于無聲處聽驚雷，重組習題觀素養
——以“矩形（第1課時）”教學設計為例

☉浙江省湖州市志和中學 沈雪強

在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中，明確規定：內容設計要有彈性，關注不同學生的數學學習需求；課后習題的選擇與編排應突出層次性；增加的內容應注重數學思想方法，注重學生的發展，有利于學生認識數學的本質與作用.在數學教學中，我們要理解編者編寫教材的真正意圖，要學會從教材例題、習題中滲透知識和提煉學生的數學素養，更要深入研究它和恰當運用它，因此就必須要對例題、習題進行適當的重組.

以浙教版八年級下冊第五單元“矩形”的第1課時為例，本人有幸參加了湖州市數學優質課評比，并獲得一等獎，現將本課的教學設計和反思進行整理，請讀者批評指正.本設計主要對課本上的例題、習題進行了適當的重組與創新，并進行方法的提煉與數學思想的滲透，在降低矩形兩個性質定理運用難度的同時，逐步向學生滲透數學素養.

一、教學目標及學情分析

1.教學目標

（1）理解性質定理“矩形的四個角都是直角”“矩形的對角線相等”，并會進行初步應用.

（2）經歷探索矩形過程，發展學生合情推理的意識，掌握幾何思維方法.

（3）培養嚴謹的推理能力，體會邏輯推理的思維價值，并學會欣賞美的事物.

2.學情分析

這是學習平行四邊形知識后的第一課時，同時，學生也已經對特殊三角形具有一定的認識，因此具備初步的邏輯推理能力及書寫表達能力.在本節課的開端，已經解決了矩形的兩個性質定理的證明，接下來就是要通過例題和習題來應用它.

二、原題重現

例1 已知：如圖1，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∠AOD=120°，AB=4cm.

（1）判斷△AOB的形狀.

（2）求矩形對角線的長.

課內練習2：如圖1，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，圖中有多少對全等三角形？把它們寫下來.

課內練習3：已知矩形的周長為56，對角線的交點到短邊的距離比到長邊的距離大4，求矩形的各邊長.

作業題3：已知：如圖2，過矩形ABCD的頂點作CE∥BD，交AB的延長線于點E.

求證：∠CAE=∠CEA.

作業題5：利用矩形的性質定理“矩形的對角線相等”證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

圖1

圖2

三、教學實施

觀察：（Ⅰ）如圖3，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點O，則圖中有哪些特殊三角形？

圖3

設計意圖：題目來源于課內練習2，做適當的改變：找全等三角形變為找特殊三角形.初步建立起矩形與三角形的聯系.通過尋找特殊三角形，尋本溯源，發現矩形的兩個性質定理：矩形的四個角都是直角、矩形的對角線相等，就是兩類特殊三角形的根源.加深理解定理的同時，也使定理得到初步應用.同時，通過黑板板書，規范證明等腰三角形的過程（任選一個如△AOB），為后續證明做好準備.

（Ⅱ）如果∠AOD=120°，你能判斷△AOB的形狀嗎？

設計意圖：來源于書本例題.在（1）的基礎上，學生判斷△AOB的形狀更自然流暢，也讓學生明白等腰三角形到等邊三角形所需的條件.同時，將（1）的板書過程補充完整，這樣就成了原例1.

（Ⅲ）滿足∠AOD=120°的條件不變，如果AB=4cm，求對角線AC的長.

設計意圖：來源于課本例題第（2）問，突出特殊三角形的存在，將思考的問題轉換到特殊三角形，逐步滲透轉換思想.

追問1：你能求出此時矩形的周長和面積嗎？

設計意圖：通過求BC（或AD），將問題集中到Rt△ABC中，以便學生觀察，發現熟悉的數學結論.

追問2：觀察圖4，你能想到直角三角形的哪個結論？

設計意圖：來源于書本課后作業第5題.將新知化歸為舊知，更易為學生所掌握，同時加深了學生對新知的理解.

通過上述問題串，在強化應用兩個性質定理的同時，逐步將學生的思維引導到特殊三角形，從而讓問題的轉化水到渠成.

變式1：如圖5，已知矩形的周長為28cm，對角線的交點到短邊的距離比到長邊的距離大1cm.求矩形的各邊長.

