組間對決，組內合作
——一道難題引發的合作教學與再思考

☉江蘇省無錫市江南中學陽光校區 陸 濱

本人在任教九年級數學教學過程中，遇到了如下問題，題目看似不難，方法也頗多，但學生在解決過程中遇到了不少障礙，筆者特拋出這一問題，與各位同仁進行探討和研究：

如圖1所示，在正方形ABCD中，E、F分別是CB、CD的延長線上的點，已知EF=BE+DF，求∠EAF的度數.

本題文字簡練，是一道難得的好題，但學生在實際解決的過程中難以上手，于是筆者十分好奇，與學生進行了探討，想弄清楚困難到底出在哪里.

首先，筆者查閱了該題的出處：原來該題作為一道數學難題刊登在《數學通報》2013年第12期上，用高中三角函數知識解決的，難道就沒有初中解法嗎？這一次，筆者發動了學生的積極性，讓他們去探尋這個題目的發展與變化，結果是令人欣喜的，學生找到了一篇文章《一則數學問題的解法再探》，本文通過平面幾何的變化過程，給出了多種方法，巧妙地解決了這一問題.參與該題研究的學生走到這一步，感覺十分滿意.

那么，能否通過本題來發現一下數學問題的剩余價值呢？通過一個疑難問題，激發學生的思維過程，最終找到研究數學的真諦，甚至獲得一些有用的結論，這種入寶山滿載而歸的感覺是筆者所向往的.于是，針對這一問題，筆者將參與研究的學生分為兩個小組，各自進行小組研究，最終將他們的研究成果進行匯總，歸納出有用的結論.

圖1

一、解法再探

圖2

A組學生借鑒了平面幾何的變化過程，他們進行反復嘗試，得到了以下解答過程：

A組結論：

我們組在閱讀完題目、觀察圖形后，立刻想到求直角三角形內切圓半徑的圖形（如圖2），因為圖1給人的第一直覺與圖2非常相似.加上四邊形ABCD是正方形，易知點A在∠C的平分線上.如果EA平分∠CEF（或FA平分∠CFE），則點A是△CEF的內心，過點A作EF的垂線段AM（如圖3），易證則BE=ME，DF=MF.則EF=ME+MF=BE+DF.與已知條件相符，此時則∠EAF=180°-45°=135°.

我們把上述解法叫作特例法.對于解答選擇題或填空題，由于不需要寫出解答過程，運用特例法有時非常奏效.特例法本質上是對已知條件的特殊化（強化已知條件）.對于解答題，雖然不能直接運用特例法，但特例法可以起到風向標的作用，為我們指引解題方向，幫助我們找到解題思路.

圖3

圖4

B組進行了反駁：

我們小組認為，特例法是在還不能確定點A是否為△CEF的內心的情況下首先假設點A是△CEF的內心.事實上,如果能夠注意到點A在∠C的平分線上，且AD=正好是Rt△CEF的內切圓半徑，由此我們可以猜測點A是△CEF的內心.因此接下來我們只需要證明點A是△CEF的內心，即證明EA平分∠CEF（或FA平分∠CFE），可過點A作EF的垂線段，再看垂線段的長是否等于即可，于是我們有了如下的解答過程：

解：設Rt△CEF的內切圓半徑為r，則r=

設正方形ABCD的邊長為a，則BE+a=CE，DF+a=CF.

以上兩式相加，得BE+DF+2a=CE+CF，即EF+2a=CE+CF.

上述解法的關鍵是發現點A在∠C的平分線上，且到∠C兩邊的距離等于Rt△CEF的內切圓半徑.表面上看這種解法比較麻煩，實則簡捷.另外在解答過程中用到了這樣兩個結論：直角三角形的內切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半，直角三角形的面積等于直角三角形的周長與其內切圓半徑乘積的一半.

