融于核心素養，科學備戰中考
——以“二元一次方程”為例

☉江蘇省儀征市實驗中學 余葉軍

在中考前，學校要求在近一周的時間內，每位初三一線的教師上一節高標準、高質量的專題研討課，以作為中考臨陣前的一次有力沖鋒.備課組教師精心分工，緊密合作，將備考專題進行了分解，筆者所講授的是一節關于“二元一次方程”專題內容的研討課.在任務下達之后，筆者認真分析了2018年江蘇省各地中考試題，同時翻閱了省外其他地區的試卷，從中尋覓挖掘出一些解題策略，在課堂上采用學生自主探究的方法將這部分知識進行了認知消化、歸納總結.

一、典例引領，讓學生在思考中潛移默化

中考數學備考的風向標是什么樣的？這是值得每位初三一線教師深思的問題.教師在備考中引導的不僅僅是知識與能力，更應該是一種學科核心素養，一種將知識與能力融為一體的學科體系，能逐步形成學生綜合運用知識的能力，內化為學生情感、態度、價值觀及數學思想等方面的均衡成長.基于此，筆者的課堂設計是這樣的：

1.情境導入，激發學生探究興趣

首先用電子白板給出一道2019年南京市的中考試題：設x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根，且x1+x2=-1，則x1=_____，x2=_____.

讓學生從一元二次方程的基礎思考，教師在課堂上巡視，留心學生得出的結果，將不同的方法進行展示.預設結果是：

（1）因為x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根，所以可以得到：

這就成了解含有二次方的方程組，難度較大.

（2）因為x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根，所以可以寫出（x-x1）（x-x2）=x2-mx-6=0.

即x2-（x1+x2）x+x1x2=x2-mx-6=0.

看出m=x1+x2=-1，x1x2=-6，再進行求解.

（3）學生可以直接利用韋達定理，根據“兩根之和為一次項系數的相反數，兩根之積為常數項”得出再求解.

創設目的：從基礎抓起，讓學生再次認識一元二次方程的求解過程.通過（2）和（3）兩種方法的展示，學生會再次通過一元二次方程的基礎知識理解韋達定理，韋達定理其實就是利用一元二次方程的兩根推斷的，讓學生再次對一元二次方程進行建模，形成數學學科素養.

2.趁熱打鐵，構建學生知識體系

俗話說“百煉成鋼”，中考備考的目的在于讓學生能夠在最短時間內完成答題，練習是最有效的抓手.在課堂上，選用2018年內江市中考試題.

（電子白板展示）已知關于x的方程ax2+bx+1=0的兩根為x1=1，x2=2，則方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的兩根之和為______.

讓學生在前面掌握了一元二次方程的基礎上思考，得出結果，將不同的方法展示出來.預設結果是：

（1）設方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的兩根分別是x3、x4.

根據韋達定理，可以得出：

則a=0.5，b=-1.5.

代入a（x+1）2+b（x+1）+1=0，化簡得到x2-x=0.

得出x3=0，x4=1，即x3+x4=1.

（2）與（1）的前半部分方法相同，得出x2-x=0后，再次用韋達定理得出x3+x4=1.

（3）采用參數方法.

設方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的兩根分別是x3、x4.

令x+1=m，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0化為am2+bm+1=0.

由方程ax2+bx+1=0的兩根為x1=1，x2=2，可知m1=1，m2=2.

得出m1+m2=3，即（x3+1）+（x4+1）=3，故x3+x4=1.

創設目的：獨立思考是中考重點考核的素養，學生在回歸舊知的基礎上進行思考與拓展，在思考中讓學科知識系統化，讓應用能力最佳化，從而達到舉一反三的目的.學生學會應用數學模型是課堂教學的根本宗旨，也是初中數學的核心素養之一，因此，通過課堂練習可以有效鞏固知識、拓展能力，形成學科素養.

二、小組交流，讓學生在融合中啟迪智慧

當代的課堂應該是知識、生活和生命的融合和演繹，為了不忽視和不逃避課堂現場的問題和意外，既要針對學生的學啟發他們去合作，讓學生的思維和學習在交流中引向更深、更高的境地，同時要激發學生自主學習的積極性.在不同的智慧融合中啟迪心智，在不同思維的碰撞中迸發潛能.

