善建數學模型，解決實際問題

☉江蘇省宜興市楝樹中學 繆小龍

數學建模就是通過對實際問題的抽象與提升，即只提取其中的數量關系、位置關系與圖形形狀，然后，用數學語言對實際問題進行近似的刻畫，使我們對研究對象有更深刻的認識.要進行數學建模，不僅要掌握必要的知識類模型，如概念、運算法則、定理等，而且要掌握必要的應用類模型，如方程與方程組、不等式與不等式組、各類函數、特殊三角形、特殊四邊形、統計中的“三數”與“三差”、概率等.本文以問題為例主要講述應用類模型在實際問題中的建立與轉化.

一、建立方程模型解決實際問題

方程模型是研究現實世界等量關系的數量模型，如現實生活中的行程問題、工程問題、銷售問題、利率問題、面積和體積問題等，當我們只關注其中的等量關系時，就建立了方程模型，通過方程或方程組的解答，達到對實際問題的解決.

例1組織“大手拉小手，義賣獻愛心”活動，購買了黑和白兩種顏色的文化衫共140 件，進行手繪設計后出售，所獲利潤全部捐給山區困難孩子.每件文化衫的批發價和零售價如表1 所示：

表1

假設文化衫全部售出，共獲利1860元，求黑、白兩種文化衫各多少件.

分析：設黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依據“黑文化衫的件數+白文化衫的件數=140”建立第一個方程，依據“售黑文化衫的利潤+售白文化衫的利潤=1860”建立第二個方程，然后解方程組求解.

解：設黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依題意得

點評：建立方程或方程組的數學模型解決實際問題，當直接設未知數不易建立方程時，就間接設未知數，當設一個未知數建立方程不易理解時，可以再設一個輔助未知數.一般設幾個未知數就列幾個方程，從不同的角度建立不同的方程.

二、建立函數模型解決實際問題

現實世界是廣泛聯系與永恒運動的，在數量關系中有運動變化問題，在空間形式中也有運動變化問題，而函數就是研究兩個變量之間變化規律的數學模型，實際生活中的最大利潤、最低成本、最優方案等問題，都可以通過建立函數的數學模型，然后運用函數的性質對問題進行分析和解答.

例2蘇果超市銷售一種飲料，每箱進價是24元，按照超市相關規定，銷售的價格不能低于進貨價.現在售價統一規定為一箱36元，每月能銷售60箱.通過市場調研發現：如果這種飲料的銷售價格每降低1 元，那么，每個月的銷售數量將增加10箱，如果每箱飲料降價x元（x是正整數），每個月的銷售數量為y箱.

（1）請寫出y和x間的函數關系式與自變量x的取值范圍；

（2）超市應怎樣定價，才能使每個月銷售飲料的利潤達到最大？最大利潤是多少元？

分析：（1）根據價格每降低1元，平均每月多銷售10箱，每箱降價x元，多賣10x箱，因為是在36元的基礎上降價，在60箱的基礎上多賣，所以降價后的價格為（36-x）元，賣出的箱數為60+10x；（2）根據“總利潤=每箱利潤×箱數”列出函數關系式，然后根據二次函數最值的性質求得最大利潤.

解：（1）根據題意，得y=60+10x.由36-x≥24，得x≤12.由x為正整數，得x≥1，則1≤x≤12，且x為整數.

（2）設所獲利潤為W，則W=（36-x-24）（10x+60）=-10x2+60x+720=-10（x-3）2+810.

則當x=3時，W取得最大值，最大值為810.

點評：當實際問題中有兩個變量，且它們之間有一定變化規律時，就建立函數關系式，根據實際問題求出自變量的取值范圍.求最值問題一般要利用二次函數最值的性質，若建立一次函數關系求最值，則要利用自變量的取值范圍與一次函數的增減性.

三、建立獨特幾何圖形模型解決實際問題

實際生活中的測量、航海、建筑及圖案設計等都離不開幾何模型，而數學中的空間與圖形研究的就是幾何圖形的大小、位置關系、性質及變換，在實際問題中，只要我們把實際問題進行抽象與概括，畫出符合題意的幾何模型，然后利用幾何圖形的性質、判定及相互變換關系就可以解決實際問題.