看著學生之間激烈的思維碰撞，作為教師，筆者內心是十分欣喜的.在這里適時進行總結是不可少的：兩個組的同學開動了腦筋，你們的發現正是數學研究的一般程序，從特殊走向了一般，所得到的結論是完全正確的.老師此時需要你們更深入地對問題進行研究，我們兩個組的同學不妨進行一下嘗試，能否得出一些有用的結論呢？

二、兩個組的重要結論

這一次B組的學生走在了前面，通過半天的研究和反復論證，B組的學生給出了以下一些結論：

結論1：如果直角三角形的直角平分線上的一點到兩直角邊的距離都等于該直角三角形的內切圓半徑，那么這點是直角三角形的內心.

結論2：如果直角三角形的銳角平分線上的一點到該銳角兩邊的距離都等于直角三角形的內切圓半徑，那么這點是直角三角形的內心.

綜合結論1和結論2，可以得到這樣一個結論：

結論3：如果直角三角形的內部有一點到它的任意兩邊的距離都等于該直角三角形的內切圓半徑，那么這點是直角三角形的內心.

上述結論與直角三角形的內切圓半徑有關.

結論1中的點在直角三角形的直角平分線上，B組派代表進了幾何論證：

已知：如圖5，在Rt△ACB中，∠C=90°，點O在∠C的平分線上.過點O分別作AC、BC的垂線，垂足分別為D、E.如果AD+BE=AB，則點O是Rt△ACB的內心.

證明：根據已知條件易知OD=OE.

連接OA、OB.在線段AB上截取AF=AD，則BF=BE.

過點F作AB的垂線并截取FH=OD.

圖5

則點A是△CEF的內心.

A組的學生這一次反應稍微慢了些，對于B組的結論，他們在稍晚一些的時間也發現了，學生在惋惜之余問我：我們能否在B組同學的基礎上繼續來進行深入研究呢？筆者大為驚喜，于是提出了一個思考和研究的方向：

針對B組結論中的點在直角三角形的直角平分線上，如果在銳角的平分線上，是否還會有類似的結論成立？

A組的學生果然不負所望，他們在B組結論的基礎上得到如下結論，并作圖進行了說明：

過直角三角形銳角的平分線上一點向該銳角兩邊作垂線，如果垂足與另外兩角對應的頂點之間的線段和等于該銳角的對邊，那么這點是直角三角形的內心.

如圖6，在Rt△ACB中，∠C=90°，點O在∠A的平分線上.過點O分別作AC、AB的垂線，垂足分別為點D、E.如果CD+BE=BC，則點O是Rt△ACB的內心.

更為難得的是，A、B兩組的學生進行了通力合作，共同總結出了這樣的結論：

結論4：過直角三角形任意一角的平分線上一點向該角兩邊作垂線，如果垂足與另外兩角對應的頂點之間的線段和等于該角的對邊，那么這點是直角三角形的內心.

結論3是對結論1和結論2的綜合，而結論4又是對結論3的提煉.

這樣一番過程，筆者是非常滿意的，于是有了這樣一個想法，對本題的結論進行進一步的推廣，通過10分鐘的微課時間進行總結和提煉.

圖6

三、微課形式的提煉與推廣

在進行組與組之間的對決之后，筆者通過得到的結論錄制了一節有針對性的微課，對以上結論進行了提煉與推廣.可以看到，上面結論都是根據直角三角形得出的.對于任意三角形，是否仍有類似的結論？可以證明，對于任意三角形，仍有類似的結論：

結論5：如果三角形內部有一點到它的任意兩邊的距離都等于該三角形的內切圓半徑，那么這點是直角三角形的內心.

如圖7，點O是△ABC內一點，過點O分別作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為點D、E、F.設△ABC的內切圓半徑為r，如果OD=OE=r（或OD=OF=r，或OE=OF=r），那么點O是△ABC的內心.

通過對一則問題的探討和研究，讓學生發揮出他們的潛力，得到了許多有用的結論，這樣的課堂是扎實和富有成效的.W

圖7