圖4

圖5

設計意圖：來源于課內練習3.通過添加輔助線，如圖6，過點O作OE⊥AB，OF⊥AD，將問題再次回歸到特殊三角形，結合等腰三角形三線合一，得到E、F為中點，從而得到OE、OF分別是AD、AB的一半，所以設OF=x，則OE=x+1，得到方程2x+2（x+1）=14，從而使問題得以解決.在解題中，滲透方程思想，讓問題的解答變得更容易.

圖6

圖7

變式2：如圖7，如果過矩形ABCD的頂點作CE∥BD，交AB的延長線于點E，求證：∠CAE=∠CEA.

設計意圖：來源于課后作業第5題.將基本圖形做復雜處理，讓學生在發現基本圖形的過程中，回顧相關知識，以便將各種知識相關聯，從而想到解決問題的關鍵所在.本題在于告訴學生，可以從題設的矩形出發，發散思維，進行聯想，也可以從結論出發展開聯想，只要得到AC=CE=BD即可.通過這樣的設計，讓學生學會“聯想—猜測—證明”的解決方法.當然，如果課堂時間寬裕，可以嘗試一題多解，發散思維.

四、反思

1.重組例題，完善知識的認知結構

例題重組，是以教學目標為先導，抓住教材所要解決的基本問題及其基本練習.本節課的教學目標是矩形的性質定理.在教學過程中逐步滲透，不斷強化.將例1進行重組與創新，提取課內的練習2作為觀察（Ⅰ）呈現.通過將原圖形（矩形對角線相等的證明圖形）添加對角線的交點，得到新圖形，讓過程自然、流暢，便于學生觀察得到兩個性質定理的存在，從而使問題的指向更清晰.觀察（Ⅱ）和觀察（Ⅲ）是原始例題，感受矩形與三角形知識的緊密聯系，以便完善幾何中三角形與四邊形的知識系統.另外，安排“追問”，將問題集中到直角三角形，這樣學生在回憶和應用知識的過程中，既可以感受到知識之間的聯系和區別，又可以完善知識的認知結構.

2.凝練方法，提升解決問題的能力

不管課程改革如何深化，課堂教學如何改變，有兩項基本工作是不變的：一是研究學生，二是駕馭教材.但這都是為了讓學生能夠更好地思考問題和解決問題.在設計中安排變式2，就是讓學生學會從條件和結論出發去尋找分析問題和解決問題的方法，教師再提煉方法：將仔細聯想（條件和結論），大膽猜測，具體證明，凝練為“聯想—猜測—證明”的方法，從而幫助學生提升解決問題的能力.

3.滲透思想，發展學生的核心素養

數學思想是數學知識的核心，是學生將知識轉化為能力的橋梁，更是學生學科素養的核心.通過觀察（Ⅰ）至（Ⅲ），滲透轉化思想，有助于學生認清知識結構，從而將問題抽象成一般的數學模型——特殊三角形.另外，通過追問，便于學生發現問題集中在直角三角形中，借助幾何直觀，有助于對數學問題發揮直觀想象，為后面的變式2的研究提供思維上的借鑒，從而發展核心素養.另外，通過變式1，導出方程思想，將數學知識內化為等腰三角形的三線合一，從而得出中位線，并借助方程提升學生的邏輯推理能力.

從本課的案例來看，往往將課堂教學與數學素養結合的追求是一種現階段理想化的課堂，理想的數學課堂是多維度、多模式的，核心素養更是全方位、立體化的，將數學學科核心素養與理想的數學課堂教學有機整合，是數學課堂教學一次全新的嘗試.從現有的教學來看，筆者認為今天這種例題重組教學是有意義的，這與高效課堂的理念不謀而合.理想的數學課堂因為各種各樣的原因，尚不能完全普及到各年級的教學實踐當中，但是教師對于新一輪課程標準的理解和課程改革的發展趨勢，有需要超前一步的探索勇氣，這種探索有助于教師自身對于教學有更高層次的理解和更專業化的發展，有助于學生數學素養的提高，更讓數學教學站在了系統的高度，讓學生獲得了前所未有的視野，這便是一種成功.

總之，數學例題往往只提供一種思路，或者只承擔一種價值，但我們在例題教學時，要學會欣賞與批評，更要通過重組與創新，來提升課堂效率，發展學生的數學學科核心素養.