一邊的延長線組成的，都像一面紅旗，從而抽象出“小紅旗”的概念.據此，學生就能找到更多的“小紅旗”.再如，本節課中還能抽象出利用分解或構造基本圖形解題的一般規律：抽取—定義—研究—應用，這個一般規律可以用來解決許多其他問題.數學模型是通過數學抽象得到的，所以數學建模總是和數學抽象交融在一起.比如，在研究三種基本圖形時，不僅給它們形象地命名，給出描述性定義，而且結合圖形利用文字語言和符號語言概括出其中蘊含的普遍規律，因此這三個基本圖形實際上變成三種數學模型.再如，上面抽象出利用分解或構造基本圖形解題的一般規律：抽取—定義—研究—應用，這個規律實際上是有關解題方法的數學模型.另外，在規律提煉過程中，少不了歸納、類比，少不了演繹推理，這些無疑培養了學生的邏輯推理核心素養.

作為幾何習題課，本節課還在培養學生的直觀想象核心素養上下足功夫.平時教學中發現，學生剛會解決的問題，只要圖形一變就不會了.本節課通過角的拉伸、收縮、轉動及截角產生許多新圖形，通過翻折和旋轉等變換尋找圖形間的聯系，在此過程中培養了學生的直觀想象素養.另外，本節課還通過分解和構造基本圖形提高學生的畫圖能力、識圖能力、用圖能力，進一步培養直觀想象素養.從復雜圖形中提取基本圖形可以用多媒體動畫很直觀地演示抽取過程，也可以用不同顏色的筆描出該基本圖形或者將這部分基本圖形用筆加粗，熟練之后，不需要任何演示或描摹，自然能在頭腦中有選擇性地想象出這部分基本圖形，這需要一個過程，這個過程正是在培養學生的直觀想象核心素養.