關注圖形結構，拓展應用探究
——以2019年泰州市中考數學第25題為例

☉江蘇省淮陰中學開明校區 韓 建

幾何是初中數學重要的知識內容，而在實際中考中常以綜合題的形式考查，其中涉及眾多的幾何性質和定理，同時圖形結構較為復雜.合理把握圖形特點，活用幾何模型是問題突破、效率提升的關鍵.本文以一道中考幾何綜合題為例，開展試題解析、賞析，并對其中的模型結構進行拓展探究，與讀者交流.

一、真題呈現

以下是2019年江蘇省泰州市中考數學幾何綜合壓軸題：

如圖1所示，線段AB=8，射線BG⊥AB，P是射線BG上一點，以AP為邊作正方形APCD，且點C、D與點B在AP兩側，在線段DP上取一點E，使∠EAP=∠BAP，直線CE與線段AB相交于點F（點F與點A、B不重合），試回答下列問題.

（1）求證△AEP△CEP；

圖1

（2）試判斷線段CF和AB的位置關系，并說明理由；

（3）試求△AEF的周長.

二、試題解析

本試題共分三個小問，題干給出了圖形構建的過程，首先需要根據文字描述理解圖形的結構，然后結合對應的問題來探究具體的解題思路，具體如下：

（1）該問為三角形全等證明，需要根據題干信息來探尋三角形全等所需的條件，需要注意△AEP 和△CEP均是依托正方形構建的，因此需要充分利用正方形的性質.

已知四邊形APCD為正方形，DP為其一條對角線，根據其性質可得PC=PA，∠CPE=∠APE=45°，因此在△AEP和△CEP中，有，所以△CEP（SAS），證畢.

（2）該問屬于線段位置關系判斷題，初步觀察兩線段為垂直關系，有兩種證明思路.思路1是由角出發，通過證明∠AFC=90°加以確定.思路2則是通過證明CF∥BG來完成，因題干給出射線BG⊥AB，若CF與BG相平行，則有CF⊥AB.

方法1：直接求角度∠AFC=90°存在一定困難，可以將其放置在三角形中.設FC與AP的交點為點M，則∠AFC為△AFM的一個內角，只需要證明∠AMF與∠AFM互余.

方法2：證明兩線平行，由兩線平行的判定定理可知需要分析其中存在相等關系的內錯角、同位角或互補關系的同旁內角.根據條件可知BG⊥AB，若CF∥BG，同樣可證CF⊥AB，具體如下.由可得∠EAP=∠ECP.結合∠EAP=∠BAP，可推得∠ECP=∠BAP.由于所以∠GPC=∠BAP，進而可得∠ECP=∠GPC.根據“內錯角相等，兩直線平行”，可得CF∥BG，所以CF⊥AB.

（3）該問求解△AEF的周長，題干只給出了線段AB的長度，因此實際上就是分析AF+EF+AE與線段AB之間的長度關系.除了AF與AB共線，其他兩條線段EF和AE均與其不共線，因此需要通過線段組合、等長轉化等方式，將其轉化到AB所在直線上，或建立與AB所在直線上相關線段之間的長度關系.

圖2

三、試題賞析

上述考題分為三問，并采用難度遞進的設問方式，主要考查初中角平分線、正方形、三角形的性質定理等核心知識，是對學生空間幾何觀、定理應用能力、邏輯推理能力的綜合考查.下面結合解題過程對試題加以賞析.

1.設問賞析

第（1）問是常規的三角形全等證明，需要根據全等的判斷定理來探尋條件.復合圖形中存在正方形，因此解題核心就是依托正方形的性質來提煉等邊、等角條件.第（2）問求證兩線的位置關系，主要考查三角形全等的判定和性質定理.對于該類型幾何題的求解，需要采用“猜想→證明”的方式，即分兩步進行：第一步，通過直觀判斷來猜想兩線之間的位置關系；第二步，利用幾何知識對其加以證明，該過程中同樣可以對猜想做出修正.觀察復合圖形，顯然兩線為垂直關系，考慮到所給圖形的特殊性，證明有多種方法，傳統的方法是以角度作為切入口，將所求角放置在三角形中加以證明.更切合圖形結構的方法是以兩線平行來進行垂直轉化.無論哪一種方法，最后均需要歸結于三角形的內角分析.第（3）問是該幾何壓軸題的核心之問，也是兼具邏輯分析、幾何轉化的一問，表面上是求解三角形的周長，但分析題中所給條件，需要利用已知線段長對其加以表示，實際上就是分析不共線線段之間的長度關系，這是命題人的本意，因此該問屬于線段長的關系分析題，充分利用圖形之間的位置關系和長度關系是解題的關鍵所在.

