從習(xí)題到問題：促進(jìn)習(xí)題教學(xué)品質(zhì)提升
——基于習(xí)題改編的視角

☉江蘇省無錫江陰實驗中學(xué) 孟協(xié)軍

研讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下），參考文獻(xiàn)［1］～［3］都提及要讓習(xí)題走向問題，并通過一些具體的案例生動、形象地解釋了習(xí)題如何走向問題，怎樣提升教學(xué)效益，并促進(jìn)習(xí)題教學(xué)品質(zhì)的提升，這類“接地氣”“無標(biāo)簽”的“來自田野”的一線教師案例分析的文章讀來受益頗多.受到啟發(fā)，筆者結(jié)合最近一段時間以來教學(xué)過程中收集到的一些習(xí)題改編成問題的案例，談?wù)劻?xí)題如何走向問題，以及對促進(jìn)習(xí)題教學(xué)的品質(zhì)提升有怎樣的作用.

一、習(xí)題走向問題的案例分享

案例1：一元一次方程的解法相關(guān)的習(xí)題講評

習(xí)題：已知方程x-2=5，則x=____.

問題：請寫出一個關(guān)于x的方程，使得方程的解為x=7（最好別讓你的同桌一眼就看出這個解來），并在小組內(nèi)解釋你的設(shè)計意圖.

改編解讀：作為一道習(xí)題，只是訓(xùn)練了一個一元一次方程的解法，并且問題是一種封閉式呈現(xiàn)；而改編成問題之后，問題開放，訓(xùn)練目標(biāo)也達(dá)成了，而且讓學(xué)生多了一些參與問題設(shè)計的興趣，也是促進(jìn)學(xué)生思維被“卷入”問題的較高立意.

案例2：劃船收費問題

習(xí)題：某公園劃船項目收費標(biāo)準(zhǔn)如下：

表1

求：租兩條四人船和一條六人船要多少租金？

問題：在以上收費標(biāo)準(zhǔn)（見表1）的基礎(chǔ)上，某班18名同學(xué)一起去該公園劃船，若每人劃船的時間均為1小時，先獨立分析租船的總費用最低多少元，并向你的小組成員解釋租船方案.

改編解讀：原來的設(shè)問只是小學(xué)里簡單的計算問題，而改編成問題之后，就需要進(jìn)行分析、計算、比較、優(yōu)選，從習(xí)題走向問題之后，這個問題的訓(xùn)練價值得到充分提升和拓展.

案例3：相同價格賣出兩件商品問題

習(xí)題：某商店在某一時間以每件120元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利20%，另一件虧損20%.求這兩件衣服的成本價分別是多少元.

問題：“題干”不變，分析賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧，并說明理由.

改編解讀：原來的習(xí)題只是封閉式計算，缺少對問題進(jìn)行全面分析，并研判和決策，而后來改變設(shè)問之后，不但需要運算，而且需要進(jìn)行分析、比較、決策、說理.事實上，教學(xué)過程中，還可以將問題表述中的數(shù)據(jù)一般化為一些參數(shù)，如賣出價為a元，其余不變，則分析的結(jié)果仍然是虧損的.

案例4：分式計算的糾錯問題

習(xí)題：以下是某學(xué)生分式計算化簡的步驟：

上面的計算步驟有錯誤嗎？如果有錯誤，請指出哪一步出現(xiàn)錯誤，并訂正.

問題：數(shù)學(xué)活動課上，老師設(shè)計了“接力游戲”，小組合作，完成分式化簡.規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡.過程如圖1所示：接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯誤的是（）.

A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁

圖1

改編解讀：這題由2019年河北中考試題改編而來，該題雖然是一道選擇題，但又不只是一道習(xí)題，而是達(dá)到了“問題”的功能，因為將這個習(xí)題包裝在一個“接力游戲”中，學(xué)生需要逐個檢驗不同學(xué)生的運算.比如，發(fā)現(xiàn)乙在計算時，把1-x變換成x-1沒有添加負(fù)號，導(dǎo)致錯誤；丁在計算時，正確的結(jié)果應(yīng)該是所以乙和丁都出現(xiàn)了錯誤.這樣的問題既達(dá)到了考查功能，也有問題價值，傳遞了學(xué)生要善于糾錯與究錯，并在小組合作中感受到每個成員的重要性.

案例5：角平分線的性質(zhì)探究

習(xí)題：如圖2，在△ABC中，AD是它的角平分線.求證：S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.

