構造輔助圓 巧解初中數學幾何問題

☉江蘇省常熟市孝友中學 陳艷秋

在解決初中數學幾何問題時，很多證明題無法通過常規思路進行論證，而轉換思路，借助繪制輔助圓的方式能夠有效解決.輔助圓的方法，就是基于題目本身的特征，結合圓的相關性質、特征，巧妙地解決問題.本文以蘇科版初中數學為例，介紹幾種常見輔助圓構造案例及相關的解題思路.

一、問題背景

在解決初中數學幾何問題時，有部分題目直接求解或證明的難度較大，解題過程煩瑣、復雜，在有限的考試時間內解得正確結果的難度較大.在這種情況下，添加必要的輔助線有利于綜合分析已知條件，梳理解題思路.在解題過程中，平行線、垂線等直線段是最常用的輔助線.

與此相類似，在一些幾何問題中，我們需要構造另外一個幾何圖形來輔助解題，如通過平移、旋轉等方式來繪制全等圖形，這種借助其他幾何圖形來解題的方法就是構造輔助圖形.在實際解題中，我們經常會構造圓形，即繪制輔助圓，借助圓的性質很容易就可以得到相應的結論.當然，在已知的題目信息中，圓是不存在的，或者已知信息中的圓并不是我們采用特定方法解題所需要的，這時我們需要自行構造圓形，因此如何根據已知信息及選用的方法要求來繪制輔助圓是這一方法的關鍵，需要我們基于已知條件，結合幾何圖形，從所需得到的結論反推，得出缺失的條件，最終確定如何構造輔助圓.

二、構造輔助圓法案例解析

（一）已知“直角三角形”“90°角”等關鍵信息

案例1：如圖1所示，在直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點P位于CB的延長線上，BP與BC的比值為k，已知k的取值范圍為（0，1）.經過點B作AB的垂線，經過點P作AP的垂線，兩垂線的交點為點Q，連接AQ，試求解三角形ACB與三角形APQ的面積之比.

圖1

解析：根據已知條件，∠ABQ=∠APQ=90°，因此A、B、P、Q四點共圓，因此，可以繪制輔助圓O.可知∠PAQ=∠PBQ=45°，進而確定三角形APQ為等腰直角三角形，很容易就可以求解兩個三角形的面積之比.

由已知條件，∠ABQ=∠APQ=90°.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，可知∠ABC=∠BAC=45°，則∠PBQ=180°-90°-45°=45°.

因為∠ABQ=∠APQ=90°，可知點P與點B都在以線段AQ為直徑的圓上，因此繪制輔助圓O，那么∠PAQ=∠PBQ=45°，則∠PQA=90°-45°=45°，則PA=PQ，即三角形APQ為等腰直角三角形.

（二）“共頂點、等線段”問題

案例2：如圖2所示，已知四邊形ABCD滿足：AB∥CD，AD=DC=DB=p，BC=q，試求解對角線AC的長度.

解析：在四邊形ABCD中，已知DA=DB=DC，因此可以以點D為圓心，以DB的長為半徑構造輔助圓，即三角形ABC的外接圓.易知∠CAE=90°.AB∥CD，則BC=AE.在直角三角形ACE中計算AC的長度，即

圖2

（三）動態幾何問題

在平面內，如果已知線段AB，點C是AB外一個動點，并且滿足∠ACB是固定值，那么點C在以AB為弦的圓上.特別地，如果∠ACB=90°，那么點C就在以AB為直徑的圓上.通過這一定理，可以借助繪制輔助圓來解決幾何中的一類動態問題.

證明：如圖3所示，已知線段AB和點C、D，并且∠D=∠ACB.根據“不共線的三點可以確定一個圓”，可通過A、B、C三點作圓O.

如果點D在該圓外，AD和圓O交于點E，連接BE.因為同弧所對的圓周角相等，因此可得∠AEB=∠ACB.因為∠D=∠ACB，所以∠AEB=∠D，這與三角形的外角性質不一致，因此點D不在圓外.

圖3

同理，可以排除點D在圓內的可能.

可知點D在圓O上.若動點所對定線段張角固定，那么該動點在以定線段為弦的圓上運動.當張角為90°時，該定線段為圓的直徑.

案例3：如圖4所示，邊長為4的正方形ABCD的一條對角線BD上有一個動點P，且不與端點重合，連接AP，過點B作直線AP的垂線，垂足為點H，連接DH.試求解線段DH的最小長度.

解析：在這個問題中，∠AHB始終是直角，所對的邊AB是固定線段，因此根據上述原理，很容易就聯想到添加輔助圓來確定點H的運動軌跡，問題就從求DH長度的最小值轉變成了圓外一點到圓上某一動點距離的最小值.

圖4

在點P的運動過程中，∠AHB始終為90°，因此點H在以AB為直徑的圓上，圓心為線段AB的中點，假設為點E.連接DE，與圓交于點M，易知AD的長度為4，AE的長度為2，∠BAD=90°，因此DE的長度為當點H運動至和點M重合時，DH的長度最小，此時DH=DM=

三、結語

在解決部分初中數學幾何問題時，輔助圓是一種有效的工具.靈活、巧妙地構造輔助圓，能夠將原本復雜、不常見、與圓無關的題目簡化，建立與圓的性質、定理之間的聯系.反向推導，構建結論與條件之間的關系，借助圓的定義、性質及判定定理，將復雜的、不常見的題目簡化、一般化，使得原本很難解決的問題得以解決，提高解題效率及效益.

在教學實踐過程中，筆者會有意引導學生通過構造輔助圓來解決幾何問題，學生在解決這類問題時的思路更加多樣，方法的選擇也更加自主，數學思維能力得以提升，部分學生在靈活掌握輔助圖形法的基礎上，學會了自我歸納，總結出適用這種方法的題目的類型及特征，在班級內部進行了分享，這有利于學生準確分析題目，科學選用方法，這正是筆者的教學目標，即突破教學內容的限制，注重數學思維方法與學生自主學習、合作學習能力的提升.