教師就是取之不盡用之不竭的知識寶庫，作為中考備考，必須做出針對性的訓練，為了讓學生站得高看得遠，筆者是這樣設計該課堂環節的：

討論：在一元二次方程x2-2ax+b=0中，若a2-b＞0，則稱a是該方程的中點值.

（1）討論方程x2-8x+3=0的中點值是多少.（自主完成）

（2）當a2-b＞0時，x1、x2為方程的兩個根，求證：x2-a=a-x1.（交流完成）

（3）已知x2-mx+n=0的中點值是3，其中一個根是2，求mn的值.（交流完成）

預設課堂結果：

（1）直接根據方程的中點值定義得出2a=8，求出a=4.

（2）討論題干給定的條件a2-b＞0說明了什么，沒有這個條件會出現什么結論.［當判別式Δ=4（a2-b）＞0時，該一元二次方程才有兩個實數根，其根x1、x2在實數范圍內才可以運算］

討論一元二次方程的兩個根與該方程的中點值有什么關系.（可以根據韋達定理來解決）

最終學生通過討論，得出一元二次方程在判別式Δ＞0時有兩個實數根，這兩個根滿足韋達定理.于是可以推斷x1+x2=2a，完成（2）的證明.

（3）方程x2-mx+n=0的中點值是什么？怎樣建立中點值與m的關系？（中點值的定義是二次方程的一次項系數的相反數的一半，故=3，則m=6）

知道了m的值和一個根，用什么方法可以求出n？（代入法，將m和方程的根代入方程，得4-12+n=0，則n=8，可以計算出mn=48）

創設目的：備考時進行小組討論是訓練思維的常用方式.在給出題目之后，給予學生獨立思考的時間來完成（1）.然后進入小組討論環節，教師不斷觀察、引導學生對問題進行建模，從而調控各小組的活動，步步為營，讓不同的智慧融合來啟迪心智，在不同思維的碰撞中迸發挑戰的潛能.

三、針對訓練，讓學生在錘煉中茁壯成長

在現代初中數學課堂教學中，備考復習時必須依據教材內容對數學理論及數學證明進行融合，給學生以數學邏輯性與思維性，切忌忽略復習重要概念及公式的數學原型，備考時間緊，任務重，雖然無需將每個數學概念和定理都弄清楚來龍去脈，但應注重主次分明，突出重點和難點.就像課堂交流環境一樣，對于課堂上已經建構過的知識，必須讓學生做到將適當的實際問題進行簡化，尋求變量間的相互關系，得出相應的方程.因此，課堂教學中融入的數學建模思想必須及時鞏固，有針對性地訓練.一般給出6道左右的訓練題，讓學生在錘煉中茁壯成長.題型最好是開放性的，如：

案例：閱讀材料：

方法1：若x+3是x2+mx-3的一個因式，我們不難得到x2+mx-3=（x+3）（x-1），易得m=2.

方法2：觀察上面的等式，可以發現當x=-3時，x2+mx-3=（x+3）（x-1）=0，即x=-1是方程x2+mx-3=0的一個根，

將x=-3代入方程x2+mx-3=0，求得m=2.

應用：（1）若x-4是x2-mx-12的一個因式，應用方法1求m的值；

（2）若x+2是2x3+x2+mx-12的一個因式，應用方法2求m的值.

解題過程和另外幾題就不再贅述了.

創設目的：讓學生將因式分解與方程求解融為一體，成為數學的建模.當知識發生關聯時，弄清概念的本質最有效的方法就是建模，試題本身就給出了數學思想，對學生有了更高的要求，因此，設置這類題型具有挑戰性和創造力，讓學生在解題過程中學會建模是形成學科素養的重要途徑.

總之，為了科學備考，為了在中考中旗開得勝，學校的出發點是以生為本，讓每一名學生都成才.備課組的細致安排更是錦上添花，每一位教師都上一節高標準、高質量的專題研討課，專題可以共享，備考更加精準，課堂更加高效.我相信，只要課堂上做到情境導入，激發學生探究興趣；小組交流，讓學生在融合中啟迪智慧；針對訓練，讓學生在錘煉中茁壯成長，就一定能夠培養學生良好的數學能力，提升學生的核心素養，從而在中考的戰場上盡情馳騁.