2.圖形賞析

圖3

對復合圖形的提煉、轉化是幾何壓軸題的重要考查點，也是幾何綜合題突破求解的難點之一，而充分把握圖形結構、理解幾何元素關系、靈活運用圖形特性是解題的關鍵.上述復合圖形中綜合了正方形、三角形、兩線垂直、角平分線等幾何內容，設問也是依托這些幾何內容進行.雖圖形較為復雜，但實際解題時需要針對設問來拆解圖形，從中提取有用的部分，排除干擾.深入分析圖形，實際上該復合圖中隱含著初中數學常見的“K”型圖，即過點C作CN⊥PB可構建三垂直圖形結構，如圖3所示.△CPN和△ABP均為直角三角形，且兩個三角形其中的兩條直角邊共線（邊NP和BP共線），共用一個頂點（點P為兩個三角形的公共頂點），該“K”型圖的顯著特點是存在三個垂直關系，以圖3為例，有CP⊥AP、CN⊥PN、BP⊥AB.“K”型圖是一種較為特殊的圖形結構，構成“K”型圖的兩個三角形互為相似三角形，即通過其中的三垂直關系可以轉化出等角關系，這是“K”型圖的性質所在，上述考題第（3）問的第一步在求證兩三角形全等時就是充分利用“K”型圖的結構性質.

四、圖“型”的拓展

“K”型圖的性質定理核心是同角或等角的余角相等，利用該性質定理可以較為簡潔地獲得三角形全等的證明條件，從而顯著提高解題效率.“K”型圖在幾何全等問題中有著廣泛的應用，而上述只是其中的一種類型——經典三垂直模型，下面對其深入探索.

1.經典模型——特殊角

對于經典的三垂直模型，還存在如下三種垂直變化模型，具體如下.

將上述經典模型中的兩個三角形沿著共線邊向左或向右滑動，則可以得到如圖4所示的模型，該模型同樣是不同三角形的兩個直角邊共線.若更換共線邊，使一斜邊和另一三角形的直角邊共線，則可以得到圖5所示的模型.若將兩個三角形翻折可以得到如圖6所示的模型.無論哪種模型，其中均存在垂直關系，其中除了三角形本身所具有的直角垂直關系，還存在兩三角形有邊垂直的特點，這是構建余角相等的關鍵所在，而實際證明過程均一致，以圖6為例，過程如下.

圖4

圖5

圖6

條件：在圖6中，已知△ABE和△BDC均為直角三角形，其中∠AEB=∠BDC=90°，且有AB⊥BC.

求證：∠A=∠DBC.

證明：因為∠AEB=∠BDC=90°，AB⊥BC，所以所以∠A=∠DBC.

利用等角的余角相等特性，結合其中的邊相等可實現兩個三角形全等的證明，這也是上述考題第（3）問的求證思路.

2.一般模型——一般角

經典“K”型圖是以三組特殊的垂直關系為依托構建的，而對其中的角度一般化則可以實現“K”型圖的一般化拓展.以本考題所涉及的模型結構一般化為例，若去掉其中的垂直關系，僅確保其中涉及的三角相等即可實現模型的一般化.以銳角為例，如圖7所示，其中∠B=∠E=∠ACF=α（其中α為銳角），∠B和∠E分別為兩個三角形的內角，而∠ACF為兩個三角形兩邊的夾角構成的.在該一般化“K”型圖中，同樣存在著不同三角形中的等角性質，且其證明過程與經典模型相一致，以α=60°為例，過程如下.

圖7

圖8

條件：如圖8所示，點B、C和E位于同一直線上，且∠B=∠E=∠ACF=60°.

求證：∠BAC=∠FCE.

證明：在△ABC中，∠B=60°，則∠BAC+∠ACB=120°.由已知∠ACF=60°，得∠ACB+∠FCE=120°，則∠BAC=∠FCE.

五、寫在最后

中考試題是對學生綜合知識的應用考查，對學生的邏輯思維和分析推理能力有著較高的要求，對其中的幾何綜合題，不僅需要理解教材中涉及的幾何定理，還需要準確識別圖形，整體把握圖形結構，合理地對圖形拆解、提煉，得出有利于解題的圖形部分.在平時的學習中，注重幾何模型的提煉、積累顯得尤為重要，也是提升圖形識別能力、提高解題效率的重要方式.另外，歷年中考中存在眾多優秀試題，以考題為依托，開展拓展學習、模型強化更能提升學生的綜合能力，因此在教學中教師需要引導學生關注類題的研究，重視模型的學習，逐步發展學生的數學思維.