增大問題設置的“場景”，促進思維力的生長
——以“分式的乘方”教學為例

☉江蘇省南京市竹山中學 黃秀旺

一、問題的提出

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）在“課程性質”中指出：“數學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能，培養學生的抽象思維和推理思維能力，培養學生的創新意識和實踐能力，促進學生在情感、態度與價值觀等方面的發展.”然而在“數與代數”內容教學時，問題設置過于封閉，開放性不夠，沒有把所學內容放在一個有利于學生思維發展的大場景中，結果造成學生在學習“數與代數”內容時，過于把落腳點放在技能訓練上，學生缺乏在此內容上的思維發展.我以人教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊第十五章第2節“分式的運算”第2課時“分式的乘方”為例，進行課堂教學實踐.

本節教材的第1課時先學習分式的乘除運算，然后從例4導入第2課時，我們通常的教學是：先復習分式的乘除運算法則（可以直接回顧運算法則，也可以通過小練習來復習），然后直接出示例4，進入新課講授環節；通過“思考”探索分式的乘方，進而過渡到例5，探究分式的乘方、乘除的混合運算.整節課，訓練為主，這也是代數課的常態.

如果我們做進一步的反思，會發現以上教學設計似乎缺少點什么.首先，從研究“數與代數”中“運算”的角度，學習了分式的乘除運算之后，接下來學習什么運算，學生對此有沒有合理的思考呢？其次，分式的乘方運算法則如何探索呢？不能僅僅按教材簡單地填空作答；再次，分式的乘方、乘除的混合運算的算法是如何建立的？這與實數的混合運算有何關系呢？以上三點思考，顯然突破了代數課訓練層面，更加追求數學教學的育人價值.

圖1

二、教學過程設計

1.提出問題

問題1：我們學習了分式的乘除運算，你認為接下來學習什么運算？

設計意圖：此問試圖引導學生從運算的角度做深入思考，由于之前學習了整式的運算，但沒有提及整式的乘方，故學生難以從整式的角度思考下去；繼續引導學生從數的運算的角度思考，即有理數運算的角度，這時學生不難聯想到有理數的乘除法之后學習了有理數的乘方，進而猜想接下來要學習分式的乘方.此設計，類比有理數運算，滲透數式通性，貫穿一致性，讓學生的思考來得自然.

2.探究分式乘方的法則

問題2：你打算怎么研究分式的乘方運算？

追問1：分式的乘方是一個什么樣的形式？不妨寫一寫.

設計意圖：首先從分式及乘方兩個關鍵詞中獲得“樣子”，學生自己寫出“樣子”，這本身就是一種“發現”，也是對分式概念及乘方的再理解.

追問2：寫出探究分式乘方運算法則的過程，并說一說如何想到的.

設計意圖：學生可以類比分數的乘方進行探究，從特殊到一般歸納出分式的乘方法則；或根據之前探究同底數冪乘法、冪的乘方、積的乘方的經驗，直接根據乘方的意義，獲得分式的乘方法則.

3.分式的乘除、乘方的運用

問題3：至此，我們學習了分式的乘除法、分式的乘方，按照運算的級數劃分，有哪些情形？請舉例說明.

設計意圖：把分式的乘除法、乘方置于運算系統里整體理解，有利于學生整體建構數與式的運算.有單一的分式乘方、分式乘法、分式除法，有含兩個及以上的多個運算，如分式的乘除法，含乘方、乘除法的混合運算等.這樣的問題引導，力避學生按部就班接受式的訓練，不僅會做題，還明白為什么做這些題、怎樣做這些題.

設計意圖：借助有理數乘除混合運算的方法，獲得分式的乘除混合運算的一般思路，也就是說像有理數乘除混合運算一樣，分式的乘除混合運算可以統一為乘法運算.同樣，借助有理數乘除、乘方混合運算的方法，獲得分式的乘除、乘方混合運算的一般思路，數與式有相同混合運算順序：先乘方，再乘除.

4.課堂小結

問題4：通過本節課的學習，你有哪些收獲？

設計意圖：通過課堂小結，不僅僅獲得分式乘除法的運算思路、分式乘方的法則、分式乘除及乘方混合運算的順序，還引導學生總結探究結論過程中的數學思考，不斷積累數學活動經驗，進一步加深對數式運算的認識.

三、教學思考

1.將“課時內容”置于節、章、模塊中思考

除了復習課、習題課、試卷講評課，通常一個課時的教學內容，多數為一個概念或一個定理、一個法則，這就容易造成我們教學設計的視角較窄，往往就知識點論知識點，只見樹木不見森林，無形中讓數學的學科育人價值大打折扣，長久下去，學生不會學數學，喪失對數學學習的興趣.《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“數學知識的教學，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學的知識置于整體知識體系中，注重知識的結構和體系，引導學生感受數學的整體性.”

本節課的設計告訴我們，如果把課時內容置于“分式的運算”“代數式的運算”“數與式的運算”這些不同層次的背景中，我們會產生許多“疑問”：學習了分式的乘除法，接下來學習什么內容？怎么學習新內容？分式的運算與整式的運算、有理數的運算有什么聯系？等等.當教學設計關注這些疑問時，學生獲得的不僅僅是運算的技能，還能獲知分式乘方在運算中的地位，還能獲知不同運算的前后聯系，也能獲得探究問題的方法，思維得到了充分的發展，同時積累了更多數學活動經驗.

2.思維生長需要有效問題的引導

學生只有真正思考了，思維才能得到發展.杜威曾說過：“學習就是要學會思維，教育的目的不是學會知識，而是習得一種思維方式.”有效問題的價值體現在學生對數學知識本質真正意義上的理解與掌握，并由此激活學生的思維.然而，許多課堂缺少有效的問題引導，特別是代數內容的課堂.就本節課而言，容易上成習題課：學生在教師的安排下練習—校對—訂正—再練習（題組呈現），結果能正確計算，但學生并不知道本節課內容在“數與代數”中的地位與作用，學生沒有經歷“提出問題—分析問題—解決問題”的過程，而這個過程是學生思維發展的關鍵環節，并且新問題是在原問題的基礎上自然生成的，讓學生的思考變得自然、變得必然.

3.處理好技能訓練與能力發展之間的關系

在數學學習中，技能訓練是必須的，問題的關鍵在于是不是在合適的時機訓練.日常教學中，有的教師重技能訓練，忽視法則的建構，明顯特征是探究過程不充分，使得整節課變成技能訓練課，這不利于學生能力的發展.

以本節課為例，學生在探究分式乘方法則時，要嘗試，要發現，這個環節有技能訓練，也就是將技能訓練融入在探究發現中；在明晰分式乘除、分式乘方之間關系，以及分式混合運算的幾種情形后，再進行技能訓練，也就是將技能訓練放在宏觀層面的思考之后進行，讓技能訓練有目標指向、有方法指引、有先前經驗的指導.F