核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)整體化策略研究
——以圓周角的教學(xué)為例

☉江蘇省無(wú)錫市東林中學(xué) 方薇燕

策略研究是從觀念走向行動(dòng)的研究，一般需要從理論上給出實(shí)踐的操作思路和操作方法.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)整體化教學(xué)的基本思路如下：從問(wèn)題情境出發(fā)，設(shè)計(jì)研究步驟，有目的地設(shè)計(jì)和進(jìn)行探索性實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想、進(jìn)行證明或驗(yàn)證.下面以蘇科版教材九年級(jí)上冊(cè)“圓周角”為例，說(shuō)明數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)整體化策略研究的思路和操作方法.

一、“整體化”的教學(xué)策略

1.整體化設(shè)計(jì)探究情境，激活認(rèn)知情趣

第一步，情境引趣——生成感知.

在射門(mén)游戲中，球員射中球門(mén)的難易程度與他所處的位置B對(duì)球門(mén)AC的張角∠ABC有關(guān).（教師出示圖片，圖略，提出問(wèn)題）圖中∠ABC是圓心角嗎？什么是圓心角？圖中∠ABC有什么特點(diǎn)？（學(xué)生通過(guò)與圓心角的類(lèi)比、分析、觀察得出∠ABC的特點(diǎn)，進(jìn)而概括出圓周角的概念，教師引導(dǎo)并板書(shū)）定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫作圓周角.概念辨析：判斷下列各圖形中的角是不是圓周角，并說(shuō)明理由.（圖略.通過(guò)概念辨析，讓學(xué)生理解圓周角的定義，提高學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，教師強(qiáng)調(diào)知識(shí)要點(diǎn)）強(qiáng)調(diào)：圓周角必須具備的兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上，②兩邊都與圓相交.

第二步，操作觀察——升華感知.

畫(huà)一個(gè)圓心角，然后畫(huà)同弧所對(duì)的圓周角.你能畫(huà)多少個(gè)圓周角？用量角器量一量這些圓周角及圓心角的度數(shù)，你有何發(fā)現(xiàn)呢？（教師提出問(wèn)題，學(xué)生作圖、度量、分析、歸納出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論）

在圓周上取點(diǎn)C，度量∠ACB，拖動(dòng)點(diǎn)C，∠ACB的大小變化嗎？∠ACB與∠AOB的大小有什么關(guān)系？

創(chuàng)設(shè)情境是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程的前提和條件，其目的是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維場(chǎng)景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)要精心設(shè)計(jì)，要有助于喚起學(xué)生的積極思維.

圖1

二、整體化設(shè)計(jì)探究過(guò)程，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究

1.經(jīng)歷有效的微探究過(guò)程，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

實(shí)驗(yàn)過(guò)程如下：①學(xué)生動(dòng)手用幾何畫(huà)板畫(huà)出圖形，拖動(dòng)點(diǎn)A、B，進(jìn)行試驗(yàn)并記錄下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；

圖2

②拖動(dòng)點(diǎn)C，探索出點(diǎn)O和∠ACB的三種位置關(guān)系；

圖3

③在⊙O內(nèi)、外取點(diǎn)P、Q進(jìn)行試驗(yàn)，探索結(jié)論是否正確.

圖4

整體設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程是真正的核心環(huán)節(jié)，實(shí)驗(yàn)首先通過(guò)度量，比較兩邊都與圓相交且頂點(diǎn)分別在圓上、圓內(nèi)、圓外三種情形的角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)三種情形之間角的大小關(guān)系.

學(xué)生采取小組合作的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)，教師巡視指導(dǎo)，啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)添加輔助線，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，學(xué)生寫(xiě)出證明過(guò)程，并討論歸納出結(jié)論，教師做出點(diǎn)評(píng)結(jié)論：在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該條弧所對(duì)圓心角的一半.在整體化拓展環(huán)節(jié)，引出重點(diǎn)將上述結(jié)論改為：在同圓或等圓中，等弧所對(duì)的圓周角相等嗎？（學(xué)生思考、推理、討論、總結(jié)出圓周角定理，教師板書(shū)）

根據(jù)學(xué)生的活動(dòng)與實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生做出如下的歸納和猜想：

（1）頂點(diǎn)在圓上，并且角的兩邊都和圓相交的角叫作圓周角；

（2）觀察、分析、比較實(shí)驗(yàn)中所得的計(jì)算結(jié)果，猜想：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)圓心角的一半；

（3）用數(shù)學(xué)符號(hào)表示猜想所得圓周角定理.