圖2

圖3

問題：如圖2，在△ABC中，AD是它的角平分線.小成從面積公式的角度經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)AB∶AC=BD∶CD.你覺得小成的發(fā)現(xiàn)是否有道理？說明理由.

改編解讀：“習(xí)題”訓(xùn)練的作用主要是讓學(xué)生“過點D分別作AB、AC的垂線，垂足分別為點E、F”（如圖3），并利用面積公式得出S△ABD∶結(jié)合角平分線上的點到角的兩邊距離相等（DE=DF），可得S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.而改編成問題之后，學(xué)生需要深入研究，利用面積之比作為“中間量”，而將兩個小三角形的面積“算兩次”也很好地發(fā)揮了作用，成功解決這個問題有利于對三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)有更加豐富的理解.

案例6：勾股定理

習(xí)題：已知直角三角形，求證兩條直角邊平方之和等于斜邊的平方.

問題：請獨立探究直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.以小論文的方式呈現(xiàn)你的探究與發(fā)現(xiàn).

改編解讀：上面的習(xí)題只是證明勾股定理，并且該命題的題設(shè)與結(jié)論都是明確的，難度大大下降，這種習(xí)題的證明目標(biāo)已明確，學(xué)生只需要貫通證明思路或路徑；而改成問題之后，需要學(xué)生探究結(jié)論，就像鼓勵學(xué)生研究并提出問題一樣，訓(xùn)練的品質(zhì)當(dāng)然上了臺階.當(dāng)然，這類問題是不宜作為平時課堂上的例、習(xí)題使用的，因為需要給足學(xué)生時間進(jìn)行思考、研究、整理.

二、關(guān)于習(xí)題走向問題的進(jìn)一步思考

1.從習(xí)題到問題，讓習(xí)題教學(xué)品質(zhì)大大提升

從習(xí)題到問題，一字之別，但卻是教學(xué)理念、教學(xué)價值觀的重要轉(zhuǎn)變，因為從上面所舉的一些案例能發(fā)現(xiàn)：習(xí)題并一定是問題.若我們把習(xí)題教學(xué)當(dāng)作問題教學(xué)進(jìn)行預(yù)設(shè)和研習(xí)，就使得我們的教學(xué)品質(zhì)大大提升.在這里教學(xué)品質(zhì)的內(nèi)涵可能會有很多方面，但讓一道習(xí)題的單一功能、相對封閉的研究價值更加豐富，讓習(xí)題成為一個有價值的問題、開放的問題來驅(qū)動學(xué)程，促進(jìn)師生對話.

2.從習(xí)題到問題，需要修煉命題專業(yè)基本功

從習(xí)題到問題，需要針對原有習(xí)題進(jìn)行變式改編，這就需要教師修煉命題的專業(yè)基本功，教師需要學(xué)會一些常見的命題技術(shù)，如簡單改編、條件與結(jié)論的置換、生長拓展等技術(shù).在此基礎(chǔ)上，由于改編成問題是為了教學(xué)需要，作為學(xué)程推進(jìn)或預(yù)設(shè)追問來引導(dǎo)更多學(xué)生參與課堂，把學(xué)生思維卷入課堂問題中，所以不但需要對習(xí)題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)馗木帲€需要結(jié)合班情、學(xué)情進(jìn)行一些可能的追問.

3.從習(xí)題到問題，讓習(xí)題研究走向教學(xué)研究

從習(xí)題到問題，也是促進(jìn)教師本身從習(xí)題的解法研究走向教學(xué)研究，前者相對“較窄”，而后者就比較寬廣，因為讓一道習(xí)題成為走入課堂的“學(xué)材”式問題，需要精心預(yù)設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)，進(jìn)行追問與評價，并預(yù)設(shè)學(xué)生可能的解答、可能的錯誤或可能的障礙點，等等.也就是說，我們試圖讓習(xí)題教學(xué)走向問題驅(qū)動式的課堂教學(xué)，這樣就能讓學(xué)生不止于學(xué)習(xí)一道習(xí)題，而是通過學(xué)一道題的解法到全面深入研究一類問題.可以發(fā)現(xiàn)，要讓學(xué)生有問題意識，或?qū)W會提問、善于提問，教師首先要有問題意識，明辨習(xí)題與問題的差別.這樣，教學(xué)過程中才能適時改變習(xí)題的呈現(xiàn)形式，使得一些封閉式習(xí)題稍稍一變，成為一個有價值的問題，并以此驅(qū)動教學(xué)進(jìn)程.