例3如圖1所示，一鐵路MN和一公路PQ相交于點O處，∠QON=30°，一幢居民樓位于點A處，AO=320m，假設一火車行駛時，在其周圍相距200m內會受噪音的干擾，則火車于鐵路MN上沿著ON這一方向行駛的時候，

（1）居民樓是否會受到噪音的影響？請說明理由；

（2）假設行駛速度為72km/h，則居民樓被噪音干擾的時間為多久？

圖1

圖2

分析：（1）居民樓是否受噪音的影響，主要看火車距離居民樓最近時是否受影響，如果距離最近時受到影響，那么就受到影響，如果距離最近時不受影響，那么就不會受到影響.所以應作AC⊥ON于點C，然后比較AC的長與200m的大小關系，從而可判斷是否受到影響.

（2）火車行駛時，周圍200m以內會受到噪音的影響，也就是說當火車距離居民樓200米時，居民樓就會受到影響，因為最近距離160米＜200米，所以在點C之前和之后會各有一個點距離點A200米，當火車在線段BD上行駛時，居民樓都會受到影響.最后利用時間=路程÷速度求得受影響的時間.

解：（1）如圖2，過點A作AC⊥ON于點C.

由∠QON=30°，OA=320米，得AC=160米.

由AC＜200，得居民樓會受到噪音的影響.

（2）如圖2，在ON上取兩點B、D，使BC=CD，設BA=DA=200m，即當火車到點B時直到駛離點D，對居民樓產生噪音影響.

因行星輪系具有運行噪音小的特點，能夠給乘坐者提供舒適感與安全感，其較長的使用壽命也為電梯的長時間運行提供保證，此外，行星齒輪曳引機的效率遠高于同樣提升力的蝸輪副式曳引機，且體積僅是它的一半[2]，因此，在曳引機設計中，行星齒輪減速器較其它形式的齒輪傳動系統更具優勢。某型號電梯的曳引機減速器使用2級行星輪系 [3]，該項目選取串聯的2個2K-H型行星輪系進行設計。

由AB=200米，AC=160米，根據勾股定理，得BC=120米.由垂徑定理，得BD=2BC=240米.

72千米/小時=20米/秒，240÷20=12（秒）.

答：影響時間是12秒.

點評：本題根據題意建立了含30度角的直角三角形和等腰三角形兩種幾何圖形模型，然后利用含30度角的直角三角形的性質：30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半解決了居民樓是否受影響的問題；利用等腰三角形三線合一的性質求得了受影響時火車行駛的路程，最后利用時間=路程÷速度的模型求得受影響的時間.這是一個利用幾何圖形模型解決實際問題的典型實例，其關鍵是構造符合題意的幾何圖形.

四、間接建立數學模型解決疑難問題

有些問題直接建模如果有困難，可以間接建模求解，如有些代數問題需建立幾何圖形的模型解決，有些幾何問題需建立代數的模型解決，這種方法稱為建模轉型.這種方式不常用，常出現在競賽試題中，它往往能使疑難的問題變得簡單、易懂.

圖3

解：因為每次截取原來的一半，所以n次截取后，木桿剩下的長度為這個問題相當于：面積為1的正方形第一次剪去，第二次剪去剩下的，第三次又剪去剩下的，當n次剪取后剩下的面積是多少？如圖3所示，我們發現第一次剩下，第二次剩下，第三次剩下，第四次剩下，……，所以第n次截取后剩下米.

點評：本題首先將實際問題轉化為有理數的計算，然后把有理數的計算轉化為圖形面積問題，再通過對圖形的觀察直觀地得到結果，這種不斷取的幾何模型，也可用來計算的結果.

數學源于生活，但又高于生活，反過來又服務于生活，教學的改革越來越重視數學知識與現實生產、生活的聯系，通過數學教學，培養學生的數學應用意識與能力，是數學教學的重要任務之一.通過以上事例的解析與說明，我們已經可以看出數學建模無處不在，應用它可解決生活中的諸多問題，這不僅需要掌握一些必要的知識性模型，而且要善于從數學的角度看待生活中的人和事，發現其中的數量關系、位置關系或變換關系.W