2.驗(yàn)證數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的正確性

對(duì)于學(xué)生的歸納和猜想，要求學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)理論證明，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中體現(xiàn)出來(lái)的分類(lèi)討論、特殊與一般、化歸的數(shù)學(xué)思想方法.

圖5

得出圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.（教師強(qiáng)調(diào)圓周角定理的內(nèi)容，學(xué)生思考、默記、熟悉定理，加深對(duì)定理的理解）

3.整體化應(yīng)用設(shè)計(jì)，挖掘資源，培養(yǎng)認(rèn)知策略

第一步，抓住資源——元認(rèn)知策略.

例如圖（圖略），在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°，求∠A.（鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法解決問(wèn)題，發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，讓學(xué)生書(shū)寫(xiě)推理計(jì)算過(guò)程，教師補(bǔ)充、點(diǎn)評(píng)，并和學(xué)生一起歸納解法.兩種解法分別應(yīng)用了圓周角定理中的兩個(gè)結(jié)論，進(jìn)一步對(duì)本節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)熟練深化，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生規(guī)范的書(shū)寫(xiě)表達(dá)能力）

第二步，優(yōu)化資源——反省認(rèn)知策略

回到一開(kāi)始創(chuàng)設(shè)的情境，足球比賽中，甲帶球向?qū)Ψ角蜷T(mén)PQ進(jìn)攻，當(dāng)他帶球沖到點(diǎn)A時(shí)，同伴乙已經(jīng)沖到點(diǎn)B，這時(shí)甲是直接射門(mén)好，還是將球傳給乙，讓乙射門(mén)好（僅從射門(mén)角度考慮）？（圖略.選用學(xué)生熟悉的生活材料，讓學(xué)生通過(guò)合作交流，討論出合理的解答方法.通過(guò)本題的練習(xí)，使學(xué)生體會(huì)到生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，從而激發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)）

三、對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)整體化策略研究的思考

著名的數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)總結(jié)過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的三條原則，其中重要的一條是自覺(jué)主動(dòng)的學(xué)習(xí)，他認(rèn)為“學(xué)習(xí)過(guò)程是積極的……自己頭腦不活動(dòng)起來(lái)，是很難學(xué)到什么東西的”.學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，獲得感性認(rèn)識(shí)，得出有用的結(jié)論，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中觀察現(xiàn)象、提出問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的想象力、解決問(wèn)題的能力和思維能力.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的整體化策略研究可以從圖6中清晰地獲得：

圖6

整體性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)采取探究式和發(fā)現(xiàn)式的教學(xué)方法，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教師始終只是向?qū)W生提問(wèn)，通過(guò)提問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，進(jìn)行觀察、分析與思考.“歸納或猜想”一定要由學(xué)生自己得到，如果學(xué)生得不到教學(xué)預(yù)期的效果，教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生再次實(shí)驗(yàn)，再次觀察和分析，直到獲得成功.如果到下課時(shí)間，學(xué)生還未獲得預(yù)期的發(fā)現(xiàn)，教師可以指出要注意的事項(xiàng)，讓學(xué)生課后或在家里繼續(xù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)（作為作業(yè)），直到獲得發(fā)現(xiàn)為止.在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教師絕不要代替學(xué)生回答問(wèn)題，學(xué)生未能獲得發(fā)現(xiàn)，只意味著實(shí)驗(yàn)尚未完成，而教師代替學(xué)生回答問(wèn)題，則表示實(shí)驗(yàn)失敗.在學(xué)什么和怎么學(xué)的問(wèn)題上，教師始終都起主導(dǎo)的作用，而整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生也始終處于主動(dòng)學(xué)習(xí)的地位，這是整體化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程最大的區(qū)別.

整體化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)歸根到底是情境化策略的一種具體實(shí)施.情境是湯，知識(shí)是鹽，鹽只有溶于湯才好入口，抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)只有通過(guò)具體的操作過(guò)程才能更易于學(xué)生理解和掌握.如果說(shuō)整體化策略是知識(shí)之間的關(guān)系問(wèn)題，那么核心素養(yǎng)觀下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解決則是知識(shí)與背景、理論與實(shí)踐、數(shù)學(xué)邏輯與現(xiàn)實(shí)生活之間的關(guān)聯(lián)問(wèn)題.從學(xué)科化的角度說(shuō)，整體化的策略既對(duì)應(yīng)了學(xué)科的內(nèi)部化，又有效地展現(xiàn)了外部學(xué)科化的特點(diǎn).F